1、一.DFT是重要的變換 1.分析有限長序列的有用工具。 2.在信號處理的理論上有重要意義。 3.在運算方法上起核心作用，譜分析、 卷積、相關(guān)都可以通DFT在計算機上 實現(xiàn)。引言 傅氏變換的幾種可能形式一.連續(xù)時間、連續(xù)頻率的傅氏變換-傅氏變換0t0dtetxjXtj)()(:正dejXtxtj)(21)(:反)( jX)(tx時域信號頻域信號連續(xù)的非周期的非周期的連續(xù)的對稱性: 時域連續(xù)，則頻域非周期。 反之亦然。二.連續(xù)時間、離散頻率傅里葉變換-傅氏級數(shù)2/2/00)(1)(:ppTTtjkpdtetxTjkX正0tpT)(tx-ktjkejkXtx0)()(:0反0)(0jkXpT20時域

2、信號頻域信號連續(xù)的周期的非周期的離散的*時域周期為Tp, 頻域譜線間隔為2/Tp三.離散時間、連續(xù)頻率的傅氏變換 -序列的傅氏變換nTjnTjenTxeX)()(:正x(nT)T-T0T2Tt0Ts2)(TjjeXeX或-2/2/)(1)(:ssdeeXnTxTjnTjs反時域信號頻域信號離散的非周期的周期的連續(xù)的TTs2,*頻域的周期為時域抽樣間隔為四.離散時間、離散頻率的傅氏變換-DFTx(nT)=x(n)FTp1t0T 2T1 2 N NTTpn0002 0 1 2 3)1()1(0NNNN0k)()(0kXeXTjk TfTss120NsFTp220NT 由上述分析可知，要想在時域和頻

3、域都是離散的，那么兩域必須是周期的。時域信號頻域信號離散的周期的周期的離散的.2,;2*0TTTTspp頻域的周期為時域的離散間隔為為函數(shù)，頻域的離散間隔時域是周期為 3-1 周期序列的DFS一.周期序列DFS的引入ktjkejkXtx0)()(0對上式進(jìn)行抽樣，得： 導(dǎo)出周期序列DFS的傳統(tǒng)方法是從連續(xù)的周期信號的復(fù)數(shù)傅氏級數(shù)開始的： knkNjknTjkejkXejkXnTx200)()()(0NT20)(nTx)(0kX因 是離散的，所以 應(yīng)是周期的。)(0kX，代入而且，其周期為 ，因此 應(yīng)是N點的周期序列。0/2 NT 又由于 所以求和可以在一個周期內(nèi)進(jìn)行，即 這就是說，當(dāng)在k=0,

4、1,., N-1求和與在k=N,.,2N-1求和所得的結(jié)果是一致的。knNjrnjnkNjnrNkNjeeee222)(21020)()()()()()(NknkNjejkXnxkXjkXnxnTx則有，；，考慮到：1020NknkNjejkXnTx二. 的k次諧波系數(shù) 的求法 1.預(yù)備知識)(nx)(kXrmmNrNeNnrnNj，其他為任意整數(shù)0,102)(11122)1(2222102時mNrNeeeeeerNjNrNjNrNjrNjrNjNnrnNj 同樣，當(dāng) 時，p也為任意整數(shù)，則)()0(10)(2pNrkNNNeNnnrkNj)()()()(10rXpNrXpNrkkXNk)()

5、()(110)(2pNrkpNrkpNrkeNNnnrkNjpNrk所以亦即2. 的表達(dá)式 將式 的兩端乘 ，然后從 n=0到N-1求和，則：)(kXnrNje2102)(NnnrNjenx102)()(NknkNjekXnx1010)(2)(NnNknrkNjekX)()()()()()()(101010)(21010)(2102rXNpNrXNpnrkNkXekXekXenxNkNkNnnrkNjNnNknrkNjNnnrNj102)(1)(,NnnrNjenxNrX因此102102102)()()(1)(,)(1)(NkknNjNnknNjNnknNjekXnxenxNkXenxNkXk

6、r對于周期序列所以則有換成將)(nx的DFS 通常將定標(biāo)因子1/N移到 表示式中。即：)(nx102102)(1)()()(NkknNjNnknNjekXNnxenxkX3.離散傅氏級數(shù)的習(xí)慣表示法 通常用符號 代入，則：NjNeW210102)()()()(NnnkNNnnkNjWnxenxnxDFSkX10102)(1)(1)()(NknkNNknkNjWkXNekXNkXIDFSnx正變換：反變換：4. 的周期性與用Z變換的求法)(kX)()()()()(102102210)(2kXenxeenxenxmNkXNnknNjNnmnjknNjNnnmNkNj周期性：個不同值。只有這就是說，

7、NkX)( 的一個周期內(nèi)序列記作 ,而且)(nx =)(nx, 0n N-10 , 其他n10)()()(NnnnnZnxZnxZX對 作Z變換， nx)(nx)(nx用Z變換求 ：)(kX 可見， 是Z變換 在單位圓上抽樣，抽樣點在單位圓上的N個等分點上，且第一個抽樣點為k=0。kNjeZ2)()()(1022kXenxeXNnknNjkNj)(kX)(ZX如果 ，則有 ZjIm ZRe1234567(N-1)N2k=0其中，a,b為任意常數(shù)。)()()()(2211nxDFSkXnxDFSkX)()()()(2121kXbkXanxbnxaDFS 3-1-2 DFS的性質(zhì)一.線性如果則有二

8、.序列的移位 )()(kXnxDFS)()()(2kXekXWmnxDFSmkNjmkN則有：如果證明：10)()(NnnkNWmnxmnxDFS令i=m+n,則 n=i-m。n=0 時，i=m; n=N-1時，i=N-1+m所以 mkNmNmiikNWWixmnxDFS1)()()()(10kxWWixWmkNNiikNmkN* 和 都是以N為周期的周期函數(shù)。)(ixikNW三.調(diào)制特性 如果 則有 )()(kXnxDFS)()(mkXnxWDFSmnN證明： )()()()(10)(10mkXWnxWnxWnxWDFSNnnmkNknNNnmnNmnNmnNjnmNjmnNjmnNeeeW

9、)(222時域乘以虛指數(shù)( )的m次冪，頻域搬移m,調(diào)制特性。nNje2四.周期卷積和 1.如果 則：)()()(21kXkXkY10101221)()()()()()(NmNmmnxmxmnxmxkYIDFSny證明從略。 2.兩個周期序列的周期卷積過程 （1）畫出 和 的圖形； （2）將 翻摺,得到 可計算出：)(1mx)(2mx)(2mx)0()(22mxmx1102011010101)0()()0(5021mmxmxy)(2mxm計算區(qū))(2mx mm)(1mx 0 1 2 3 )(2mx )1 (2mx1101001010111)1 ()() 1 (5021mmxmxy（3）將 右移

10、一位、得到可計算出：)1 (2mxm計算區(qū))(2mx mm)(1mx 0 1 2 3 )1 (2mxm（4）將 再右移一位、得到 可計算出：)(2mx )2(2mx3100001011121)2()()2(5021mmxmxy（5）以此類推， 4000001112111)3()()3(5021mmxmxy, 4)4(y同樣，可計算出：3)5(y)(nyn134 4計算區(qū)313.頻域卷積定理 如果 ，則)()()(21nxnxny1012102110)()(1)()(1)()()(NlNlNnnkNlkXlXNlkXlXNWnynyDFSkY證明從略。 3-2 DFT-有限長序列的離散頻域表示一

11、.預(yù)備知識 1.余數(shù)運算表達(dá)式 如果 ， m為整數(shù)；則有： 此運算符表示n被N除，商為mN，余數(shù) 。 mNnn1101Nn1nnN1n例如： (1) (2)7252792259,2591nNnNn5455949,49NnNn 先取模值，后進(jìn)行函數(shù)運算;而 視作將周期延拓。 含義1nxnxN Nnxnx1 1nx2.二.有限長序列x(n)和周期序列 的關(guān)系)(nxmmNnxnx)()( =)(nx, 0nN-10 , 其他n )(nx周期序列 是有限長序列x(n)的周期延拓。)(nx有限長序列x(n)是周期序列 的主值序列。)(nx Nnx)()()(nRnxnxN或如：N-1nx(n)0.n)

12、(nx0N-1定義從n=0 到（N-1）的第一個周期為主值序列或區(qū)間。三.周期序列 與有限長序列X(k)的關(guān)系)(kX )()()()(kRkXkXkXkXNN 同樣， 周期序列 是有限長序列X(k)的周期延拓。 而有限長序列X(k)是周期序列 的主值序列。)(kX)(kX四.從DFS到DFT10)()()(NnnkNWnxnxDFSkX10)(1)()(NknkNWkXNkXIDFSnx 從上式可知，DFS,IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值區(qū)間 進(jìn)行。 因此可得到新的定義，即有限序列的離散傅氏變換(DFT)的定義:1010)(1)()()()()(NknkNN

13、nnkNWkXNkXIDFTnxWnxnxDFTkX, 0kN-1, 0nN-1或者：)()()()()()(nRnxnxkRkXkXNN )( 1 . 0/1sfTP)(125. 08/12/1mskHzfTh800/2ffNh實際選擇實際選擇 1021024 N解解 knjnjnjnNnknNeeeWnxkX1221221221101021)()(21)11(122110)1(122nkjnnkjee)11(122)11(2)1(122)1(211211121kjkjkjkjeeee kk其它, 011, 1, 6 ) 1(110Nk(注意兩分式的值) )(6cos)(12nRnnxN=1

14、2012 3111-1nkkkX其它, 011, 1, 6)(k01 2 3116)(nRNn0N-11k)(kX0N-1NZ平面采樣點圖(N=8)Z平面11jj)(nRNn0N-11)(X022N=5N)(kXkk)(kX0N-10NNN-N 3-2-2 DFT的性質(zhì)一.線性性1.兩序列都是N點時 如果 )()()()(2211kXnxDFTkXnxDFT)()()()(2121kbXkaXnbxnaxDFT則有：2. 和 的長度N1和N2不等時， 選擇 為變換長度,短者進(jìn)進(jìn)行補零達(dá)到N點。)(1nx)(2nx21,maxNNN 二.序列的圓周移位1.定義一個有限長序列 的圓周移位定義為這里

15、包括三層意思：先將 進(jìn)行周期延拓再進(jìn)行移位最后取主值序列： nRmnxnxNNm)( Nnxnx)(Nmnxmnx)( nRmnxnxNNm)()(nx)(nxn)(nx0N-1nNnxnx)()(0周期延拓nNnxnx2)2(0左移2n)()2(nRnxNN0取主值N-12.圓周位移的含義 由于我們?nèi)≈髦敌蛄校粗挥^察n=0到N-1這一主值區(qū)間，當(dāng)某一抽樣從此區(qū)間一端移出時，與它相同值的抽樣又從此區(qū)間的另一端進(jìn)來。如果把 排列一個N等分的圓周上，序列的移位就相當(dāng)于 在圓上旋轉(zhuǎn)，故稱作圓周移位。當(dāng)圍著圓周觀察幾圈時，看到就是周期序列 : 。)(nx)(nx)(nx12345n=0N=6順時左移

16、 四.圓周卷積和1.時域卷積定理 設(shè) 和 均為長度為N的有限長序列，且 ，)(1nx)(2nx)()(11kXnxDFT)()(22kXnxDFT)()()(21kXkXkY如果 ，則 )()()()(11021nxnRmnxmxkYIDFTnyNNmNN)(2nx)()()(21012nxnRmnxmxNNmNN)(1nx證明： 相當(dāng)于將 作周期卷積和后，再取主值序列。)(),(21nxnx將 周期延拓：)(kY)()(21kXkXkY）（則有：10211021)()()()()(NmNNNmmnxmxmnxmxkYIDFSny在主值區(qū)間 ，所以：)()(, 1011mxmxNmN )()(

17、)()()(11021nxnRmnxmxnRnynyNNmNNN)(2nx同樣可證：)()()()(21012nxnRmnxmxnyNNmNN)(1nx2.時域圓周卷積過程N-10n)(1nxN-10)(2nxNmxmx0)(220m)(12mRmxNN0m)(22mRmxNN0m)(32mRmxNN0m1) 6 (0) 5 (1) 4 (220001010111101)()3()() 3 (300000010111111)()2()() 2 (310000000111111)()1()() 1 (210100000011111)()0()() 0 (607721607721607721607

18、721yyymRmxmxymRmxmxymRmxmxymRmxmxymmmm0233211N-1nN)(2nx)()(1nxny最后結(jié)果：五.有限長序列的線性卷積與圓周卷積1.線性卷積 的長度為 的長度為 它們線性卷積為)(1nx) 10(11NnN)(2nx) 10(22NnNmNmlmnxmxmnxmxny1021211)()()()()( 的非零區(qū)間為 的非零區(qū)間為 兩不等式相加得 也就是 不為零的區(qū)間. 例如:)(1mx101Nm)(2mx102Nmn2021NNn)(nyl)(1nx1012n)(2nx1012n3m)(2mx -1-2-3111)0(lym)1 (2mx21111)

19、 1 (lym)2(2mx3111111)2(ly)(1mx1012mm)3(2mx3111111)3(lyn)(nyl2101)5(, 2)4(llyy同樣314523321)(1mx1012m2.用圓周卷積計算線性卷積 圓周卷積是線性卷積的周期延拓序列的主值序列. 的長度為 , 的長度為 ,先構(gòu)造長度均為L長的序列, 即將 補零點;然后再對它們進(jìn)行周期延拓 ，即 所以得到周期卷積：)(1nx1N)(2nx2N)(),(21nxnxLLnxnx)(,)(211021)()(LmLLmnxmxnyrlrLmrLmLmLrLnymrLnxmxrLmnxmxmnxmxny)()()()()()()

20、(102121011021 因此故由于, 1011mxmxLmL 可見,周期卷積為線性卷積的周期延拓,其周期為L。由于 長度 ,所以周期L必須滿足: 又由于圓周卷積是周期卷積的主值序列,所以圓周卷積是線性卷積的周期延拓序列的主值序列,即ly121NNLLnxnRrlnynRnynyLrlL)()()()()()(1)()()(212nxnxnx1,21NNL121 NN 有限長為 N 的兩序列 求: 3.4 頻域抽樣理論一.如何從頻域抽樣恢復(fù)原序列1.兩種抽樣 時域抽樣: 對一個頻帶有限的信號,根據(jù)抽樣定理對其進(jìn)行抽樣,所得抽樣信號的頻譜是原帶限信號頻譜的周期延拓,因此,完全可以由抽樣信號恢復(fù)

21、原信號。 頻域抽樣: 對一有限序列(時間有限序列)進(jìn)行DFT所得X(k)就是序列傅氏變換的采樣。所以DFT就是頻域抽樣。2.由頻域抽樣恢復(fù)序列 一個絕對可和的非周期序列x(n)的Z變換為 由于x(n)絕對可和,故其傅氏變換存在且連續(xù),也即其Z變換收斂域包括單位圓。這樣,對X(z)在單位圓上N等份抽樣,就得到nnznxzX)()()(kXnnkNWzWnxzXkXkN)()()(對 進(jìn)行反變換,并令其為 ,則)(kX)(nxN mmNkknmNNknkNmmkNNknkNNmxmxWNWWmxNWkXNkXIDFSnx)()(1)(1)(1)()(10)(1010 可見,由 得到的周期序列 是非

22、周期序列x(n)的周期延拓。 也就是說,頻域抽樣造成時域周期延拓。10)()1(NkknmNWN1 , m=n+rN , 0 , 其他mrNrNnxnxrmrm)()(所以；)(nxN)(kX3.頻域抽樣不失真的條件 當(dāng)x(n)不是有限長時，無法周期延拓； 當(dāng)x(n)為長度M,只有NM時,才能不失真的恢復(fù)信號,即MNnxnRrNnxnRnxnxrNNNN, )()()()()()(1.由X(k)恢復(fù)X(z) 序列x(n),（0nN-1）的Z變換為由于 ，所以)(jeX10)()(NnnznxzX10)(1)(NknkNWkXNnx二.由X(k)表達(dá) X(z)與 的問題內(nèi)插公式 10101101

23、10110) 1() 1(22110101010)()(11)(1)(1)(111)(11)(1)(1)(NkkNkkNNNkkNNNkkNNkNNkNkNNkNkNNkNnnnkNNnnNknkNzkXzWNzkXzWkXNzkXzWzWNkXzWzWzWNkXzWNzWkXNzX) 1(22kjNkNjNkNeeW上式就是由X(k)恢復(fù)X(z)的內(nèi)插公式,其中稱作內(nèi)插函數(shù)。)(1111)(11kNNNkNNkWzzzNzWNzz2.內(nèi)插函數(shù)的特性 將內(nèi)插函數(shù)寫成如下式: ZRe1ZkNje2 ZjIm。)(11)(1kNNNkWzzzNz 令分子為零, 得 所以有N個零點。令分母為零,得

24、為 一階極點, Z=0為(N-1)階極點。但是極點 與一零點相消。這樣只有(N-1)個零點,抽樣點 稱作本抽樣點。因此說,內(nèi)插函數(shù)僅在本抽樣點處不 為零,其他(N-1)個抽樣點均為零。1, 1 , 0,2NkrezrNjkNjkNeWz2kNjez2kNje2)(11)(1kNNNkWzzzNz3.頻率響應(yīng) 單位圓上的Z變換即為頻響, 代入jez 10)()()(NkjkjekXeX4.內(nèi)插函數(shù)的頻率特性 2)2(222)2(22221111kNjkNjkNjNjNjNjNkjjNjkeeeeeeNeeNe111)(zWNzzezkNNkj代入：將 可見, 既是 的函數(shù)又是k的函數(shù),其可表示為

25、jkeNkejk2 212sin2sin1NjeNNNkNjekNNN212/ )2(sin2sin1 時, 時, ，所以 0 ; 12121)2()2(10NSaNSaN) 1, 2 , 1(2NiNi0sin2siniN . 0。在其他抽樣點為，在本抽樣點為這說明012Nkejk 當(dāng)N=5時, 的幅度特性 和相位特性 如下圖： 21N 2sin25sin512sin2sin1NN221N其中， N=520N22; 12022, 1)0(NkNkNk時，在可推斷出由。時，亦即在122NkNk時，即而當(dāng)kiNi,2122NkiNk 由于i與k均為整數(shù),所以i k 時 這就是說,內(nèi)插函數(shù)在本抽樣

26、點 上 , 而在其他抽樣點上 02NkkN2, 12Nk. 02,2NkkiNi上5. 與X(k)的關(guān)系 由于 的特性可知,在每個抽 樣點上其值為1, 故 就精確等于X(k)。即jeX102)(NkjkNkXeXNk2jeX1, 1 , 0),(2NkkXeXNkj 而在抽樣點之間, 等于加權(quán)的內(nèi)插函數(shù)值疊加而得。jeX kNkX2) 1, 1 , 0(Nk 利用DFT對連續(xù)時間信號的逼近一.用DFT計算連續(xù)時間信號的傅氏變換可能造成的誤差 1.混疊現(xiàn)象 為避免混疊,由抽樣定理可知，須滿足 其中, 為抽樣頻率; 為信號的最高頻率分量； 或者 其中,T為抽樣間隔。hsff2sfhfhsffT2112.頻譜泄漏 在實際應(yīng)用中，通常將所觀測的信號 限制在一定的時間間隔內(nèi),也就是說，在時域?qū)π盘栠M(jìn)行截斷操