1、淺談高等數學中的數形結合思想數學系 數學與應用數學專業04090135 李彪 指導老師 毛旭華摘要 在高等數學學習中運用數形結合，能使抽象的問題直觀、簡單、明了，使學習輕松有趣。文章從概念、定理的理解以及解題等方面歸納總結了數形結合思想在高等數學中的應用。關鍵詞 數形結合；圖形思維；幾何直觀；形象思維1. 引 言數學是研究現實世界空間形式和數量關系的科學。根據數學的這一定義，我們可以說數學是研究“數”與“形”的科學，“數”就是抽象的數學語言，而“形”就是直觀的圖像語言。“數”與“形”是一對矛盾，是數學自始至終就一直存在的一對矛盾，它們各有自己的側重面，數形結合思想的就是充分利用數與形的結合來學

2、習，考查及研究數學一種思想，由此我們可以看出數形結合思想是重要的數學思想之一。數就是抽象的數學語言，有著邏輯，嚴謹的個性，一般較為抽象，難懂。而形就是圖像語言，直觀，形象，一般是較為簡單易懂。著名數學家華羅庚說過：“數缺形時少直覺,形少數時難入微”。從這句話中，我們可以體味到數形這一對矛盾的對立雙方是缺一不可的。高等數學是一門高度抽象的學科，在知識的廣度和深度上，在思維能力上，都有極高的要求。數形結合思想在學習高等數學過程中解決這些問題上有著重要的作用，首先數形結合思想能培養各方面的思維能力，包括形象思維和邏輯思維。深化對數學概念的理解，提高解題速度和效率，數與形的結合增加數學的實用意義，數與

3、形的巧妙而和諧地結合，增強解題中的求簡意識，而且在學習高等數學大量的抽象復雜的數學語言之余，圖形的簡單而新奇的方法給學習帶來了不少樂趣，可增強我們學習的自信心，促使我們更加努力學習。本文就數形結合思想在高等數學中就對概念的理解，對定理的掌握及證明，以及對解題的作用作一次探討，談談高等數學中的一些數形結合思想的應用。2. 利用數形結合深化對概念的理解利用數形結合便于對概念的理解。與空間形式巧妙而和諧地結合起來，可增強解題中的求簡意識，根據問題的條件與結論的內在聯系，既分析數式特征，又揭示幾何意義，使數量關圖學數學應加強數形結合能力的培養。任何知識的產生和發展都來源于對實踐的感性認識，在對數學的認

4、識過程中，更是如此。通過數形結合提高對數學知識的認知能力。數學中的很多知識體系都與形象直觀的幾何圖形有關。故利用數形結合直覺體驗知識的發展經歷，能加深對概念的認識、理解，深入理解數學知識的內涵和外延，并提高解決問題的能力和自主學習能力。2.1 數形結合對概率論中概念的理解作用維恩圖能夠清晰、準確生動地說明AB，AB， 等問題。在概率論中事件也可以用集合來表示，如果我們結合維恩圖來理解事件之間的關系，利用維恩圖來計算事件發生的概率，比用公式進行推導、計算要簡單、直觀的多，且不容易出錯。來看一個維恩圖表示的條件概率的例子。定義：設A與B是樣本空間中的兩事件，若P(B)>0,則稱P(A|B)=

5、為“在B發生下A的條件概率”，簡稱條件概率。為此我們畫出一個圖，設樣本空間中含有25個等可能的樣本點，事件A含有15個樣本點，事件B含有7個樣本點，交事件AB含有5個樣本點，如圖1所示：圖1這時有P(A)，P(B)，P(AB).則在事件B發生的條件下A的條件概率為P(A|B)=.此結果也可以如此考慮：事件B發生，表明事件不可能發生，因此中的18個樣本點可以不予考慮，此時B中7個樣本點中屬于A的只有5個，所以P(A|B) .這意味著，在計算條件概率P(A|B)時樣本空間縮小為B.類似地P(B|A).它也可以作如上解釋。上面的公式比較復雜，如果要證明，也比較麻煩，如果死記也比較難以記住，但是如果能

6、夠結合圖來理解記憶它，就一目了然，容易記得清楚、記得牢。2.2 數形結合在微積分中對概念的理解作用間斷點定義：設函數在某內有定義，若在點無定義，或在點有定義而不連續，則稱為函數f的間斷點或不連續點。間斷點的分類（我們借助函數圖形來看，如圖2）：圖21. 可去間斷點：若kA，而在點無定義，或有定義但A，則稱為的可去間斷點。（如圖2中的點a）2. 跳躍間斷點：若函數在有左、極限都存在，但，則稱為函數的跳躍間斷點。（如圖2中的點b）3. 第二類間斷點：可去間斷點和跳躍間斷點統稱為第一類間斷點。第一類間斷點的特點是函數在該點的左右極限都存在。函數的所有的其他形式的間斷點，即使得函數到少有一側極限不存在

7、的那些點，稱為第二類間斷點。（如圖2中的點c）這里使用直觀形象的函數圖像來幫助對概念的理解認識，使人能一下明白概念中所蘊含的真正意義，并能容易區分出相似概念之間的細微差別，深入理解數學知識的內涵和外延，加深對概念的印象，從而大大改進我們的學習效率及能力。這種利用圖形思維的方式，較好地體現出“化繁為簡，化難為易”的數學思想，能弄清問題的實質，又讓人輕松的能接受，使學習過程變得輕松有趣。應用數形結合的方法幫助對概念的理解認識的例子在高等數學中還有很多，如用距離的變化來描述增量間的變化并以此刻畫極限概念；用切線的斜率來說明導數概念；用直角三角形與曲邊三角形邊的關系來刻畫微分是導數的近似，等等。利用數

8、形結合思想方法來闡述，其難度就降低許多。3. 利用數形結合思想加強對定理的理解與證明應用數形結合的方法能幫助對概念的理解認識，同樣應用數形結合的方法幫助對定理的理解認識，幫助定理的證明，也有極其重要的作用。3.1 概率論中的數形結合的例子：對偶率(德莫根公式)：事件并的對立等于對立的交： ,(1) 事件交的對立等于對立的并：.(2)我們先用集合論的語言先證明(1)式：設，即，表明不屬于A，也不屬于B，這意味著A和B同時成立，所以與同時成立，于是，這說明 .反之，設，即同時有與，從而同時有A和B，這意味著既不屬于A，也不屬于B，即，也就是，這說明 .綜上，可得 .同理可得(2)也成立。我們再來看

9、一下用數形結合(使用Venn圖)的方法來證明這個定理：如圖3所示，正方形表示樣本空間，兩個圓分別表示事件A和事件B，樣本空間被事件A和事件B兩個集劃分為1，2，3，4四塊，則、 、等都能用1，2，3，4四塊中的一塊或幾塊表示出，且四塊中的任一塊要么屬于，要么就不屬于這個集，且沒有第三種情況。圖3通過以上的討論，我們能很快證明這兩個公式，顯然表示是1塊，表示的是1，4兩塊，表示1，2兩塊，則也是表第1塊，這樣很快就證明了(1)式，同樣表示的是1，2，4三塊，顯然就是 (按前述與)，(2)式也同樣很快就得到了證明。3.2 微積分中的數形結合思想先來看一個積分第一中值定理用到的數形理解的簡化作用的例

10、子：若在a,b上連續，則至少存在一點a,b，使得(ba). 圖4積分第一中值定理的幾何意義（見圖4）是，若在a,b上非負連續，則在a,b上的曲邊梯形的面積等于以為高，a，b為底的矩形面積。而則可理解為在a,b上所有函數值的平均值。這是通常有限個數的算術平均值的推廣。通過積分第一中值定理的幾何意義，我們很容易就能把握定理所表達的內涵的來龍去脈，從而使學習變得輕松愉快。再來看一個例子：（取極值的第一充分條件）設函數在點的某一鄰域內可微，且0（或在處連續，但不存在.）(1) 若當經過時，由“+”變成“”，則為極大值；(2) 若當經過時，由“”變成“+”，則為極小值；(3) 若當經過的兩側不變號，則不

11、是極值點；如圖5所示，當經過A點時，的所表示的曲線的斜率由由“+”變成“”，即由“+”變成“”，從圖中很容易看出A點為在A的某個領域內函數值的最大值，即函數在A點取得極大值，同理在B點取得極小值，從圖中可以看出函數在除A、B兩點之外的點沒有第三點為極值點，同樣用定理的(3) 當經過除A、B以外的點兩側不變號，則都不是極值點；用圖像來理解定理簡單形象直觀，小學生也能看懂其中所表達的意思。圖53.3 應用數形結合思想證明組合數學中的定理p×q棋盤：由p×q個單位正方形平成的長為p，寬為q的長方形叫做一個p×q棋盤。定理1：沿p×q棋盤上的線段，由頂點A到頂點

12、B的最短路的條數為.整點：在xoy坐標平面上，橫坐標與縱坐標都是整數的點。T步：由任一整點(x,y)到整點 (x+1, y+1)或(+1, y1)的有向線段叫一個T步。T路：由若干個T步組成的起點為A，終點為B的有向折線叫整點A到整點B的一條T路。T條件：如果存在由整點A(,)到整點B(,)的T路，則 >；|；+與+奇偶性相同。合稱T條件。定理2：設整點A(a, )與整點B(b,)滿足T條件，則由A到B的T路的條數為.證明：如圖6，過A和B都作斜率為1和-1的兩條直線得矩形ACBD，直線AD的方程為Y=,直線BD的方程為Y=(),于是容易求得D的橫坐標為X+.圖6所以線段AD上的整點數為

13、+1+1，線段BD上的整點數為(+)+1=+1.過線段AD上的每個整點作斜率為-1的直線，過線段BD上的每個整點作斜率為1的直線，這些直線把矩形ACBD變成一個(+)×()的棋盤。圖7因為由A到B的最短路可看成是由p條單位橫線段與q條單位縱線段作成的全排列(如圖7)，所以由A到B的最短路的條數等于由p個a和q個作成的全排列數，為，于是定理1得證。顯見由A到B的任一條T路就是該棋盤上由A到B的一條最短路，反之亦然。所以，由A到B的T路的條數為所以，數形結合思想在高等中對定理的證明是有很大的作用的。應用數形結合思想來幫助理解，記憶及證明高等數學中的定理的方法也是多種多種，靈活多變。從極限

14、，單調性，導數，微分到各種積分，級數，幾乎到處可以用到數形結合思想來理解證明，在高等數學定理的學習中，我們一定要好好把握數形之間的關系，利用數形結合思想這一解決問題的方便之門開導啟發自己思維，切實理解各類定理的意義及作用。4. 利用數形結合思想幫助解題數形結合思想可增強解題中的求簡意識。有些數學問題，僅局限于數的方面考慮，雖然能解決問題，但過程繁瑣，甚至較為困難，若根據問題的條件與結論的內在聯系，既分析數式特征，又揭示幾何意義，使用數量與圖形結合的方法來學數學，對解題的效率及速度的提高的幫助作用是顯而易見的，所以我們同樣應加強應用數形結合解題能力的培養，全面提高我們的各方面的能力。4.1 用數

15、形結合求定義域例：求二元函數zarcsin(2)+定義域解arcsin(2) 的定義域：21，的定義域：40，的定義域：1且>0.故所求的定義域為(如圖8)：圖8從這一個簡單的求函數定義域的例子，我們可以看出，在高等數學中有許多的問題是要用到數形結合來解決的，下面的幾個應用數形結合思想解題的難度就稍進一層。4.2 數形結合思想在解概率問題中的應用概率論是日常生活中應用得比較多的門學科，在概率論解題中同樣離不開數形結合思想，下面的例題就是一個在概率論中常見的一類問題。蒲豐投針問題：平面上畫有間隔為 (>0)等距平行線，向平面任意投擲一枚長為 (<)的針，求針與任一平行線相交的概

16、率。解 以x表示針的中點與最近一條平行線的距離，又以表示針與此直線間的交角，見圖9。從圖中易知樣本空間滿足0/2，0，由這兩式可以確定平面上的一個矩形，這就是樣本空間，其面積為.這時為了針與平行線相交(記為事件A)，其充要條件是sin.由這個不等式表示的區域是圖10中的陰影部分。 圖9 圖10由于針是向平面任意投擲的，所以由等可能性知這是一個幾何概率問題。由此得P (A).如果，為已知，則的值代入上式即可計算得P(A)之值。反之，如果已知P(A)的值，則也可以利用上式去求，而關于P(A)的值，可用從試驗中獲得的頻率去近似它：即投針N次，其中針與平行線相交次，則頻率/可為P(A)的估計值，于是由

17、P(A)，可得.從此例中，我們同樣發現數形結合思想在概率論領域中的有著不可替代的作用，簡單明了直觀地表現數形結合思想，化繁為簡，從抽象到具體，思維發生了一次飛躍。4.3 常微分方程中數形結合中的應用例：在上半平面求一條上凹的曲線，其任一點(,)處的曲率等于此曲線在該點的法線段長度的倒數(是法線與軸的交點)，且曲線在點(1,1)處的切線與軸平行。解 草圖如圖11所示，所求曲線為().于是其在(,)點處的曲率為K(曲線為凹的，>0)，圖11曲線()在(,)點處的法線方程Y=-(X-) (0),它與軸的交點的坐標(+,0)，于是(1+),由題設K，即1+這是不顯含的方程，初始條件為1，0.令，

18、于是方程變為1+dln(1+)ln+C，代入0，得C0 1，積分得ln+=(-1)+ C,代入1，得C0，故所求的曲線為 +e，即(e+e)在幾何學中，常用數軸上的點與實數，切線的斜率與導數對等，等等，來實現數與形的結合，所以，應用常微分方程這個工具常用來解決這類問題，將形的問題轉化為數的問題，則問題的解決就變得邏輯嚴謹，無懈可擊。4.4 微積分中的解題應用數形結合例：設有一曲頂柱體，以雙曲線拋物面為頂，以坐標為底，以平面0為側，柱面+1為內側，柱面+2為外側，試求這個柱體的體積。解 由題設可知曲頂柱體在o平面上的投影，即積分域D（見圖12），由D的形狀可知用極坐標計算曲頂柱體的體積簡便。V=

19、曲線L1：2cos，L2：1，聯立解得，.圖12故 V .在微積分中，許多問題的解決是離不開圖形的。一般地，解答單用分析語言表達的問題，常使人茫然不知所措，如果再結合考慮問題的幾何意義，繪出幾何圖形，借助于圖形的直觀形象就會很快解決問題。4.5 數形結合思想在在圖論中的應用圖論是研究由點和線組成的“圖形”問題的一門學科，所以可以說數形結合是圖論產生的源泉，這里的一個例子是圖論中一個常見的用矩陣來表示圖，用代數方法來研究圖的性質，邏輯嚴謹，這一方法也便于用計算機處理圖。例：證明圖與同構（見圖13） 圖13首先我們用常規的方法證明如下：證明：設圖（V，E），（U，）.定義 g:vu,g（）,g（）

20、,g（）,g（）,g（）,則（,）E，有（g（），g()）且（,）與（g(),g()）有相同的重數。故 圖與同構。 使用這一方法來證明圖的同構雖然方法看起來簡單，但是在人工查找圖的過程中很可能就會出現遺漏，而且會造成檢查困難，這樣導致了計算和驗算的高成本，從而效率低下。再看一下利用數形結合思想證明利用圖的關聯矩陣證明。證明：圖與的關聯矩陣分別為：， 因為對圖的關聯矩陣進行或列的交換后所得到的圖仍然是與原圖同構的，下面對進行行列的交換： 即圖與同構。把形象直觀的難以直接看出規律的圖形轉換成邏輯嚴謹的數學矩陣，使證明過程有條不紊，且容易發現錯誤和及時改正錯誤，從錯綜復雜的事物中抽象出精確的數量關系

21、，較之上一種方法極大地提高了解題效率，表現出數學的嚴謹的邏輯思維，能輕松快捷地得出證明結論。應用數形結合思想，抓住問題的本質，是一個解決問題之門的金鑰匙，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，啟發思路，從而達到化難為易的目的，減少計算量，使問題獲得巧解，意義重大。5. 小 結“數”與“形”是一對矛盾，互為補充，互相聯系，又可相互轉化。數形結合包含“以數想形”和“以形助數”相結合，巧借圖形數兩個側面。這就要求我們根據特點全面考察發現規律，巧妙應用數形結合使得難以求解的問題迎刃而解。數形結合有很大的靈活性、創造性，在應用過程中應多方位、多角度的去思考、探索，選用合理、恰當的途徑，以求取得事半功倍的效果

22、及化繁為簡地解決問題的目的。著名數學家華羅庚說：“數缺形時少直覺，形少數時難入微”。以上的一些例子，從對概念的理解到對定理的理解及證明，再到解題，我們可以清楚地看到，數形結合思想在高等數學中具有舉足輕重的作用。數形結合方法靈活多樣，只要可以用來解決數與形這對矛盾，并達到求簡目的的方法都可拿出來參考，這樣可以培養我們面對問題時的求解意識。在數形結合的過程中，“數”的代數性質與“形”的幾何性質的轉換應該是等價的，即對于所討論的問題形與數所反映的數量關系應具有一致性，我們要盡量精確地構圖，使“數”與“形”盡量保持一致的等價性，這樣才能從根本上保證數形結合思想發揮作用。在進行幾何直觀的分析的同時還要進

23、行代數抽象的探索，代數表達及其運算比起幾何圖形及其結構有著自身固有的優越性，能克服幾何直觀方法的許多局限性，“數”與“形”各有其優缺點，我們就要盡量做到刪繁就簡，去粗取精，從而揚長避短，盡可能地發揮它們各自的優勢。最后，數形轉換時盡可能構圖簡單合理優美，從而可使代數計算簡潔、明了，這樣還能給我們良好的視覺感受，增添我們的學習樂趣。致 謝：在本論文的撰寫過程中，得到毛旭華老師的悉心關懷和指導，在此深表感謝。參考文獻：1周春荔,張景斌.數學學科教育學M.北京:首都師范大學出版社,2001. 2王子興.對數學活動中形象思維的思考J.數學通報,1990,(6) .3王子興.數學方法論M.長沙:中南大學出版社,2001.4盛祥耀.高等數學M.北京:高等教育出版社,1992.5伍新春.高等教育心理學M.北京:高等教育出版社,1999.6華東師范大學數學系.數學分析M.北京:高等教育出版社,2003.7茆詩松,程依明,濮曉龍.概率論與數理統計M.北京:高等教育出版社,2004,2