1、萬有引力定律 人造地球衛星 夯實基礎知識1開普勒行星運動三定律簡介（軌道、面積、周期定律）丹麥開文學家開普勒信奉日心說，對天文學家有極大的興趣，并有出眾的數學才華，開普勒在其導師弟谷連續20年對行星的位置進行觀測所記錄的數據研究的基楚上，通過四年多的刻苦計算，最終發現了三個定律。第一定律：所有行星都在橢圓軌道上運動，太陽則處在這些橢圓軌道的一個焦點上；第二定律：行星沿橢圓軌道運動的過程中，與太陽的連線在單位時間內掃過的面積相等；第三定律：所有行星的軌道的半長軸的三次方跟公轉周期的二次方的比值都相等即開普勒行星運動的定律是在丹麥天文學家弟谷的大量觀測數據的基礎上概括出的，給出了行星運動的規律。2

2、萬有引力定律及其應用(1) 內容：宇宙間的一切物體都是相互吸引的，兩個物體間的引力大小跟它們的質量成積成正比，跟它們的距離平方成反比，引力方向沿兩個物體的連線方向。 （1687年）叫做引力常量，它在數值上等于兩個質量都是1kg的物體相距1m時的相互作用力，1798年由英國物理學家卡文迪許利用扭秤裝置測出。萬有引力常量的測定卡文迪許扭秤實驗原理是力矩平衡。實驗中的方法有：力學放大（借助于力矩將萬有引力的作用效果放大） 光學放大（借助于平面境將微小的運動效果放大）萬有引力常量的測定使卡文迪許成為“能稱出地球質量的人”：對于地面附近的物體m有： 或GM =R2g式中RE為地球半徑或物體到地球球心間的

3、距離可得到： (2)定律的適用條件嚴格地說公式只適用于質點間的相互作用。當兩個物體間的距離遠遠大于物體本身的大小時，公式可近似使用，此時r應為兩物體重心間的距離對于均勻的球體，r是兩球心間的距離 當兩個物體間距離無限靠近時，不能視為質點，定律不再適用，不能依公式算出F近為無窮大。 注意：萬有引力定律把地面上的運動與天體運動統一起來，是自然界中最普遍的規律之一，式中引力恒量G的物理意義是：G在數值上等于質量均為1kg的兩個質點相距1m時相互作用的萬有引力(3) 地球自轉對地表物體重力的影響 重力是萬有引力產生的，由于地球的自轉，因而地球表面的物體隨地球自轉時需要向心力重力實際上是萬有引力的一個分

4、力另一個分力就是物體隨地球自轉時需要的向心力，如圖所示，在緯度為的地表處，萬有引力的一個分力充當物體隨地球一起繞地軸自轉所需的向心力 F向=mRcos·2（方向垂直于地軸指向地軸），而萬有引力的另一個分力就是通常所說的重力mg，其方向與支持力N反向，應豎直向下，而不是指向地心。由于緯度的變化，物體做圓周運動的向心力F向不斷變化，因而表面物體的重力隨緯度的變化而變化，即重力加速度g隨緯度變化而變化，從赤道到兩極R逐漸減小，向心力mRcos·2減小，重力逐漸增大，相應重力加速度g也逐漸增大。OONF心mF引mg甲在赤道處，物體的萬有引力分解為兩個分力F向和m2g剛好在一條直線上

5、，則有FF向m2g，所以m2g=F一F向Gm2R自2 物體在兩極時，其受力情況如圖丙所示，這時物體不再做圓周運動，沒有向心力，物體受到的萬有引力F引和支持力N是一對平衡力，此時物體的重力mgNF引。NoF引丙NF引o乙綜上所述重力大小：兩個極點處最大，等于萬有引力；赤道上最小，其他地方介于兩者之間，但差別很小。重力方向：在赤道上和兩極點的時候指向地心，其地方都不指向地心，但與萬有引力的夾角很小。由于地球自轉緩慢，物體需要的向心力很小，所以大量的近似計算中忽略了自轉的影響，在此基礎上就有：地球表面處物體所受到的地球引力近似等于其重力，即mg 說明：由于地球自轉的影響，從赤道到兩極，重力的變化為千

6、分之五；地面到地心的距離每增加一千米，重力減少不到萬分之三，所以，在近似的計算中，認為重力和萬有引力相等。 萬有引力定律的應用基本方法：衛星或天體的運動看成勻速圓周運動F萬=F心 方法軌道上正常轉：地面： G= mgGM=gR2 (黃金代換式) （1）天體表面重力加速度問題設天體表面重力加速度為g，天體半徑為R，由 mg=得 g=由此推得兩個不同天體表面重力加速度的關系為： 在地球的同一緯度處，g隨物體離地面高度的增大而減小，即mgh=GMm/（R+h）2比較得 gh=（）2·g（2）利用衛星計算中心天體的質量某星體m圍繞中心天體M做圓周運動的周期為T，圓周運動的軌道半徑為r，則：

7、由得中心天體的質量： 例如：利用月球可以計算地球的質量，利用地球可以計算太陽的質量。可以注意到：環繞星體本身的質量在此是無法計算的。（3）計算中心天體的密度= 可見，只要用實驗方法測出衛星做圓周運動的半徑r及運行周期T，就可以算出天體的質量M若知道行星的半徑則可得行星的密度（4）發現未知天體 用萬有引力去分析已經發現的星體的運動，可以知道在此星體附近是否有其他星體，例如：歷史上海王星是通過對天王星的運動軌跡分析發現的。冥王星是通過對海王星的運動軌跡分析發現的。 人造地球衛星這里特指繞地球做勻速圓周運動的人造衛星，實際上大多數衛星軌道是橢圓，而中學階段對做橢圓運動的衛星一般不作定量分析。1、 衛

8、星的軌道平面：由于地球衛星做圓周運動的向心力是由萬有引力提供的，所以衛星的軌道平面一定過地球球心，球心一定在衛星的軌道平面內。2、 原理：由于衛星繞地球做勻速圓周運動，所以地球對衛星的引力充當衛星所需的向心力3、表征衛星運動的物理量：線速度、角速度、周期等： （1）向心加速度與r的平方成反比=當r取其最小值時，取得最大值： a向max= g=9.8m/s2 （2）線速度v與r的平方根成反比v= 當h，v當r取其最小值地球半徑R時，v取得最大值：vmax=7.9km/s（3）角速度與r的三分之三次方成反比= 當h，當r取其最小值地球半徑R時，取得最大值：max=1.23×103rad/

9、s（4）周期T與r的二分之三次方成正比。T=2 當h，T當r取其最小值地球半徑R時，T取得最小值：Tmin=2=284 min（5）人造天體在運動過程中的能量關系(類似原子模型) 同樣質量的衛星在不同高度軌道上的機械能不同 其中衛星的動能為 由于重力加速度g隨高度增大而減小，所以重力勢能不能再用Ek=mgh計算 要用到新的重力勢能公式：以無窮遠處引力勢能為零，M為地球質量，m為衛星質量，r為衛星軌道半徑。由于從無窮遠向地球移動過程中萬有引力做正功，所以系統勢能減小，故為負機械能為 同樣質量的衛星，軌道半徑越大，即離地面越高，衛星具有的機械能越大，發射越困難。 當人造天體具有較大的初動能時，它將

10、上升到較高的軌道運動，而在較高軌道上運動的人造天體卻具有較小的動能。 如果人造天體在運動中動能減小，它的軌道半徑將減小，在這一過程中，因引力對其做正功，故導致其動能將增大。4同步衛星（所有的通迅衛星都為同步衛星）同步衛星 “同步”的含義就是和地球保持相對靜止（又叫靜止軌道衛星），其周期等于地球自轉周期，既T=24h，特點（1） 地球同步衛星的軌道平面 非同步人造地球衛星其軌道平面可與地軸有任意夾角，而同步衛星一定位于赤道的正上方，不可能在與赤道平行的其他平面上。這是因為：不是赤道上方的某一軌道上跟著地球的自轉同步地作勻速圓運動，衛星的向心力為地球對它引力的一個分力F1，而另一個分力F2的作用將

11、使其運行軌道靠赤道，故此，只有在赤道上空，同步衛星才可能在穩定的軌道上運行。（2）地球同步衛星的周期：地球同步衛星的運轉周期與地球自轉周期相同（3）同步衛星必位于赤道上方h處，且h是一定的得故（4）地球同步衛星的線速度：環繞速度由得（5）運行方向一定自西向東運行 應該熟記常識地球公轉周期1年， 自轉周期1天=24小時=86400s， 地球表面半徑6.4103km， 表面重力加速度g=9.8 m/s2 ，月球公轉周期27天 宇宙速度及其意義(1)三個宇宙速度的值分別為第一宇宙速度（又叫最小發射速度、最大環繞速度、近地環繞速度）：物體圍繞地球做勻速圓周運動所需要的最小發射速度，又稱環繞速度，其值為

12、： 第一宇宙速度的計算方法一：地球對衛星的萬有引力就是衛星做圓周運動的向心力G=m，v=。當h，v，所以在地球表面附近衛星的速度是它運行的最大速度其大小為rh（地面附近）時：=79×103m/s方法二：在地面附近物體的重力近似地等于地球對物體的萬有引力，重力就是衛星做圓周運動的向心力當rh時ghg 所以v1=79×103m/s第二宇宙速度（脫離速度）：如果衛生的速大于而小于，衛星將做橢圓運動當衛星的速度等于或大于的時候，物體就可以掙脫地球引力的束縛，成為繞太陽運動的人造行星，或飛到其它行星上去，把叫做第二宇宙速度第二宇宙速度是掙脫地球引力束縛的最小發射速度。第三宇宙速度：

13、物體掙脫太陽系而飛向太陽系以外的宇宙空間所需要的最小發射速度，又稱逃逸速度，其值為： (2)當發射速度v與宇宙速度分別有如下關系時，被發射物體的運動情況將有所不同 當vv1時，被發射物體最終仍將落回地面； 當v1vv2時，被發射物體將環繞地球運動，成為地球衛星； 當v2vv3時，被發射物體將脫離地球束縛，成為環繞太陽運動的“人造行星”； 當vv3時，被發射物體將從太陽系中逃逸。題型解析類型題1： 萬有引力定律的直接應用 【例題】下列關于萬有引力公式的說法中正確的是（C）A公式只適用于星球之間的引力計算，不適用于質量較小的物體B當兩物體間的距離趨近于零時，萬有引力趨近于無窮大C兩物體間的萬有引力

14、也符合牛頓第三定律D公式中萬有引力常量G的值是牛頓規定的【例題】設想把質量為m的物體，放到地球的中心，地球的質量為M，半徑為R，則物體與地球間的萬有引力是（C）AB無窮大C零D無法確定【例題】設想人類開發月球，不斷地把月球上的礦藏搬運到地球上假如經過長時間開采后，地球仍可看成均勻球體，月球仍沿開采前的圓軌道運動則與開采前比較A地球與月球間的萬有引力將變大B地球與月球間的萬有引力將減小C月球繞地球運動的周期將變長D月球繞地球運動的周期將變短解析：設地球和月球的質量分別為M、m，它們之間的引力為，由于地球和月球m是一常數，根據數學知識，當m時，·m取最大值，、m相差越多，·m越

15、小，越小。地球比月球的質量大，還要把月球上的礦藏搬運到地球上，就使得，m相差更多，所以·m就越小，越小。答案：B、D類型題2： 重力加速度g隨離高度h變化情況 表面重力加速度：軌道重力加速度：【例題】設地球表面的重力加速度為g，物體在距地心4R（R是地球半徑）處，由于地球的引力作用而產生的重力加速度g，則g/g，為（D）A、1：2 B、1/9； C、1/4； D、1/16解析：因為g= G，g， = G，所以g/g，=1/16，即D選項正確。【例題】火星的質量和半徑分別約為地球的和，地球表面的重力加速度為g，則火星表面的重力加速度約為（B）(A)0.2 g(B)0.4 g (C)2.

16、5 g (D)5 g分析： 兩個不同天體表面重力加速度的關系為： 類型題3： 用萬有引力定律求天體的質量和密度 通過觀天體衛星運動的周期T和軌道半徑r或天體表面的重力加速度g和天體的半徑R，就可以求出天體的質量M。由 得 又 得 【例題】已知地球繞太陽公轉的軌道半徑r=1.491011m， 公轉的周期T=3.16107s，求太陽的質量M。解析：根據地球繞太陽做圓周運動的向心力來源于萬有引力得：=1.96 1030kg【例題】宇航員在一星球表面上的某高處，沿水平方向拋出一小球。經過時間t，小球落到星球表面，測得拋出點與落地點之間的距離為L。若拋出時初速度增大到2倍，則拋出點與落地點之間的距離為L

17、。已知兩落地點在同一水平面上，該星球的半徑為R，萬有引力常數為G。求該星球的質量M。解析：設拋出點的高度為h， 可得=L/3設該星球上的重力加速度為g，由平拋運動的規律得：可得由萬有引力定律與牛頓第二定律得：聯立以上各式解得【例題】某行星的衛星，在靠近行星的軌道上運動，若要計算行星的密度，唯一要測量出的物理是（ D ）A：行星的半徑B：衛星的半徑C：衛星運行的線速度D：衛星運行的周期【例題】如果某行星有一顆衛星沿非常靠近此恒星的表面做勻速圓周運動的周期為T，則可估算此恒星的密度為多少?解析：設此恒星的半徑為R，質量為M，由于衛星做勻速圓周運動，則有 G=mR， 所以，M=而恒星的體積V=R3，

18、所以恒星的密度=。【例題】中子星是恒星演化過程的一種可能結果，它的密度很大。現有一中子星，觀測到它的自轉周期為T=s。問該中子星的最小密度應是多少才能維持該星的穩定，不致因自轉而瓦解。計算時星體可視為均勻球體。引力常數G=6.6710m/kg·s解析：設想中子星赤道處一小塊物質，只有當它受到的萬有引力大于或等于它隨星體所需的向心力時，中子星才不會瓦解。設中子星的密度為，質量為M ，半徑為R，自轉角速度為，位于赤道處的小物塊質量為m，則有 由以上各式得，代入數據解得：。例題設想我國宇航員隨“嫦娥”號登月飛船繞月球飛行，飛船上備有以下實驗儀器：A.計時表一只B.彈簧秤一把C.已知質量為m

19、的物體一個D.天平一只（附砝碼一盒）。在飛船貼近月球表面時可近似看成繞月做勻速圓周運動，宇航員測量出飛船在靠近月球表面的圓形軌道繞行N圈所用時間為t。飛船的登月艙在月球上著陸后，遙控機器人利用所攜帶的儀器又進行第二次測量，科學家利用上述兩次測量數據便可計算出月球的半徑和質量。若已知萬有引力常量為G，則 （1）簡述機器人是如何通過第二次測量物體在月球所受的重力F。（2）試利用測量數據（用符號表示）球月球的半徑和質量。解析 (1)利用彈簧秤測量物體m的重力F（2）在月球近地表面有 在月球表面有 則有 ， 【答案】(1)略（2） ，類型題4： 雙星問題 宇宙中往往會有相距較近，質量可以相比的兩顆星球

20、，它們離其它星球都較遠，因此其它星球對它們的萬有引力可以忽略不計。在這種情況下，它們將圍繞它們連線上的某一固定點（幾何點）做同周期的勻速圓周運動。這種結構叫做雙星。由于雙星和該固定點總保持三點共線，所以在相同時間內轉過的角度必相等，即雙星做勻速圓周運動的角速度必相等，因此周期也必然相同。由于每顆星的向心力都是由雙星間相互作用的萬有引力提供的，因此大小必然相等，由F=m2r可得，于是有 m1m2r1r2O列式時須注意：萬有引力定律表達式中的r表示雙星間的距離，按題意應該是L，而向心力表達式中的r表示它們各自做圓周運動的半徑，在本題中為r1、r2，千萬不可混淆【例題】在天文學中，把兩顆相距較近的恒

21、星叫雙星，已知兩恒星的質量分別為m和M，兩星之間的距離為L，兩恒星分別圍繞共同的圓心作勻速圓周運動，如圖所示，求恒星運動的半徑和周期。Mmo解析：兩顆恒星在萬有引力作用下圍繞共同點O(物理學上把它叫做質心)作勻速圓周運動，O點在兩顆恒星的連線上，設兩顆星到O的距離分別為r、R，它們運動的周期為T，由萬有引力定律和牛頓第二定律對質量為m的恒星有 對質量為M的恒星有 r+R=L由以上三式解得 答案： 技巧點拔：解圓周運動問題，確定圓心的位置是很重要的。另外，雙星系統在宇宙中是比較普遍的，如果兩顆星的質量相差懸殊，如mM，則r=L，R=0，這時可以把大質量星看作靜止的，小質量星圍繞大質量星運動。【例

22、題】兩個星球組成雙星，它們在相互之間的萬有引力作用下，繞連線上某點做周期相同的勻速圓周運動。現測得兩星中心距離為R，其運動周期為T，求兩星的總質量。解析：設兩星質量分別為M1和M2，都繞連線上O點作周期為T的圓周運動，星球1和星球2到O的距離分別為l1和l2。由萬有引力定律和牛頓第二定律及幾何條件可得M1：GM1（）2 l1 M2M2：GM2（）2 l2 M1兩式相加得M1M2（l1l2）【例題】在光滑桿上穿著兩個小球m1、m2，且m1=2m2，用細線把兩球連起來，當盤架勻速轉動時，兩小球剛好能與桿保持無相對滑動，如圖所示。此時兩小球到轉軸的距離r1與r2之比為（ ） r1 r2m1 m2A1

23、1B1 C21D12解析：兩球向心力、角速度均相等，由公式F=m2r 得r，則=。 答案：D【例題】宇宙中存在一些離其他恒星較遠的、由質量相等的三顆星組成的三星系統，通常可忽略其他星體對它們的引力作用，已觀測到穩定的三星系統存在兩種基本的構成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運行，設每個星體的質量均為m。（1）試求第一種形式下，星體運動的線速度和周期；（2）假設兩種形式下星體的運動周期相同，第二種形式下星體之間的距離應為多少？解析：類型題5： 人造衛星的變軌問題 【例題】“

24、神舟三號”順利發射升空后，在離地面340km的圓軌道上運行了108圈。運行中需要多次進行 “軌道維持”。所謂“軌道維持”就是通過控制飛船上發動機的點火時間和推力的大小方向，使飛船能保持在預定軌道上穩定運行。如果不進行軌道維持，由于飛船受軌道上稀薄空氣的摩擦阻力，軌道高度會逐漸降低，在這種情況下飛船的動能、重力勢能和機械能變化情況將會是A動能、重力勢能和機械能都逐漸減小B重力勢能逐漸減小，動能逐漸增大，機械能不變C重力勢能逐漸增大，動能逐漸減小，機械能不變D重力勢能逐漸減小，動能逐漸增大，機械能逐漸減小解析：由于阻力很小，軌道高度的變化很慢，衛星運行的每一圈仍可認為是勻速圓周運動。由于摩擦阻力做

25、負功，根據機械能定理，衛星的機械能減小；由于重力做正功，根據勢能定理，衛星的重力勢能減小；由可知，衛星動能將增大。這也說明該過程中重力做的功大于克服阻力做的功，外力做的總功為正。答案選D【例題】 如圖所示，某次發射同步衛星時，先進入一個近地的圓軌道，然后在P點點火加速，進入橢圓形轉移軌道（該橢圓軌道的近地點為近地圓軌道上的P，遠地點為同步軌道上的Q），到達遠地點時再次自動點火加速，進入同步軌道。設衛星在近地圓軌道上運行的速率為v1，在P點短時間加速后的速率為v2，沿轉移軌道剛到達遠地點Q時的速率為v3，在Q點短時間加速后進入同步軌道后的速率為v4。試比較v1、v2、v3、v4的大小，并用小于號

26、將它們排列起來_。Qv2v3Pv4v1解析：根據題意在P、Q兩點點火加速過程中，衛星速度將增大，所以有v2>v1、v4>v3，而v1、v4是繞地球做勻速圓周運動的人造衛星的線速度，由于它們對應的軌道半徑r1< r4，所以v1>v4。把以上不等式連接起來，可得到結論：v2>v1>v4>v3。（衛星沿橢圓軌道由PQ運行時，由于只有重力做負功，衛星機械能守恒，其重力勢能逐漸增大，動能逐漸減小，因此有v2>v3。）【例題】發射地球同步衛星時，先將衛星發射至近地圓軌道1，然后經點火，使其沿橢圓軌道2運行，最后再次點火，將衛星送入同步圓軌道3。軌道1、2相切

27、于Q點。軌道2、3相切于P點（如圖），則當衛星分別在1，2，3，軌道上正常運行時，以下說法正確的是（ ）Q123PA衛星在軌道3上的速率大于在軌道上的速率B衛星在軌道3上的角速度小于在軌道上的角速度C衛星在軌道1上經過Q點時的加速度大于它在軌道2上經過Q點時的加速度D衛星在軌道2上經過P點時的加速度等于它在軌道3上經過P點時的加速度解析：從動力學的角度思考，衛星受到的引力使衛星產生運動的加速度（），所以衛星在軌道上經過點時的加速度等于它在軌道上經過點時的加速度，衛星在軌道上經過點時的加速度等于它在軌道上經過點時的加速度。必須注意，如果從運動學的角度思考（），由于衛星在不同的軌道上經過相同點時，

28、不但線速度、角速度不同，而且軌道半徑（曲率半徑）不同，所以不能做出判斷。案：B、D【例題】 歐洲航天局用阿里亞娜火箭發射地球同步衛星。該衛星發射前在赤道附近（北緯5°左右）南美洲的法屬圭亞那的庫盧基地某個發射場上等待發射時為1狀態，發射到近地軌道上做勻速圓周運動時為2狀態，最后通過轉移、調試，定點在地球同步軌道上時為3狀態。將下列物理量按從小到大的順序用不等號排列：這三個狀態下衛星的線速度大小_；向心加速度大小_；周期大小_。解析：比較2、3狀態，都是繞地球做勻速圓周運動，因為r2<r3，所以v3<v2；比較1、3狀態，周期相同，即角速度相同，而r1<r3由v= r

29、，顯然有v1<v3；因此v1<v3<v2。比較2、3狀態，都是繞地球做勻速圓周運動，因為r2<r3，而向心加速度就是衛星所在位置處的重力加速度g=GM/r21/r2，所以a3<a2；比較1、3狀態，角速度相同，而r1<r3，由a=r2r，有a1<a3；所以a1<a3<a2。比較1、2狀態，可以認為它們軌道的周長相同，而v1< v2，所以T2<T1；又由于3狀態衛星在同步軌道，周期也是24h，所以T3=T1，因此有T2<T1=T3例題 “嫦娥一號”探月衛星以圓形軌道繞月飛行，衛星將獲取的信息以微波信號發回地球，假設衛星繞月的

30、軌道平面與地月連心線共面，各已知物理量如表中所示：地球質量月球質量地球半徑月球半徑月球表面重力加速度月球繞地軌道半徑衛星繞月軌道半徑MmR1g1r r1（1）嫦娥一號在奔月過程中受地球和月球引力相等時離月球面的高度為多少？（2）嫦娥一號繞月球一周所用的時間為多少？解析（1）設衛星質量m，由萬有引力定律得：衛星受地球和月球引力相等有： 又因為：r ，衛星到月球表面的距離為：解得 （2）由月球對衛星的萬有引力提供向心力得： 在月球表面有：解得繞月球一周所用的時間為： 【答案】（1） （2）例題我國研制的“嫦娥一號”衛星于2007年10月24日18時由長征三甲運載火箭發射升空，星箭分離后在遠地點做了

31、一次變軌，進入到16小時軌道，然后分別在16小時、24小時（停泊軌道）、48小時軌道（調相軌道）軌道近地點，各進行了一次變軌，其中在調相軌道近地點變軌后，“嫦娥一號”衛星進入地月轉移軌道正式奔月，下列說法中正確的是（）A“嫦娥一號”由24小時軌道變為48小時軌道時應讓其發動機在A點點火向后噴氣B“嫦娥一號”由24小時軌道變為48小時軌道時應讓其發動機在B點點火向后噴氣C“嫦娥一號”沿24小時軌道在B點的速度大于沿24小時軌道在A點的速度D“嫦娥一號”沿48小時軌道在B點的加速度大于沿24小時軌道在B點的加速度 解析 “嫦娥一號”由由24小時軌道變為48小時軌道應做離心運動，此時要增大速度，若選

32、在A點點火，這樣會使衛星進入另一個與A點相切的橢圓軌道，而不會進入預定的與B點相切的48小時軌道，因此要在B點點火，A錯B對；“嫦娥一號”沿24小時橢圓軌道運動時，B點相當于近地點而A點相當于遠地點，根據機械能守恒可知C選項正確。根據公式GMm/R2=ma可知“嫦娥一號”沿48小時軌道在B點的加速度等于沿24小時軌道在B點的加速度，故D錯。【答案】B、C 規律總結 在處理變軌問題時，一定要分清圓周軌道與橢圓軌道，弄清楚軌道切點上速度的關系，再根據機械能的變化分析衛星的運動情況。例題圖7是“嫦娥一導奔月”示意圖，衛星發射后通過自帶的小型火箭多次變軌，進入地月轉移軌道，最終被月球引力捕獲，成為繞月

33、衛星，并開展對月球的探測，下列說法正確的是（ ）A發射“嫦娥一號”的速度必須達到第三宇宙速度B在繞月圓軌道上，衛星周期與衛星質量有關C衛星受月球的引力與它到月球中心距離的平方成反比D在繞月圓軌道上，衛星受地球的引力大于受月球的引力解析 “嫦娥一號”只是擺脫地球吸引，但并未飛離太陽系，則其發射速度應大于第二宇宙速度而小于第三宇宙速度，A錯。根據可知繞月周期與衛星質量無關，B錯。根據萬有引力定律可知C正確。衛星在擺脫地球引力后才能達到繞月圓軌道，故該軌道上，衛星受月球引力遠大于地球引力，D錯。【答案】 C練習 2008年9月我國成功發射神舟七號載人航天飛船。如圖所示為神舟七號繞地球飛行時的電視直播

34、畫面，圖中數據顯示，飛船距地面的高度約為地球半徑的。已知地球半徑為R，地面附近的重力加速度為g，設飛船、大西洋星繞地球均做勻速圓周運動。(1)估算神舟七號飛船在軌運行的加速度大小；(2)已知大西洋星距地面的高度約為地球半徑的6倍，估算大西洋星的速率。解：（1）飛船繞地球做勻速圓周運動的加速度為a，飛船質量為m1,由萬有引力定律和牛頓第二定律得 由物體在地球表明受到的萬有引力近似等于物體重力得 由式得 （2）大西洋星繞地球做勻速圓周運動的速度為v、質量為m2，由萬有引力定律和牛頓第二定律，得 =6R， 由式得類型題6： 衛星的追及問題 【例題】如右圖所示，有A、B兩個行星繞同一恒星O做圓周運動，

35、旋轉方向相同，A行星的周期為T1，B行星的周期為T2，在某一時刻兩行星第一次相遇（即兩行星距離最近），則（BD）。A經過時間t=T2+T1，兩行星將第二次相遇B經過時間，兩行星將第二次相遇經過時間，兩行星第一次相距最遠D經過時間,兩行星第一次相距最遠【例題】A、B兩行星在同一平面內繞同一恒星做勻速圓周運動，運行方向相同，A的軌道半徑為r1，B的軌道半徑為r2，已知恒星質量為，恒星對行星的引力遠大于得星間的引力，兩行星的軌道半徑r1r2。若在某一時刻兩行星相距最近，試求：（1）再經過多少時間兩行星距離又最近？ （2）再經過多少時間兩行星距離最遠？解析：（1）A、B兩行星如右圖所示位置時距離最近，

36、這時A、B與恒星在同一條圓半徑上，A、B運動方向相同，A更靠近恒星，A的轉動角度大、周期短，如果經過時間t，A、B與恒星連線半徑轉過的角度相差2的整數倍，則A、B與恒星又位于同一條圓半徑上，距離最近。解：（1）設A、B的角速度分別為1、2，經過時間t，A轉過的角度為1t，B轉過的角度為2t。A、B距離最近的條件是：1t-2t=恒星對行星的引力提供向心力，則：由得得出：，求得：。（2）如果經過時間，A、B轉過的角度相差的奇數倍時，則A、B相距最遠，即。故把1、2代入得：點評：太陽系有九大行星，它們之間有相對運動，如要知道哈雷彗星下次光顧地球是什么時間，就要分析兩運動間的角速度關系，本題關鍵是正確

37、寫出兩行星相距離最近和相距最遠的條件。類型題7： 數學知識的運用 物理是以數學為基礎的。合理運用數學知識，可以使問題簡化。甚至在有的問題中，數學知識起關鍵作用。1用比值法求解有關問題【例題】（全國高考）假設火星和地球都是球體，火星的質量為M火和地球質量M地之比M火M地p，火星半徑R火和地球半徑R地之比R火R地q，那么火星表面重力加速度g火和地球表面重力加速度g地之比為（A）ABCDpq2割補法的運用【例題】如圖所示，在距一質量為M、半徑為R、密度均勻的球體中心2R處，有一質量為m的質點，M對m的萬有引力的大小為F。現從M中挖出一半徑為r的球體，如圖，OO=R/2。求M中剩下的部分對m的萬有引力

38、的大小。moor解析：根據萬有引力定律，挖去的球體原來對質點m的引力為，而。所以剩下的部分對質點m的引力為。答案： 練習 如圖所示，在一個半徑為R、質量為M的均勻球體中，緊貼球的邊緣挖去一個半徑為R/2的球形空穴后，對位于球心和空穴中心連線上、與球心相距d的質點m的引力是多大？解析把整個球體對質點的引力看成是挖去的小球體和剩余部分對質點的引力之和其中完整的均質球體對球外質點m的引力這個引力可以看成是：m挖去球穴后的剩余部分對質點的引力F1與半徑為R/2的小球對質點的引力F2之和，即F=F1+F2因半徑為R/2的小球質量M/為.則所以挖去球穴后的剩余部分對球外質點m的引力.【答案】 3代數知識的

39、運用【例題】地球同步衛星到地心的距離r可由求出。已知式中a的單位是m，b的單位是s，c的單位是m/s2，則（）A是地球半徑，b是球自轉的周期，是地球表面處的重力加速度B是地球半徑，b是同步衛星繞地心運動的周期，C是同步衛星的加速度Ca是赤道周長，b是地球自轉周期，c是同步衛星的加速度Da是地球半徑，是同步衛星繞地心運動的周期。c是地球表面處的重力加速度解析：同步衛星m圓周運動的向心力由地球對它的引力提供，設地球自轉周期為，物體m在地球表面的重量約等于地球對它的萬有引力，所以。由上兩式可得：。其中也可以認為是同步衛星運動的周期。答案：A、D類型題8： 會求解衛星運動的綜合題【例題】某顆地球同步衛

40、星正下方的地球表面上有一觀察者，他用天文望遠鏡觀察被太陽光照射的此衛星，試問，春分那天（太陽光直射赤道）在日落12小時內有多長時間該觀察者看不見此衛星？已知地球半徑為R，地球表面處的重力加速度為g，地球自轉周期為T，不考慮大氣對光的折射。太陽光EOSARr解析：設所求的時間為t，用m、M分別表示衛星和地球的質量，r表示衛星到地心的距離。有春分時，太陽光直射地球赤道，如圖所示，圖中圓E表示赤道，S表示衛星，A表示觀察者，O表示地心。 由圖17可看出當衛星S繞地心O轉到圖示位置以后（設地球自轉是沿圖中逆時針方向），其正下方的觀察者將看不見它。 據此再考慮到對稱性，有由以上各式可解得 【例題】我國發

41、出了一顆同步衛星，定點位置與東經98°的經線在同一平面內。若把甘肅省嘉峪關處的經度和緯度近似取為東經98°和北緯=40°，已知地球半徑R、地球自轉周期T、地球表面重力加速度g（視為常量）和光速c。試求該同步衛星發出的微波信號傳到嘉峪關處的接收站所需的時間（要求用題給的已知量的符號表示）解析：根據題意，可知同步衛星，嘉峪關、地心在同一平面內。如圖全解設地球質量為M，衛星質量為m，衛星軌道半徑為r，衛星到嘉峪關的距離為L，如上圖。則：，（地球表面處物體的重量約等于地球對它的萬有引力）。由數學知識得：，又。由以上四式求解得：例題我國發射的“嫦娥一號”探月衛星沿近似于圓形

42、軌道繞月飛行。為了獲得月球表面全貌的信息，讓衛星軌道平面緩慢變化。衛星將獲得的信息持續用微波信號發回地球。設地球和月球的質量分別為M和m，地球和月球的半徑分別為R和R1，月球繞地球的軌道半徑和衛星繞月球的軌道半徑分別為r和r1，月球繞地球轉動的周期為T。假定在衛星繞月運行的一個周期內衛星軌道平面與地月連心線共面，求在該周期內衛星發射的微波信號因月球遮擋而不能到達地球的時間（用M、m、R、R1、r、r1和T表示，忽略月球繞地球轉動對遮擋時間的影響）。解析 如圖所示：設O和分別表示地球和月球的中心在衛星軌道平面上，A是地月連心線與地月球表面的公切線ACD的交點，D、C和B分別是該公切線與地球表面、

43、月球表面和衛星軌道的交點過A點在另一側作地月球面的公切線，交衛星軌道于E點衛星在圓弧上運動時發出的信號被遮擋設探月衛星的質量為m0，萬有引力常量為G，根據萬有引力定律有： ，式中，T1表示探月衛星繞月球轉動的周期由以上兩式可得：設衛星的微波信號被遮擋的時間為t，則由于衛星繞月球做勻速圓周運動，應有：， 式中，由幾何關系得： ， 由得： 【答案】練習地球和某行星在同一軌道平面內同向繞太陽做勻速圓周運動。地球的軌道半徑為R=1.50×1011m，運轉周期為T=3.16×107s。地球和太陽中心的連線與地球和行星的連線所夾的角叫地球對該行星的觀察視角（簡稱視角）。當行星處于最大視

44、角處時，是地球上的天文愛好者觀察該行星的最佳時期，如圖甲或圖乙所示，該行星的最大視角=14.5°。求該行星的軌道半徑和運轉周期（sin14.5°=0.25，最終計算結果均保留兩位有效數字）解：由題意當地球與行星的連線與行星軌道相切時,視角最大可得行星的軌道半徑r為: 代入數據得設行星繞太陽的運轉周期為T/,由開普勒第三定律：有代入數據得類型題9： 會求解黃金代換題例題我國首個月球探測計劃“嫦娥工程”將分三個階段實施，大約用十年左右時間完成，這極大地提高了同學們對月球的關注程度以下是某同學就有關月球的知識設計的兩個問題，請你解答：（1）若已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，月球繞地球運動的周期為T，且把月球繞地球的運動近似看做是勻速圓周運動。試求出月球繞地球運動的軌道半徑。（2）若某位宇航員隨登月飛船登陸月球后，在月球某水平表面上方h高處以速度v0水平拋出一個小球，小球落回到月球表面的水平距離為s。已知月球半徑為R月，萬有引力常量為G。試求出月球的質量M月。解析 （1）假設地球質量為M， 有GMm/R2=mg 設月球繞地球運動的軌道半徑為r， 有GM月m/r2=m月r(2/T)2由以上各式可得： （2）設物體下落到月面的時間為t