1、第五章二元一次方程組知識點整理知識點1:二元一次方程（組）的定義1、二元一次方程的概念含有兩個未知數，且所含未知數的項的次數都是1的方程叫做二元一次方程注意：1、（1）方程中的元指的是未知數，即二元一次方程有且只有兩個未知數（2）含有未知數的項的次數都是1.（3）二元一次方程的左右兩邊都必須是等式.（三個條件完全滿足的就是二元一次方程）2.含有未知數的項的系數不等于零，且兩未知數的次數為m=1,n=11。即若axm+byn=c是二元一次方程，則aw0,bw0且例1:已知（a2）xby1a115是關于x、y的二元一次方程，則a=b=L例2：下列方程為二元一次方程的有1_2, xy 2x y 2,

2、一y 7 x2. 一，一一_22x5y,x41,xy2,xy3,xy3x2y,abc1【鞏固練習】卜列方程中是二元一次方程的是（）D. 4xy=3A.3x-y2=0B.+-=1C.-y=6xy322、二元次方程組的概念1。方程組中每個方程均為整式方程。由兩個二元一次方程所組成的方程組叫二元一次方程組注意：方程組中有且只有兩個未知數。方程組中含有未知數的項的次數為例：下列方程組中，是次方程組的是A、xy42x3y72a3bB.5b4c11C.D.【鞏固練習】1,已知下列方程組:(1)2x3y2(2)3x(3)(4)y3y0其中屬于二元一次方程組的個數為（A. 1B. 2C.D.3m1、若x3n

3、3m r -一5y7是關于x、y 一兀次方程，則m=知識點2:二元一次方程組的解定義般地，使二元一次方程組中兩個方程左右兩邊的值都相等的兩個未知數的值叫做次方程組的解。類型題1根據定義判斷例：方程組2x2的解是（4xA.y【鞏固練習】B.xC.y1,ym1滿足方程2x2、下面幾個數組中，哪個是方程7x+2y=19的一個解（A、類型題2D.0,則B、C、D、已知方程組的解,而求待定系數。此類題型只需將解代入到方程中,求出相應系數的值，從而求代數式的值,一x-2例1:已知是萬程組y13mx2y11r22-的解，則mn的值為4xny72例2:若滿足方程組3xkx2y(2k4的x、y的值相等，則k=1

4、）y6【鞏固練習】1、若方程組2x2kxy(k1)y的解互為相反數，則k的值為102、若方程組，類型例:例:3xax4yb2yaxby43有相同的解，貝Ua=2xy5列方程組求待定字母系數是常用的解題方法.，b=11都是關于x、y的方程ax+by=6的解,3a+b的值為關于xy的二元一次方程ax+b=y的兩個解是y112,則這個二元一次方程是1【鞏固練習】x如果y1、2是萬程組axbyA、a+4c=2bxcy的解,那么，下列各式中成立的是（）B、4a+c=2C、a+4c+2=0D、4a+c+2=0知識點3:次方程組的解法方法一：代入消元法【典型例題】例2x7y83x8y100我們通過代入消去一

5、個未知數，將方程組轉化為一個一元一次方程來解，這種解法叫做代入消元法。用代入消元法解二元一次方程組的步驟：（1）從方程組中選取一個系數比較簡單的方程，把其中的某一個未知數用含另一個未知數的式子表示出來（2）把（1）中所得的方程代入另一個方程，消去一個未知數（3）解所得到的一元一次方程，求得一個未知數的值（4）把所求得的一個未知數的值代入（1）中求得的方程，求出另一個未知數的值，從而確定方程組的解【鞏固練習】1,方程x4y15用含y的代數式表示，乂是（）A. x 4y 15B. x 15 4yC. x 4y 15D. x 4y 152、把方程7x2y15寫成用含x的代數式表示y的形式，得（）2x

6、 15A. x=7B.x15x 2y7C.y7x 15D.y15 7x23、用代入法解方程組2x 5y x 3y21較為簡便的方法是（）A.先把變形B.先把變形C.可先把變形，也可先把變形D.把、同時變形方法二：加減消元法例：對于方程組x y 202x y 40分析：這個方程組的兩個方程中,y的系數有什么關系？利用這種關系你能發現新的消元方法嗎?解：一得，2xyxy4022即x18,把x 18代入得y 4。所以x=18y 4定義：兩個二元一次方程中同一未知數的系數相反或相等時，把這兩個方程的兩邊分別相加減，就能消去這個未知數,得到一個一元一次方程這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法。2m3n1例

7、1、方程組中，n的系數的特點是,所以我們只要將兩式,?就可以消去未知數,5m3n4化成一個一元一次方程，達到消元的目的.3x4y1例2、用加減法解7時，將方程兩邊乘以，？把方程兩邊乘以，可以比較簡便地2x3y6消去未知數.【方法掌握要訣】用加減法解二元一次方程組時，兩個方程中同一個未知數的系數必須相同或互為相反數，？即它們的絕對值相等.當未知數的系數的符號相同時，用兩式相減；當未知數的系數的符號相反時，用兩式相加。方程組的兩個方程中，如果同一個未知數的系數既不互為相反數，又不相等，就用適當的整數乘方程兩邊，使一個未知數的系數互為相反數或相等；？把兩個方程的兩邊分別相加或相減，消去一個未知數，得

8、到一個一元一次方程;解這個一元一次方程；將求出的未知數的值代入原方程組中的任意一個方程中，求出另一個未知數的值，從而得到方程組的解.【鞏固練習】1、用加減法解方程組3x2y6時，要使方程中同一個未知數的系數相等或互為相反數，必須適當變形，以下四2x3y1種變形正確的是()9x 6y 6 4x 6y 29x 6y 184x 6y 29x 6y 184x 6y 26x 4y 12 6x 9y 3A. (1) (2)B. (2) (3)C. (3) (4)D. (4) (1)2x3y5對于方程組而言，你能設法讓兩個方程中x的系數相等嗎？你的方法是；若讓3x4y332、兩個方程中y的系數互為相反數，你

9、的方法是3、用加減消元法解方程組2x3y5正確的方法是()x3y7A.得2x 5B.得3x 12C.得3x75D.先將變為x3y7，再得x2以下教科書中沒有的幾種解法(可以作為培優學生的拓展)(一)加減-代入混合使用的方法.例1,13x+14y=41(1)14x+13y=40(2)解:(2)-(1)得x-y=-1x=y-1(3)把(3)代入(1)得13(y-1)+14y=4113y-13+14y=4127y=54y=2把y=2代入(3)得x=1所以：x=1,y=2特點:兩方程相加減，單個x或單個y,這樣就適用接下來的代入消元.(二)換元法例2,(x+5)+(y-4)=8(x+5)-(y-4)=

10、4令x+5=m,y-4=n原方程可寫為m+n=8m-n=4解得m=6,n=2所以x+5=6,y-4=2所以x=1,y=6特點：兩方程中都含有相同的代數式，如題中的x+5,y-4之類，換元后可簡化方程也是主要原因。(三)另類換元例3,x:y=1:45x+6y=29令x=t,y=4t方程2可寫為：5t+6*4t=2929t=29t=1所以x=1,y=4知識點4:實際問題與二元一次方程組列二元一次方程組解應用題的一般步驟可概括為“審、找、歹h解、答”五步，即：(1)審：通過審題，把實際問題抽象成數學問題，分析已知數和未知數，并用字母表示其中的兩個未知數;(2)找：找出能夠表示題意兩個相等關系；(3)

11、歹U:根據這兩個相等關系列出必需的代數式，從而列出方程組；(4)解：解這個方程組，求出兩個未知數的值；(5)答：在對求出的方程的解做出是否合理判斷的基礎上，寫出答案列方程組解應用題中常用的基本等量關系1.行程問題：諫叫時間 路程=速度乂時間一時洵.一透度(1)追擊問題：追擊問題是行程問題中很重要的一種，它的特點是同向而行。這類問題比較直觀，畫線段，用圖便于理解與分析。其等量關系式是：兩者的行程差=開始時兩者相距的路程;(2)相遇問題：相遇問題也是行程問題中很重要的一種，它的特點是相向而行。這類問題也比較直觀，因而也畫線段圖幫助理解與分析。這類問題的等量關系是：雙方所走的路程之和=總路程。(3)

12、航行問題：船在靜水中的速度+水速=船的順水速度；船在靜水中的速度-水速=船的逆水速度；順水速度逆水速度=2X水速。注意：飛機航行問題同樣會出現順風航行和逆風航行，解題方法與船順水航行、逆水航行問題類似。2 .工程問題：工作效率X工作時間=工作量.3 .商品銷售利潤問題：利潤率=售%科介X100%利潤=售價成本(進價)；(2)進階；(3)利潤=成本(進價)X利潤率；標價=成本(進價)X(1+利潤率)；(5)實際售價=標價X打折率;打幾折就是按標價的十分之幾或百分之幾十銷售。(例如八折就是按標價的十分之八即五分之四或者百分之八十)4 .儲蓄問題：利息=本金X利率X期數本息和=本金+利息=本金+本金

13、X利率X期數=本金X（1+利率X期數）利息稅=利息X利息稅率=本金X利率X期數X利息稅率。稅后利息=利息X（1利息稅率）。5 .配套問題：解這類問題的基本等量關系是：總量各部分之間的比例=每一套各部分之間的比例。6 .增長率問題：解這類問題的基本等量關系式是：原量X（1+增長率）=增長后的量；原量X（1減少率）=減少后的量.7 .和差倍分問題：解這類問題的基本等量關系是：較大量=較小量十多余量，總量=倍數X倍量8 .數字問題：解決這類問題，首先要正確掌握自然數、奇數、偶數等有關概念、特征及其表示。如當n為整數時，奇數可表示為2n+1（或2n-1）,偶數可表示為2n等，有關兩位數的基本等量關系式

14、為：兩位數二十位數字x10+個位數字9 .優化方案問題：在解決問題時，常常需合理安排。需要從幾種方案中，選擇最佳方案，如網絡的使用、到不同旅行社購票等，一般都要運用方程解答，得出最佳方案。經典例題透析類型一：列二元一次方程組解決一一行程問題例：甲、乙兩地相距160千米，一輛汽車和一輛拖拉機同時由甲、乙兩地相向而行，1小時20分相遇.相遇后，拖拉機繼續前進，汽車在相遇處停留1小時后調轉車頭原速返回，在汽車再次出發半小日后追上了拖拉機.這時，汽車、拖拉機各自行駛了多少千米？舉一反三：【變式1】甲、乙兩人相距36千米，相向而行，如果甲比乙先走2小時，那么他們在乙出發2.5小時后相遇；如果乙比甲先走2

15、小時，那么他們在甲出發3小時后相遇，甲、乙兩人每小時各走多少千米？類型二：列二元一次方程組解決一一工程問題例：一家商店要進行裝修，若請甲、乙兩個裝修組同時施工，8天可以完成，需付兩組費用共3520元；若先請甲組單獨做6天，再請乙組單獨做12天可完成，需付兩組費用共3480元，問：（1）甲、乙兩組工作一天，商店應各付多少元？（2）已知甲組單獨做需12天完成，乙組單獨做需24天完成，單獨請哪組，商店所付費用最少？舉一反三：【變式3】小明家準備裝修一套新住房，若甲、乙兩個裝飾公司合作6周完成需工錢5.2萬元；若甲公司單獨做4周后，剩下的由乙公司來做，還需9周完成，需工錢4.8萬元.若只選一個公司單獨

16、完成，從節約開支的角度考慮，小明家應選甲公司還是乙公司？請你說明理由類型三：列二元一次方程組解決一一商品銷售利潤問題例：有甲、乙兩件商品，甲商品的利潤率為5%乙商品的利潤率為4%共可獲利46元。價格調整后，甲商品的利潤率為4%乙商品的利潤率為5%共可獲利44元，則兩件商品的進價分別是多少元？舉一反三：【變式4】某商場用36萬元貝進A、B兩種商品，銷售完后共獲利6萬元，其進價和售價如下表：AB進價（元/件）12001000售價（元/件）13801200（注：獲利=售價一進價）求該商場購進A、B兩種商品各多少件;類型四：列二元一次方程組解決一一銀行儲蓄問題例：小明的媽媽為了準備小明一年后上高中的費

17、用，現在以兩種方式在銀行共存了2000元錢，一種是年利率為2.25%的教育儲蓄，另一種是年利率為2.25%的一年定期存款，一年后可取出2042.75元，問這兩種儲蓄各存了多少錢？（利息所得稅=利息金額X20%教育儲蓄沒有利息所得稅）舉一反三：李明以兩種形式分別儲蓄了2000元和1000元，一年后全部取出，扣除利息所得稅可得利息43.92元.已知兩種儲蓄年利率的和為3.24%,問這兩種儲蓄的年利率各是百分之幾？（注：公民應繳利息所得稅=利息金額X20%）類型五：列二元一次方程組解決一一生產中的配套問題例：某服裝廠生產一批某種款式的秋裝，已知每2米的某種布料可做上衣的衣身3個或衣袖5只.現計劃用1

18、32米這種布料生產這批秋裝印考慮布料的損耗），應分別用多少布料才能使做的衣身和衣袖恰好配套？舉一反三：【變式7】現有190張鐵皮做盒子，每張鐵皮做8個盒身或22個盒底，一個盒身與兩個盒底配成一個完整盒子，問用多少張鐵皮制盒身，多少張鐵皮制盒底，可以正好制成一批完整的盒子？類型六：列二元一次方程組解決一一增長率問題例：某工廠去年的利潤（總產值一總支出）為200萬元，今年總產值比去年增加了20%,總支出比去年減少了10%,今年的利潤為780萬元，去年的總產值、總支出各是多少萬元？【變式10】某城市現有人口42萬，估計一年后城鎮人口增加0.8%農村人口增加1.1%這樣全市人口增加1%求這個城市的城鎮

19、人口與農村人口。類型七：列二元一次方程組解決一一和差倍分問題例：“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠原計劃每周生產帳篷共9千頂，現某地震災區急需帳篷14千頂，兩廠決定在一周內趕制出這批帳篷.為此，全體職工加班加點，“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠一周內制作的帳篷數分別達到了原來的1.6倍、1.5倍，恰好按時完成了這項任務.求在趕制帳篷的一周內，“愛心”帳篷廠和“溫暖”帳篷廠各生產帳篷多少千頂？舉一反三：【變式11】(2011年北京門頭溝區中考一模試題)“地球一小時”是世界自然基金會在2007年提出的一項倡議.號召個人、社區、企業和政府在每年3月最后一個星期六20時30分一21時30分熄燈一小時，旨在通

20、過一個人人可為的活動，讓全球民眾共同攜手關注氣候變化，倡導低碳生活.中國內地去年和今年共有119個城市參加了此項活動，且今年參加活動的城市個數比去年的3倍少13個，問中國內地去年、今年分別有多少個城市參加了此項活動.類型八：列二元一次方程組解決一一數字問題例：一個兩位數，減去它的各位數字之和的3倍，結果是23;這個兩位數除以它的各位數字之和，商是5,余數是1,這個兩位數是多少？舉一反三：【變式12】一個兩位數，十位上的數字比個位上的數字大5,如果把十位上的數字與個位上的數字交換位置，那么得到的新兩位數比原來的兩位數的一半還少9,求這個兩位數？類型九：列二元一次方程組解決一一濃度問題例：現有兩種酒精溶液，甲種酒精溶液的酒精與水的比是3:7,乙種酒精溶液的酒精與水的比是4：1,今要得到酒精與水白比為3：2的酒精溶液50kg,問甲、乙兩種酒精溶液應各取多少？舉一反三：【變式14】要配濃度是45%勺鹽水12千克，現有10%勺鹽水與85%勺鹽水，這兩種鹽水各需多少？類型十：列二元一次方程組解決一一幾何問題例：用長48厘米的鐵絲彎成一個矩形，若將此矩形的長邊剪掉3厘米，補到較短邊上去，則得到一個正方形，求正方形的面積比矩形面積大多少？舉一反三：【變式16】一塊矩形草坪的