1、1研究課教學設計案例：燒開水中的數學問題授課教師：劉靜 北京市第十五中學編者按： 北京市第十五中學是北京市重點中學， 以研究性學習和數學建模見長， 學校每 年都有一批學生在北京市高中數學知識應用競賽中獲得優秀成績。 作為一名年輕教師， 劉靜 老師在圖形計算器與中學數學課程的整合中進行了積極的探索， 下文就是她的其中一次嘗試 成果。本文還請特級教師隋麗麗老師從四個方面對教學設計進行了點評。1.1.教學內容分析：此課題選自普通高中新課標數學教材北師大版數學1 1，是高一上學期函數部分的教學內容。不同于一般的課型，此課在教師提出問題“如何燒開水最省煤氣？”之后，由學生 設計實驗方案， 親自做實驗采集

2、數據， 師生共同分析數據解決問題。 本課旨在使學生了解函 數在解決實際問題中的應用， 體會實際問題數學化的方法， 經歷數學建模的全過程、 體會函 數擬合的思想及操作步驟。評論 1 1 ：課題選擇符合課改理念課程標準 要求學生把函數作為描述客觀世界的重要數學模型來學習。 基于此， 劉老師選擇了新課標教材數學必修 1 1（北師大版）第四章 2.32.3 函數建模案例為教學內容。期望學生親身經歷一個自主探究、動手實踐、合作交流的學習過程。選題符合新課程理念。2.2.學生背景：學生此時已經系統的學習了函數的相關內容，學習了除三角函數以外的其它基本初等 函數。會用圖形計算器進行函數擬合的基本操作。教學內

3、容的完成不只是在一節課， 課前進行了大量的準備工作。 但正是由于有學生的親 身經歷過程，使得學生有解決問題的內心需要，因此學生課上積極性很高， 積極思考， 并且 樂于發表自己的看法。有的學生實驗誤差較大， 得到的數據不一定用二次函數擬合最好。 應該用圖形計算器對 擬合效果進行分析、 比較，選取最優的函數擬合。 但因學生課前不了解圖形計算器的此功能， 因此本課沒有把它作為教學內容的一部分，準備放到后序課再討論。3.3.教學目標：1.1. 通過“燒開水時如何最省燃氣”這一實際問題解決的過程，學生經歷從采集數據，到借 助手持技術處理數據，建立數學模型解決實際問題的全過程，了解函數在解決實際問題 中的

4、應用，體會實際問題數學化的方法。2.2. 通過對所采集數據的分析，學生發展對數據的觀察、分析能力；通過實際問題的解決提 高學生學習數學的興趣 , , 培養學生數學有用的意識以及應用數學的意識。3 3滲透數形結合、運動變化的思想方法。 教學重點：實際問題數學化的過程，函數擬合的思想 教學難點：實際問題數學化的過程4.4.方案構思：主要活動及其設計意圖 : : * *課前學生分小組，討論設計實驗步驟 * *學生在家做燒開水進行實驗采集數據，記錄每次的燃氣用量 * *課上，師生共同分析數據，利用圖形計算器進行數據處理，得到問題的解。2* *總結解決問題的全過程，進行反思評論 2 2教學方式靈活本節課

5、劉老師采用了課內外結合的方式。即，上節課課內：閱讀教材提供的背景資料提出要解決的實際問題一一自由結合，組成學習小組一一布置研究任務一一對將要實 施的實驗方案進行師生交流。課外：各學習小組作實驗一一收集相關數據，并借助手持技 術輔助處理數據一一建立數學模型一一用模型解釋所實際問題。本節課課內：師生交流解 決問題過程中所遇到的各種問題一一各組報告結果對解決實際問題的指導作用、合作的經 歷、遇到的困難等。在這樣一個數學學習過程中，加深了學生對變量數學的認識，體驗運用函數概念建立模型的過程和方法，較好的把握了促進學生對變量數學認識的機會。5.5.實際教學過程描述：一. 引入：現在許多家庭都以燃氣為燒水

6、做飯的燃料，節約用氣是非常現實的問題，怎樣燒開水最省燃氣？省燃氣的含義就是燒開一壺水的燃氣用量少。一般來說，燒水時是通過燃氣灶上的旋鈕控制燃氣流量的，旋鈕在不同位置燒開一壺水所用的燃氣量是不同的。于是，問題就是： 旋鈕在什么位置時燒開一壺水的燃氣用量最少？ 這是一個來自實際生活中的問題，學生親自動手做實驗，經歷采集數據的過程 從學生采集的數據中，選取一組有代表性的數據觀察、分析 項目 位置燃氣表開 始時讀數(m(m3) )燃氣表水開時讀數(m(m3) )所用燃氣量( (m m3) )2020 0.6970.6970.7660.7660.0690.0693030 0.7660.7660.8230

7、.8230.0570.0574040 0.8230.8230.8600.8600.0470.0475050 0.8600.8600.9030.9030.0430.0436060 0.9030.9030.9480.9480.0450.0457070 0.9480.9481.0001.0000.0520.0528080 1.0001.0001.0631.0630.0630.0632 2 6E-5X5XZ Z* * -2.-2.7E-3-X+0?7E-3-X+0?二. 新課：(1 1 )分析采集的數據，尋找突破口燃氣旋鈕在不同位置時燒開一壺水所需燃氣量表3旋鈕在什么位置時燒開一壺水的燃氣用量最少？我

8、們不可能測出所有旋鈕轉角對應的燃氣用量值，只能測出 有限的幾組數據，那這幾組數據能給我們什么啟示呢？觀察此表格你發現了什么？ 隨著旋鈕轉角的增大， 所用燃氣量有何變化趨勢？ （先減小后增大） 何時會達到最小？ 任意一個旋鈕位置都對應著唯一的一個燃氣用量。燃氣用量與旋鈕的位置是什么關 系？（函數關系）怎樣更直觀地將這種變化趨勢表示出來？ 引導學生觀察數據、分析數據，尋找問題的突破口 畫出數據的散點圖，直觀觀察變化趨勢 散點走向像你學過的哪些函數 ? ? 我們可以用一元二次函數近似地表示這種變化。評論 3.3. 注重問題引領在解決問題的每一個環節上， 劉老師注重用問題引領學生進行探索， 使學生在整

9、個學習過程中充滿著數學的觀察、數學的思考，同時也將學生始終置于“問題場”的情景中，較好 的體現了以問題為載體的數學學習的過程， 使學生認識到數學與生活的緊密聯系， 從而體會 數學應用的價值。（2 2）利用圖形計算器擬合函數 （3 3）利用圖形計算器求函數的最小值 由于數據的特點，用圖形計算器更易求得何時取到最小值 即燃氣用量最少時的旋鈕位置是旋轉52o52o 的位置，這時的用氣量是 0.043m0.043m3取旋轉 52o52o 的旋轉位置，燒一壺開水，所得實際用氣量是不是 0.0430.043 m m3,如果基本吻合， 就可以依次作結論了。（4 4）分析誤差 各組得到的結果可能不同，你能分析

10、一下產生誤差的原因嗎？（分析誤差）（1 1）測量數據時讀數的差異。（2 2）水壺的初始溫度的差異。（3 3）水壺的容量的差異。 引起誤差的原因很多，我們抓住主要因素，忽略了影響問題的許多次要因素。 由于實際問題中誤差是難以避免的，如果偏差很大，得不到較滿意的數學模型。通過對誤 差客觀的分析， 可以改進實驗， 得到相對準確的數據。 同時這也是實際問題解決過程中必不 可少的一步 評論 4 4 . .恰當的引導學生借助手持技術解決問題我們常常說：數學有用、能用，可是實踐中，學生運用已學數學知識解決實際問題時，4仍然會遇到較大的障礙。但是，教材+ +技術就不一樣了。由數學的一些基本知識，再借助手持技術

11、，就有可能幫助學生去建立滿足所收集數據的一個數學模型，盡管這一模型會有一定的誤差，但這畢竟來自于學生本身的一個問題解決的過程，至少在他們的認識層面上， 體會到利用技術幫助實現對數學知識的理解、對數學應用價值的認識、對終身學習能力的提升、 對可持續發展奠定的基礎等。最后，特別要說明的是，不論使用何種現代技術輔助數學教學，均不能為了技術而用技術，而是借助這樣的技術平臺，引發學生更深層次的數學思考，體會數學的多重表示，激發探究的欲望，拓展學習的視野及空間。因此，要合理的、非盲目的指導學生運用信息技術。滑行一段距離后才會停下，這段距離叫剎車距離。為測定某種型號汽車的剎車性能，對這種型號的汽車在國道公路

12、上進行測試，測試所得數據如下：車速v v (km/hkm/h )剎車距離 s s (m m)車速 v v153040506080剎車 距離 s s1.237.3012.218.4025.8044.40在一次由這種型號的汽車發生的交通事故中，測得剎車距離為15.31m15.31m，問汽車在剎車時的車速是多少？三. 小結解決這個問題的基本想法你能概括一下嗎？(面對現實生活中的實際問題，我們先做實驗采集數據， 影響問題的因素很多， 我們忽略次要因素，提煉主要因素，借助手持技術或科學計算器，迅速找出較滿意的數學模型，從 而解決實際問題。) 用數學的眼光看問題，用數學思想、方法、知識解決實 際問題的過程

13、叫做數學建模，通過上例，可以用圖(1 1)表示這個過程.(2)(2)函數擬合：根據一些數據的散點圖，猜想散點近似的分 布在何種類型的函數圖像上， 再利用圖形計算器中內置的該 種函數進行擬合，從而獲得一個近似的函數表達式，以反映給定數據的一般發展趨勢，這就是函數擬合的思想。解決問題的步驟：(1)畫出數據的散點圖(2)根據散點圖，選擇合適的函數類型擬合散點(3)解決實際問題 通過這個問題的解決你有什么收獲？有什么想法？作業：行駛中的汽車，在剎車后由于慣性的作用，繼續向前實際情境提出問題數學模型圖(！)數學結果5“人口問題”是我國最大社會問題之一，估計人口數量和發展趨勢是我們制定一系 列相關政策的基礎。請你搜集有關的數據，根據近十年的人口統計數據預測20102010 年我國的人口數。 此課題選自普通高中數學課程標準教材北師大版數學6.6.教學反思：圖形計算器使用的意義與策略的思考 本課例，需要學生自己設計實驗步驟，在家燒開水，記錄每次的燃氣用量， 所得的數據 基本上不存在整數， 如果沒有