1、目的與要求：了解在任意有限區間上函數的傅里目的與要求：了解在任意有限區間上函數的傅里 葉級數展開法；掌握周期函數的傅葉級數展開法；掌握周期函數的傅 里葉展開、定義和性質；里葉展開、定義和性質；函數的函數的 定義與性質。定義與性質。重點：重點：難點：難點：傅里葉變換、傅里葉變換、函數。函數。函數的概念。函數的概念。 1807年年12月月21日，日，Fourier向法國科學院宣布：任意的周向法國科學院宣布：任意的周期函數都能展開成正弦及余弦的無窮級數。當時整個科學院，期函數都能展開成正弦及余弦的無窮級數。當時整個科學院，包括拉格朗日等，都認為他的結果是荒謬的。包括拉格朗日等，都認為他的結果是荒謬的

2、。傅立葉的兩個最主要的貢獻傅立葉的兩個最主要的貢獻: “周期信號都可表示為諧波關系的正弦信號的加權和” 傅里葉的第一個主要論點 “非周期信號都可用正弦信號的加權積分表示” 傅里葉的第二個主要論點 1.波的疊加波的疊加 在普通物理學中在普通物理學中,我們已經知道最簡單的波是諧波我們已經知道最簡單的波是諧波(正弦波正弦波),它是形如它是形如 Asin(t+)的波的波,其中其中A是振幅是振幅,是角頻率是角頻率, 是初相是初相位位.其他的波如矩形波其他的波如矩形波,鋸齒形波等往往都可以用一系列諧波的疊鋸齒形波等往往都可以用一系列諧波的疊加表示出來加表示出來.非正弦周期函數非正弦周期函數: :矩形波矩形

3、波otu11 tttu0, 10, 1)(當當當當tusin4 )3sin31(sin4ttu )5sin513sin31(sin4tttu )9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttu )7sin715sin513sin31(sin4)( tttttu )0,( tt 由上例可以推斷：一個周期為由上例可以推斷：一個周期為2l2l的函數的函數f(x+2l)= f(x) f(x+2l)= f(x) 可以看作是許多不同頻率的簡諧函數的疊加可以看作是許多不同頻率的簡諧函數的疊加. .)7sin715sin513sin31(sin4ttttu ,1cos,xl sin,xl

4、 cos2,xl sin2,xl cos,xkl sin,xkl , l l此此函函數數族族在在上上正正交交: :即即-l,l-l,l上的積分等于上的積分等于 0 . 0 .其中任意兩個不同的函數之積在其中任意兩個不同的函數之積在 2. 三角函數族及其正交性上的積分不等于上的積分不等于 0 . 0 .兩個相同的函數的乘積在兩個相同的函數的乘積在-l,l -l,l 證證: :1 cosdllk xxl 1 sind0llk xxl (1,2,)k sin0lllk xkl cosdlllk xk xkll 同理可證同理可證 : :任意兩個不同的函數之積在任意兩個不同的函數之積在-l,l-l,l上

5、的積分等于上的積分等于 0 .0 .12cos()cos()dllxxknknxll coscosk xn xll)(nk coscosdllk xn xxll0sinsind0llk xn xxll 同理可證同理可證 : :12cos()cos()xxknknll cossind0llk xn xxll )(nk 1 1d2llxl2sindllk xxl 2cosd1 cos2d2llllk xxlk xlxl (1,2,)k 1 cos2d2llkxlxl 兩個相同的函數的乘積在兩個相同的函數的乘積在-l,l-l,l上的積分不等于上的積分不等于 0 . 0 .證證: :如果周期為如果周期

6、為2l 的函數的函數 f (x)滿足收斂定理條件滿足收斂定理條件,則它可以展開式為下列級數則它可以展開式為下列級數01( )cossin2kkkakxkxf xabll(在在 f (x) 的連續點處的連續點處) 3.周期函數的傅里葉展開式式 稱為稱為f(x)f(x)的傅里葉級數的傅里葉級數 . .式中式中a0, ak, bk稱為函數稱為函數f(x)的傅里葉系數的傅里葉系數 ;問題問題: a0, ak, bk 等于什么等于什么?我們利用三角函數族的正交性來求解我們利用三角函數族的正交性來求解01( )ddcosdsind2llllkkkllllakkfabll 0a l對在對在-l,l逐項積分逐

7、項積分, 得得0( )cosdcosd2llllakkfll01( )dllafl 1ncoscosdlnlknall cossindlnlknbll 2cosdlklkal ka l乘乘 在在-l,l逐項積分并運用正交性逐項積分并運用正交性, 得得coskl由三角函數的正交性由三角函數的正交性0由三角函數的正交性得由三角函數的正交性得0n=k由三角函數的正交性由三角函數的正交性01( )cosdlklkafll ),2, 1(k1( )sind(1, 2,)lklkbfkll類似地類似地, , 用用 sin k/l sin k/l 乘乘 式兩邊式兩邊, , 再逐項積分可得再逐項積分可得1(

8、)cosd(0,1, 2,)lklkafkll 1( )sind(1, 2,)lklkbfkll 01( )cossin2kkkakxkxf xabll(1)處處連續，或在每個周期內只有有限個第一類間斷點；處處連續，或在每個周期內只有有限個第一類間斷點； (2)在每個周期內只有有限個極值點，則傅里葉級數收斂，在每個周期內只有有限個極值點，則傅里葉級數收斂，且且在收斂點有：在收斂點有： 01( )(cossin)kkkk xk xf xaabll在間斷點有：在間斷點有： 0112 ()()(cossin)kkkk xk xf xf xaabll狄里希利定理狄里希利定理 : : 若函數若函數f(x

9、)f(x)滿足條件：滿足條件： 4. 4. 傅里葉級數的收斂性定理傅里葉級數的收斂性定理 1( )sinkkkxf xbl ( )sind(1, 2,)kkbfkl 其中其中(在在 f (x) 的連續點處的連續點處)l20l 假如假如 f (x) 為奇函數為奇函數, 則則a0和和ak均為零，即有傅里葉正弦級數均為零，即有傅里葉正弦級數01( )cossin2kkkakxkxf xabll1( )cosd(0,1, 2,)lklkafkll 1( )sind(1, 2,)lklkbfkll 假如假如 f (x) f (x) 為偶函數為偶函數, ,則則bkbk為零，即有傅里葉余弦級數為零，即有傅里

10、葉余弦級數(在在 f (x) 的連續點處的連續點處)01( )cos2kkakxf xal02( )cosd(0,1, 2,)lkkaf xkll 其中其中注注: : 無論哪種情況無論哪種情況 , ,).()(21xfxf在在 f (x) 的間斷點的間斷點 x 處處,傅里葉級數傅里葉級數都收斂于都收斂于1( )cosd(0,1, 2,)lklkafkll 1( )sind(1, 2,)lklkbfkll 01( )cossin2kkkakxkxf xabll當函數定義在任意有限區間上時當函數定義在任意有限區間上時, ,變換法變換法0( ) , , f xxl令2,lxz即即2lzx2( )(

11、)(),lF zf xf zz22,ll在22,ll上展成傅里葉級數上展成傅里葉級數( )F z周期延拓將將2lzx)(xf在0 , l回代入展開式回代入展開式上的傅里葉級數上的傅里葉級數 其傅里葉展開方法其傅里葉展開方法: :（三）（三） 有限區間中的函數的傅里葉展開有限區間中的函數的傅里葉展開* *( (自學自學) )延拓法延拓法0( ) , , f xxl在0 , l上展成正弦或余弦級數上展成正弦或余弦級數( )f x奇或偶式周期延拓奇或偶式周期延拓利用歐拉公式利用歐拉公式已知周期為已知周期為 2 l 的周期函數的周期函數f (x)可展開為級數：可展開為級數：012kk( )cossin

12、kkkaxxf xabll12kkiikcoseexxllxl12kkiiksineeixxllxl01( )22kkaaf xiieexlkkxli2kbkiieek xlxl01i22kkkaabi2kkabiek xliek xl0ckckc（四）（四） 復數形式的傅里葉展開復數形式的傅里葉展開12i( )edklllfl 12( )dllfl200ac i1 1k( )cosd22lkkklabcfll i( )sindllkfll1kk( )cosi sind2llflll11 22i( )ed(, ,)klllfkl 注意到注意到i2kkkabc同理同理(1, 2,)k 傅里葉級數

13、的復數形式傅里葉級數的復數形式: :i1( )ed2kllklcfl i( )ek xlkkf xc (0, 1,2,)k 因此得因此得例例2 2：矩形波矩形波1(2,(21) )( )1(21) ,2)mmf xmm i(),kxkkfxc e 0iii0111( )11222kkkkcfededed 212121i()()inxnfxen x110 2i0i01111()()2i2ikkeekk 0(2 )2(21).i (21)knknn 解：解：coskk=2n: cosk=1k=2n+1: cosk=-111( 1) ( 1)12 ikkk 1. 周期為周期為2l 的函數的傅里葉級數

14、展開公式的函數的傅里葉級數展開公式)(xf20a1cossinkkkk xk xabll (x 間斷點間斷點)其中其中1( )cosdlklkafll 1( )sindlklkbfll (0,1,)k (1,2,)k 當當f (x)為奇為奇(偶偶) 函數時函數時,為正弦為正弦(余弦余弦) 級數級數. 2. 2. 在任意有限區間上函數的傅里葉展開法在任意有限區間上函數的傅里葉展開法變換變換延拓延拓3. 3. 傅里葉級數的復數形式傅里葉級數的復數形式 利用歐拉公式導出利用歐拉公式導出 1 225 周期函數的性質是周期函數的性質是f(x+2l)=f(x), x每增大每增大2l，函數值就重復，函數值就

15、重復一次，非周期函數沒有這個性質，但可以認為它是周期一次，非周期函數沒有這個性質，但可以認為它是周期2l的周期函數。所以，我們也可以把非周期函數展開為所謂的周期函數。所以，我們也可以把非周期函數展開為所謂“傅傅里葉積分里葉積分”。考察復數形式的傅里葉級數考察復數形式的傅里葉級數: :i1( )ed2k xlllkf xxlc i( )ek xlkkf xc (0, 1,2,)k （一）（一） 傅里葉變換傅里葉變換26非周期函數的復數形式的形式非周期函數的復數形式的形式“傅里葉級數傅里葉級數”:”:i1( )ed2k xlllkf xxlc i( )limek xllkkf xc (0, 1,2

16、,)k 1/kkkl i( )ed2lxkklkf xcx i( )limekxklkf xc /(0, 1,2,)kklk上式改寫為：上式改寫為：27令令i( )( )ed .xf xF 有有i12( )( )ed ,xFf xx 假設假設 有限，則非周期函數可以展開為有限，則非周期函數可以展開為lim( )lllfd ii( )lim( )ede2lxkkkllkf xf ii1( ) limeed2xkkklkf ii( )ede12xfd 稱稱f(x)的傅里葉變換的傅里葉變換稱稱F()的逆傅里葉變換的逆傅里葉變換像函數像函數原函數原函數1lim/0;dklklkkl 28傅里葉積分定理

17、：若函數傅里葉積分定理：若函數 f(x) 在區間在區間(-，+)上滿足條件上滿足條件: (1) 在任意有限區間滿足狄里希利條件；在任意有限區間滿足狄里希利條件； (2) 在區間在區間 (-，+ )上絕對可積即上絕對可積即 收斂），收斂）， 那那么么 f(x) 可表為傅里葉積分，且可表為傅里葉積分，且 傅里葉積分值傅里葉積分值=()()/ 2f xf x ( )f xdx i( )( )ed .xf xF i1( )( )ed ,2xfxFf xx F F奇函數與偶函數的傅里葉變換奇函數與偶函數的傅里葉變換 傅里葉變換對傅里葉變換對i( )( )dxf xFe-i-iii11( )dd221(

18、)dd21( )cosdd2i( )sindd2( )( )dxxttxFexexFexFtxxFtxfFxxe -i1( )( )d2xFf x ex 當當f(x)是偶函數是偶函數 000( )1( )cosdddd1i( )cosd( )sindxxxFFtFtxFtxx 當當f(x)是奇函數是奇函數 01( )( )sinddFFtxx 進一步注意到進一步注意到 coscoscossinsintxtxtx 000( )cosd22( )cosdcosdFx xx xFtf x 當當f(x)是偶函數是偶函數 同理同理,當當f(x)是奇函數是奇函數 000( )sind22( )sindsi

19、ndFx xx xFtf x 31例例100011,(),2rect()10,().2xxaxxaxxa 定義定義:矩形函數為矩形函數為0 x1ax( )f xx將矩形脈沖將矩形脈沖 展開為傅里葉積分。展開為傅里葉積分。( )rect()2fhttT 0hTT( )f tti1( )rect()d22ttf xhetT F F解解:矩形脈沖函數的周期為矩形脈沖函數的周期為-T,T, 如右圖如右圖.246810-0.20.20.40.60.8112i-isin-ik xk xllkxeel iid22 iTttTTThhete sin.hT (1) (1) 導數定理導數定理i1d2d ( )(

20、)dxf xfxxex F F（二）（二） 傅里葉變換的基本性質傅里葉變換的基本性質根據傅里葉積分定理，根據傅里葉積分定理，lim( )0 xf x ii11( )( )di( )di.22xxfxf xexf x exF F FfxF ( )i( ) F F i1( )ed ,2xfxf xx F Fddbbbaaau vxu vv ux ii11( )( )d22xxf x ef xex i1( )ed ,2xfxf xx F F ( )i( )xx FFFF(2) (2) 積分定理積分定理()1( )d ()ixfF F F 0dxxfx 由變上限積分定理：由變上限積分定理： xfx 由

21、導數定理由導數定理( )111( ) ( )( ) ( )( )iiixfdxxf xF F FF FF FF F利用導數定理證明，記利用導數定理證明，記 i1( )ed ,2xfxf xx F F 0()ddxxxff (3) (3) 相似性定理相似性定理1()()f axFaa F Fii11 ()()d( )d22y axyxayf axf ax exf y ea F Fi111( )d2yaf y eFaaay 比比較較定定義義式式 i1( )ed ,2xfxf xx F F空域中的壓縮擴展等于頻域中的擴展壓縮）空域中的壓縮擴展等于頻域中的擴展壓縮） f(x/2)0 x)2(2F2ll

22、ll l 02()fx04/ l4/ l x)2(21F2l4l 4l 壓縮擴展110(4) (4) 延遲定理延遲定理0i0 ()( )xf xxeF F Fi001 ()()d2xf xxf xx ex F F 00i1( )d2y x xy xf y ey 0ii1( )d2xyef y ey 0ixeF i1( )ed ,2xfxf xx F F(5) (5) 位移定理位移定理xef xF 0i0( )() F F00iii1( )( )d2xxxef xef x ex F F 0()01( )2ixf x edxF 由由定定義義 00012iicos()xxxee 000001212i

23、i( )cos( )()()()xxf xxf xeeFF F FF F00012iisin()ixxxee 00012( )sin()()if xxFF F F例例2求：求：0( )cosf xx 的頻譜？的頻譜？解：解：由由 位移定理位移定理xef xF 0i0( )() F F假假設設(6) (6) 卷積定理卷積定理fxF 11( )( ) F FfxF 22( )( ) F F和和那那么么fxfxFF 1212()()2()() F F1212()()()()fxfxffxd 12i12( )()d1d2( )( )xfffxexxfx F F-ii121( )( )d d2yxyff

24、y ey 作作代代換換 ii12121( )d ( )d 22yfefy eyFF i1( )ed ,2xfxf xx F F卷積卷積 卷積定理反映了兩個傅立葉變換之間的關系，它構成了空卷積定理反映了兩個傅立葉變換之間的關系，它構成了空間域和頻率域之間的基本關系。卷積對深入理解在傅立葉變換間域和頻率域之間的基本關系。卷積對深入理解在傅立葉變換基礎上的圖像處理技術是十分重要的。基礎上的圖像處理技術是十分重要的。dxgfxgxf)()()()(其中其中是積分偽變量。是積分偽變量。 兩個函數兩個函數f(x)f(x)和和g(x)g(x)的卷積記作的卷積記作f(x)f(x)* *g(x)g(x)，由，由

25、下式所定義：下式所定義：f() 011g(- ) 0-11/2g(x- ) 0-11/2xg() 011/2f(x)xg(x)x011011/2例：求如圖所示的例：求如圖所示的f(x)f(x)* *g(x)g(x)，即，即 dxgf)()(卷積積分的圖解計算卷積積分的圖解計算f () g(x- ) 0-11/211x0 x1卷積為：卷積為：x/2 0-11/2x-1f () g(x- )1x11x2卷積為：卷積為：1- x/2x0-11/211f (x)* g(x) x/2 0 x 1f(x)*g(x)= 1 - x/2 1 x 2 0 其它其它22( ) d2() df xxFx （7 7帕

26、塞瓦爾等式帕塞瓦爾等式能量守恒能量守恒*2( )d) dfxf xxf xx ii( )d()( )dd()dxxf xxFf xeexF ii( )( )ed( ),( )edxxxFfxfF 2()()dFF i1( )ed2),(xfxf xxF F F i( )dxf xFe ( (三三) ) 傅里葉變換的物理意義傅里葉變換的物理意義 (ii)dxFee iFFe 求和求和 , : ; dF 無無窮窮多多個個的的連連續續指指數數信信號號之之和和; ;信信號號頻頻率率變變化化范范圍圍為為幅幅度度為為無無窮窮域域小小整整個個頻頻振幅譜振幅譜 相位譜相位譜( (四四) ) 高維傅里葉變換高維

27、傅里葉變換 二維連續函數二維連續函數f (x,y)f (x,y)的傅里葉變換定義如下：的傅里葉變換定義如下： 設設f (x,y)f (x,y)是兩個獨立變量是兩個獨立變量x,yx,y的函數，且在的函數，且在上絕上絕對可積，則定義積分對可積，則定義積分 為二維連續函數為二維連續函數f (x,y)f (x,y)的傅里葉變換，并定義的傅里葉變換，并定義 為為F(k1,k2)F(k1,k2)的逆變換。的逆變換。 f (x,y) f (x,y)和和F(k1,k2)F(k1,k2)稱為傅里葉變換對。稱為傅里葉變換對。()121221(,)(,)2id dk xkyF kkfx y ex y （1） （2）

28、 ()121212( , )(,)id dk x k yf x yF k k ek k 1 1 二維傅里葉變換二維傅里葉變換例例2: 2: 求函數求函數 0,( , ),AxXyYf x yxXyY的傅里葉變換的傅里葉變換(矩孔費瑯和夫衍射矩孔費瑯和夫衍射)。 解：由傅里葉變換關系解：由傅里葉變換關系 ()121221(,)( , )2id dk x kyF k kf x y ex y 有有12122(,)2iiddXYk xkyXYAF k kexey 12212sinsink Xk YAXYk Xk Y 1221211222121121122iiiiiiiiiiXYk xkyXYk Xk

29、Xk Yk YAeekkAeeeekk 12iisineeixxx其幅度譜為其幅度譜為（a a信號的頻譜圖信號的頻譜圖 （b b圖圖a a的灰度圖的灰度圖（幅度譜）（幅度譜）圖圖 信號的頻譜圖信號的頻譜圖 k1F(k1,k2)k21212212sinsin,k Xk YAXYF k kk Xk Y 2 2 三維三維FourierFourier變換變換123, ,kk k krx y z 123i123i3123d ddd, ,k rk x k y k zf rfF kek kkF k ekx y zk k 12333i3i1231212d, ,d d dk rk x k y k zF kf r

30、 erF k k kfx y z ex y z 22210( ),rf rerxyzr 求求的的 三三 重重：傅傅 里里 葉葉 變變 換換 。例 312313112id d d()k x k y k xrF k kkeex y zr 2 23 3( ( , , ,) )21232213000112 icosd d dsin d d dcossin d d d()rkrx y zrrk xk yk xkrF k k keerrr 2 23 3由由直直角角坐坐標標與與球球坐坐標標系系間間關關系系: :( ( , , ,) )1231312i( , , )d d d()k x k y k xF kk

31、kf x y z ex y z 2323(,)=(,)=( )f r解解：函函數數是是球球對對稱稱函函數數, ,因因此此采采用用球球坐坐標標較較方方便便. . 由由三三重重傅傅里里葉葉變變換換公公式式：ii220000i20011sin d dsin dd221dcosd2coscoscos()()()rkrrkrrkrreerreerreer ii00ii1dcoisicoscoskrkkrkrreekrreek 其中：其中：ii12200ii200ii20022i2i11dd2i21ddi2111i2ii11112i2iii2()()()()()()rrkrkkrrkkrk rk rkrr

32、eekrF kkkrereeerkererkeekkkkkk 2323(,)(,)2k 5.2 1, 5 1. 1. 源與場源與場 質點質點引力場，引力場， 電荷電荷電場，電場， 熱源熱源溫度場溫度場 2.2.點源：質點點電荷點熱源點光源點源：質點點電荷點熱源點光源 點電荷激發的場：點源點電荷激發的場：點源q0q0位于位于 0 0處，場點處，場點位于位于r r 處的電場的數學表示：處的電場的數學表示： 3.3.連續分布的源所產生的場：連續分布的源所產生的場： 無數個點源產生的場的疊加。無數個點源產生的場的疊加。 如何描述點源如何描述點源? ?204rqE 在物理學中對于在某種坐標系下高在物理學

33、中對于在某種坐標系下高度集中的量，如點電荷、點光源、質點度集中的量，如點電荷、點光源、質點以及又窄又強的電脈沖等，常用一個特以及又窄又強的電脈沖等，常用一個特殊的函數殊的函數函數來描述。函數來描述。 0lm/2/ l2/ l)(xlx 設質量設質量m均勻分布在長為均勻分布在長為l的線段的線段-l/2,l/2上如圖）上如圖）, 進一步設線的單位長度質量即線質量密度為進一步設線的單位長度質量即線質量密度為l ：0(/2)( )/(/2)lxlxm lxl 下面我們從質點的描述來引入下面我們從質點的描述來引入函數函數( )rectlmxxll 引引入入矩矩形形函函數數 /2/2( )lllmxxxm

34、l dd線段總質量：線段總質量：llllxxxxm / 20/ 2lim( )d( )d, 0l 時，線段收縮為質點時，線段收縮為質點(x=0)。設線段在收縮為。設線段在收縮為當線段在當線段在質點的極限下總質量不變，即質點的極限下總質量不變，即0l ，即線段收縮為質點，即線段收縮為質點(x=0)。線質量密度為。線質量密度為當線段在當線段在lllxmxxxxll000,(0)( )lim( )limrect().(0) 53引入廣義函數：引入廣義函數：函數函數0(0)( )(0)xxx xx ( )d1 x( ) x0一般地，我們有定義一般地，我們有定義1：0000, (), xxxxxx 01()d.xxx 且且 量綱為：量綱為：1/x (x) (x)的形象描述見圖示）的形象描述見圖示） (1) 偶函數偶函數0000()()()( )()( )xxxxxxxxx 函數函數 （篩選性）（篩選性）如果對于任意一個在區間如果對于任意一個在區間 (,) 上連續的函數上連續的函數 ( )f x恒有恒有 00() ( )d()xxf xxf x為為則稱滿足上式中的函數則稱滿足上式中的函數 0()xx函數，函數， 55(2) 階躍函數或亥維賽單位函數階躍函數或亥維賽單位函數(函數的原函數函數的原函數)xxH xttx 0,