1、嘉興一中期末復習一一圓與方程復習班級姓名學號知識點回顧1 圓的方程(1)圓的標準方程圓心為C(a,b),半徑為r的圓的標準方程為：(x_a)2+(y_b)2=r2圓的一般方程方程x2 y2 Dx Ey F=0,當D2*2_4F 0時，叫做圓的一般方程.且圓心為C，半徑2 21 , 2 2 r = D E -4F .2 2Ax Bxy Cy Dx Ey F=0表示圓的必要但不充分條件,其充要條件為:2(2)條件組A "C是一般二元二次方程B 二 0A =C 式0B =0D2 E2 -4AF 0(3)圓的參數方程圓心為C(a, b)，半徑為r的圓的參數方程為:'x = a + r

2、 cosO y = b +r sin02 點和圓的位置關系2 2 2(1)已知點P(X0,y°)，圓C的方程為：(xv) ©)=，貝U 點 P 在圓上:二(X。-a)2 (y0_b)2=r2點 P 在圓內：=(x0 -a)2 (yb)2<r2點 P 在圓外：=(x°_a)2 (y0_b)2>r22 2 2 2已知點P(xo,yo)，圓C的方程為 x y Dx Ey F=0(D E -4F 0)，貝U點 P 在圓上：=x02 y02 Dx0 Ey0 F=0點 P 在圓內=x02 y02 Dx0 Ey0 F<0點 P 在圓=x02 y02 Dx0 E

3、y0 F>03 直線和圓的位置關系22222|Aa+B-b + Cl已知直線 I: Ax By C=0(A B =0)，圓 C: (x-a) (y-b) =r (r>0)，記 d=,則JA2 +B2直線I與圓相切二d=r直線I與圓相交二d<r直線I與圓相離二d>r4 圓和圓的位置關系圓 C1: (x-a1)24(y_b1)2=12，圓 C2： (x-a2)2+(y_b2)2=r22,(2右 1).記 d= J(ar -a2 f +(d -b2 f，則0 勺<|r1 -r2|d=|r1 -r2|1 -r2|<d<r 1卄2d=r1 打 2d>r1

4、卄2內含內切相交外切相離注：表中各條件均為充要條件.5圓系設O C1： x2 y2 D1x E1y F1=0與O C2： x2 y2 D2X E?y卡2=0有公共點，則過O C1與。C?交點的圓系方程為 C: x y D1X E1y F1 ，(x y D2x E2y F2)=0 ()注：當'扎T時，(“)式表示過O C1與O C2的交點，圓心在直 線C1C2上，且不含O C2的所有圓； 若O C1與O C2相交，當= -1時，(“)式為兩圓的公共弦所在直線的方程； 若O C1與O C2相切，則當 =-1時，()式為過切點的公切線方程.2 2 2 2設直線I : Ax By C=0(A

5、B -0)與O C: x y Dx Ey F=0相交，則過直線I和O C交點的圓系方程為2 2x y Dx Ey F (Ax By C)=0 6 .圓的切線(1)過O C: (x-a) (y-b) = r 上一點 P(x0,y0)的切線方程為(x°-a)(xa) (y°-b)(yb)= r 過O C:x2y2Dx Ey F=0(D2E2F 0)上一點 P(X0,y°)的切線方程為x°xy°yD 亠° E yy0F=0 2 27 .切點弦(1)過O C: (x-a)2，(y-b)2=r2外一點P(X0,y°)作O C的兩條切線

6、，則切點弦所在直線方程為：2(X0-a)(x-a) (y°-b)(y-b)=r 2 2 2 2過O C : x y Dx Ey F=0(D 'E -4F 0)外一點 P(x°,y。)作O C的兩條切線，則切點弦所在直線方程為：x X0y y0X0X y0y DEF=0.2 28 .切線長和弦長(1)過O C: x2 y2 Dx Ey F=0(D2 E2F 0)外一點 P(X0,y°)的切線長為d= xo2 - yo2 Dxo Eyo F ；若圓的方程為(x)2(y_b)2= r2，則過圓外一點 P(xo,yo)的切線長為 d= . (xo -a)2 +(y

7、o -b)2 -r2 .(2)直線截圓所得弦長，通常用勾股定理求較為簡單，一般不用弦長公式.二例題講解例1已知O C: (x 1)2 (y_2)2=4和點P(-3, _2)，求過點P且與O C相切的直線方程.例2已知一個圓與y軸相切，在直線 y=x上截得的弦長為2 .7，圓心在直線x_3y=0上，求圓的方程.例 3.已知直線 I : 2mx-y8m-3=0 和圓 C： (x_3)2+(y+6)2=25.(1) 求證：不論m取何實數，直線I與圓C總相交；(2) 求直線l被圓C截得的線段的最短長度以及此時直線l的方程.例4已知直角坐標平面上點Q(2,0)和圓O: x2 y2=1，動點M到圓0的切線

8、長與|MQ|的比等于常數 0 >0).求動點M的軌跡方程，并說明它是什么曲線.例5."A直線x+y+a=0與圓x2+y2=4相交于 A、B兩點，cos<OA, OB >= -一 , O為坐標原點，a>0 .4(1)求a的值；_P是平面上一動點，(I)若PA PB=0，求P的軌跡方程。(II)若PA PB<0,求OP的取值范圍.三課外練習(一) 選擇題：2，當D>E時，貝U D等于()()2 21.圓x y Dx Ey -3=0的圓心在坐標軸上，半徑為(A)2(B)0 或 2(C)0(D)±22 .方程 仮(y - Ji x2 )=0表示的

9、圖形為(A)x軸上方半圓和y軸 (B)第一象限內的圓弧和 y軸及點(1,0)(C)x軸上方半圓和x軸(D)第一象限內的圓弧和 y軸正半軸及點(1,0), (0,0)2 23. 圓x y -4x 2y c=0與y軸相交于 A、B兩點，圓心為 P,若.APB=90，貝U c的值等于()(A)<(B)3(C)8(D)2 24 .如果直線I將圓x2 y24y=0平分，且不通過第四象限，那么直線I的斜率的取值范圍是()(A)0,2(B)0,1(C)”,£5 .當a，R時，關于 x、y的二元方程(x2+y2+x+y)-a(x+2y+1)=0表示的曲線是軸對稱圖形，其對稱軸方程為()(A)2

10、x+4y+ 仁0 (B)4x+2y+仁0 (C)4x 2y+ 仁0(D)2xTy+1=06 .在直角坐標系中，O為坐標原點，向量 OQ =( -2+cos二-2+si nv)(n R),由直線x=3上的動點 P向Q點的軌跡引切線，則所引切線長的最小值為()(A) ,6(B)4(C)5(D)22 27. 一束光線從點 A(-1,1)出發，經x軸反射到圓C: (x-2) ，(y-3) =1的最短路程是()(A)4(B)5(C)3巨-1(D)- 68. 曲線y=14 -x2與直線y=k(x-2)有兩個公共點時，k的取值范圍為 ()(A)(Cd,1232 / 6(二) 填空題:1 .方程2 .與圓3

11、.直線4 .若圓2 2x y -x y k=0表示一個圓，則 k的取值范圍是 x2 y4x 2=0相切，且在x軸和y軸上截距相等的直線共有 條.l過點(0, -2)，且被圓x2 y2=4截得的弦長為2,則直線l的斜率是 x2 y2=4和圓x2 y2 4y 4=0關于直線I對稱，則直線l的方程為5.圓(x-3)2 (y 5)2 =r2上有且只有兩個點到直線4x_3y_2=0的距離等于1,則半徑r的取值范圍是2O6.已知半徑為1的動圓與圓(x 5) +(y+7) =16相切，則動圓圓心的軌跡方程是 2 27 .已知圓O: x y =16，定點A(2,0)，過A作兩條互相垂直的射線交圓于B, C兩點

12、，求BC中點的軌跡方程為8.已知圓x2+y2=r2在曲線|x|+|y|=4的內部，則半徑r的范圍是 (三) 解答題1 .一個圓與直線11： x6y-10=0相切于點P(4,-1)，且圓心在直線12： 5x-3y=0上，求該圓的方程.2 .半徑為5的圓過點A(2,6)，且以B(5,4)為中點的弦長為2.5，求此圓的方程.2 2C的方3.已知圓C和圓Cl： X y 2xy=0的公共弦所在直線的方程為 x y 2=0，當圓C的周長最小時，求圓 程.2 24. 自原點作圓(x-1)+y=1的兩條弦OA、OB，如果|OA| |OB|=k(定值)，試問不論 A、B的位置如何，原點 直線AB的距離為定值.答

13、案：例1已知O C: (x 1)2 (y_2)2=4和點P(3, _2)，求過點P且與O C相切的直線方程. 解： ( -3 1)2 ( _2 _2)2>2 2，二點 P 在O C 外.點C到直線x=；的距離=2= OC的半徑，.直線 x=；是所求的一條切線.設另一條切線的方程為y2=k(x3)，即kx_y3k/=0 .由直線與圓相切的充要條件，得匕k 一2 "k二2|=2,心+k2解得k= 3，故另一條切線的方程為y2= ? (x 3)，即卩3x-4y1=0.44例2.已知一個圓與y軸相切，在直線 y=x上截得的弦長為 2、1，圓心在直線x_3y=0上，求圓的方程.解：圓心在

14、直線 x_3y=0上，可設圓心為 C(3a,a).又圓與y軸相切，圓的半徑 R=3|a|.圓心到直線y=x的距離為d= 1 3a=a 1 = 42 |a|.屁 由勾股定理，得 R22a2=7,. a=二1. 故圓心坐標為(3,1)或(；,-1)，半徑R=3. 所求圓的方程為(xd) 2+(y_1)2=9 或(x+3)2+(y+1)2=9 .例 3.已知直線 I : 2mx-ym；=0 和圓 C: (x_3)2+(y+6)2=25.(1) 求證：不論m取何實數，直線I與圓C總相交；(2) 求直線I被圓C截得的線段的最短長度以及此時直線I的方程.解: (1)設圓心C到直線I的距離為d,則有d=|6

15、m "一亦一31.J4m2 +1整理可得 4(d2_1)2m2+12m+d2-9=0,為使上面關于 m的方程有實數解，則"=122_16(d2-1)(d2-9)_0,解得0如豈、10，可得d<5.故不論m為何實數，直線I與圓C總相交.(2)由(1)得0上.10，即d的最大值為 J0 .根據平面幾何知識可知：當圓心到直線I的距離最大時，直線I被圓C截得的線段長度最短.當d= ,10時，線段的最小長度為：225 - 10彳=2、.15 .將d= . 10代入可求得 m= - 1，此時直線I的方程為x+3y+5=0 .6例4.已知直角坐標平面上點Q(2,0)和圓O: x2

16、y2=1，動點M到圓O的切線長與|MQ|的比等于常數，(，>0).求動點M的軌跡方程，并說明它是什么曲線.解：如圖，設M(x,y), MN切圓O于N，貝U |MN|=，|MQ|.連 ON|ON|=1，且 ON_MN .22222 |MN|2=|M0|2-|ON|2=x2 y2-1 .2 2 2又 |MQ | =(x-2) y . x2 y2-仁 2(x-2)2 y2.化簡得，(泊1)(x24y2)Yk2x+(1 也入2)=0.當-=1時，方程化為x= 5 ,45"它表示一條過點一,0 ：,并且和x軸垂直的直線;/ - 2 2， - 2當京1時，方程化為X 蕪I1 +y 122

17、,'、k -1 仏-1)22、1+32它表示以-,0 為圓心，為半徑的圓.a2 t 丿| 幾2 -11'A例5. 直線x+y+a=0與圓x2+y2=4相交于A、B兩點，cos<OA , 0B >= -, O為坐標原點，a>0 .4（1）求a的值；P是平面上一動點，（I）若PA PB=0，求P的軌跡方程。（II）若PA PB<0,求OP的取值范圍.解: (1) cos< OA, OB>=,4/ |AB2=4+4 -2 2 2cos<OA,則圓心0到直線的距離OB >=10 ,d，.2是 |0 0 a|=空,又 a>0 , a=

18、、.322(2) T PA PB<0 , APB>90 ,P點在以AB為直徑的圓內，而 O也在該圓內,1 0 勺OP|<d+ AB|,2即0勻0P |<.6 ,10選擇題1 (B)2 (B)3(A) 4.(A)5.(C)6.(D) 7(A)8.(D)填空題：1. k<2.33.4. x-y 2=05.4<r<68. 0<r<222 2 2 2 2 26 . (x 5) +(y+7) =25 或(x 5) +(y+7) =97. x y _2x-6=0.解答題：2 21.(x3) (y -5) =37.yd25 .5322i' 141 T i2.(x-1) (y-2) =25 或 x -53廠22x +y +2x4y=o，得兩交點坐標為(£0), x +y +2 =0當圓C的周長最小時，(_2,0)和(：,1)應為圓C直徑的兩端點.° 1 丫 1y -.2丿2解法二：圓 C過直線x y 2=0和圓x2 y2 2xy=0的交點.可設圓 C 的方程為(x2 y2 2x -4y?. (x y 2)=0 .即 x2 y2 ( 2)x e)y 2 =0.