1、二面角的基本求法例題一、平面與平面的垂直關系1判定定理：如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。例 1在空間四邊形ABCD 中， AB=CB ，AD=CD ，E、F、G 分別是 AD 、 DC、CA 的中點。求證： 平面 BEF 平面 BDG 。AAFEEGDBFDBCC例 2 AB 平面BCD，BC = CD ，? BCD90°，E、 F 分別是 AC 、AD 的中點。求證： 平面 BEF 平面 ABC。D1C1A1B12性質定理：若兩個平面互相垂直，則在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。中，求和平面所成的角 。例 3在正方體 ABCDA1 1

2、1111 1B C DA BABCD.DCAB二、二面角的基本求法D1C11定義法：在棱上取點，分別在兩面內引兩條射線與棱垂直。A1B1例 4在正方體 ABCDA1B1 C1D1 中，求（ 1）二面角 A- B1C - A1 的大小；（ 2）平面 A1 DC1 與平面 ADD1 A1 所成角的正切值。DCABP練習：過正方形 ABCD 的頂點 A 作 PA 平面 ABCD ，設 PA=AB= a ，求二面角 B - PC - D 的大小。AD2三垂線法BC例 5 平面 ABCD 平面 ABEF，ABCD 是 正 方 形 ， ABEF是矩形且DCAF= 1 AD= a ，G 是 EF 的中點，2

3、（ 1）求證： 平面 AGC 平面 BGC ；（ 2）求 GB 與平面 AGC 所成角的正弦值；AB1GE（ 3）求二面角 B -AC - G 的大小。例 6點 P 在平面 ABC 外，VABC 是等腰直角三角形， ? ABC90°，VPAB 是正三角形， PA BC 。P（1）求證： 平面PA B 平面 ABC ；（ 2）求二面角 P -AC - B 的大小。ABC練習：正方體 ABCDA1B1C1D1 的棱長為 1，P 是 AD 的中點，求二面角A - BD1 - P 的大小。C1B1D1A1CBSDPA3垂面法例 7 SA 平面 ABC，AB BC，SA = AB = BC ，

4、（1）求證： SB BC ；（2）求二面角 C - SA-B 的大小；（3）求異面直線 SC 與 AB 所成角的余弦值。ACB4無棱二面角的處理方法（1）找棱例 8過正方形 ABCD 的頂點 A 作 PA 平面 ABCD ，設 PA=AB= a ，求平面 PAB 與平面 PCD 所成二面角的大小。PADs射影BC（2）射影面積法（ cosq =）S例 9正方體 ABCD A1 B1C1 D1 的棱長為 1， P 是棱 AA1 的中點，求平面 PB1C1 與平面 ABCD 所成二面角的大小。2（ 3）等體積法（三棱錐一共有四種擺法，每種擺法都有對應的高和底，且積相等，類似于直角三角形的斜邊上求高

5、的做法。 ）在下面的正方體中，點 P 為中點，則四面體 P-ABC中，則該四面體有三種擺法，分別為 P-ABC（ A-PBC）， C-PAB，B-APC，則一共有三組底和高，如 P-ABC，其底面積為 ABC，高為 PC，但高 PC ABC,D'C'B'A'PPD31h5底面： _高為 :_C8C2AD'2BABC'A'B'PC351PGh18底面： _高為 :_2 hDCP8G532ABA2B2D'C'A'B'PBDA315G 82CCh2BA底面： _高為 :_hGP其中三棱錐的高指的是頂點垂直

6、于底面的垂線段的長度, 如上圖中的h，通過 h 的大小可以方便的求相關的線線角、線面角和二面角等。P如右圖所示，若PG為高的話，則PG面 ABCCDGBA31.如圖，在棱長為a 的正方體AC1 中， M是 CC1 的中點，點E 在 AD上，2. 且 AE 1 AD， F 在 AB上，且 AF 1 AB，求點 B 到平面 MEF的距離 .33正方體 ABCD A1B1C1D1 的棱長為a，求 A1C1 和平面 AB1C 間的距離 .解法 1如圖所示， A1C1平面 AB1C，又平面BB1DD1平面 AB1 C.故若過 O1 作 O1E OB1 于 E，則 OE1平面 AB1C， O1E 為所求的

7、距離，由 O1E· OB1 O1 B1· OO1，可得： O1E3a3解法 2：轉化為求 C1 到平面 AB1C的距離，也就是求三棱錐C1 AB1C 的高 h. 由 VC1AB1C V，可得 h3 a.A B1CC13解法 3因平面 AB1C平面 C1DA1，它們間的距離即為所求，連BD1，分別交B1O、 DO1 與 F、 G(圖中未畫出 ) 。易證BD1 垂直于上述兩個平面，故FG長即為所求，易求得FG3a .3點評(1)求線面距離的先決條件是線面平行，而求線面距離的常用方法是把它們轉化為求點面之間的距離，有時也可轉化為求面面距離，從本題的解法也可悟出求異面直線之間的距離

8、的思路.2. 已知棱長為 2 的正方體 ABCD-EFGH中，M和 N 分別為 GH和 AB 的中點， 點 E 到平面 GMN的距離是？ EN和面 GMN的線面角的余弦值？HMGEFDC2AN 2B43. 已知棱長為 2 的正方體 ABCD-EFGH中， M、 N分別是FG和 GH的中點，那點E 到平面 DBMN的距離是？4.已知棱長為2 的正方體ABCD-EFGH中， M 、 N 分別是HG和 FH的中點，四面體E-AMN的體積？點 E 到平面 AMN的距離是？HMGEFNDC2A2BHMGEFNDC2A2B5. 如圖，四棱錐 S ABCD 中， AB / / CD , BC CD ，側面

9、SAB 為等邊三角形， ABBC2,CD SD 1.( ) 證明：SD平面SAB；( ) 求 AB 與平面 SBC 所成角的大小 .【命題意圖】以四棱錐為載體考查線面垂直證明和線面角的計算，注重與平面幾何的綜合 .解法一： ( ) 取 AB 中點 E ，連結 DE ，則四邊形 BCDE 為矩形， DE CB2 ，連結 SE ，則 SEAB， SE3.又 SD1 , 故ED2SE2SD2,所 以DSE為直角 .3 分由 ABDE, ABSE ,DEI SEE ,得 AB平面 SDE,所以AB SD.SD 與兩條相交直線AB 、 SE都垂直 .所以SD平面SAB .6 分SD1, AD5, SA2

10、, 于是 SA2SD2AD2SA , 同理可得 SDSB, 又另解 : 由已知易求得.可知 SDSAI SBS. 所以SD平面SAB.6 分( ) 由 AB 平面 SDE 知，平面 ABCD平面 SDE .5作 SFDE,垂足為 F,則SF平面 ABCD,SFSD SE3DE.2作 FGBC,垂足為 G,則FGDC 1.連結 SG.則SG BC.又 BCFG ,SGI FGG,故BC平面 SFG, 平面 SBC 平面 SFG.9 分作 FHSG, H為垂足,則FH平面 SBC . FHSF FG3, 即 F 到平面 SBC 的距離為21 .SG77由于 ED / / BC , 所以 ED / / 平面 SBC, E 到平面 SBC的距