1、第6講 數列（二）一、知識歸納（一）遞推數列的基礎知識1、概念：、遞推式：一個數列an中的第n項an與它前面若干項an-1,an-2an-k（k<n）的關系式稱為遞歸式。 、遞推數列：由遞歸式和初始值確定的數列成為遞歸數列。2、常用方法：累加法，迭代法，代換法，代入法，不動點法，歸納猜想等。3、思想策略：構造新數列的思想，尤其是利用待定系數法構造類似于“等比數列”的新數列來求解。（二）遞推數列的常見類型通過遞推關系探討數列的通項公式，是高考數列問題的熱點。這類問題的處理方法是向特殊數列（等差、等比數列）轉化，利用特殊數列的性質求數列的通項公式。下面提供6類常見變形： 遞推關系行如：的數列

2、用累加法直接求解，得，（）然后求解。 遞推關系形如：的數列用累乘法直接求解，得，（） 遞推關系形如：（為常數且）的數列兩邊同除于，求出的表達式，再求；還有形如的遞推式，也可采用取倒數方法轉化成為形式，利用后面的第類方法解決； 遞推關系形如：（為p，q為常數且）的數列（）通過待定系數法化為，再利用等比數列求出的表達式，進而求出；（）也可由得兩式相減可得：，利用成等比數列求出，再利用累加法求；（）也可利用迭代法得：，求和得； 遞推數列形如：的數列（為常數且）（）可化為 ，利用第種類型求出后解出；（）也可利用累加法：， ，由上述個等式相加可解解出； 遞推數列形如：的數列用待定系數法，設為，就是，則可

3、從，解得，于是是公比為的等比數列，這樣就轉化為類型。（三）遞推數列的選講內容（1）特征根法特征根法是專用來求線性遞推式的好方法，先來了解特征方程的一般例子，通過這個來學會使用特征方程。：特征方程為，令其兩根為則其通項公式為，用待定系數法求得。：特征方程為，令其三根為則其通項公式為，用待定系數法求得。（2）不動點法當時，的取值稱為不動點，不動點是我們在競賽中解決遞推式的基本方法。典型例子：注：我們如果用一般方法解決此題也不是不可以，只是又要待定系數，又要求倒數之類的，太復雜，如果用不動點的方法，此題就很容易了。令，即，令此方程的兩個根為：若，則有（構造等差數列）其中可以用待定系數法求解，然后再利

4、用等差數列通項公式求解。若，則有其中，可以用待定系數法求解，然后再利用等比數列通項公式求解。我們上面探討了形如的遞推數列（其中函數為基本初等函數復合而成），其基本解題思路是通過構造等差或等比數列來求解。數列還可與其它章節的內容產生很多交匯點，比如數列與函數、數列與不等式、數列與解析幾何等。此類問題，一般可先求其通項公式，利用通項公式，結合多方面的知識和各種數學方法加以解決。如與不等式結合的綜合題，就利用比較法、放縮法等。若給出的數列難于求通項，可借助與構造法、數學歸納法、函數與方程的知識等加以解決。二、精例剖析例1在各項均不為零的等差數列中，若，則（ ） 例2在數列中，已知，求通項公式。例3在

5、數列中，求的通項公式和其前項和。變式1數列的前項和為，已知，寫出與的遞推關系式，并求關于的表達式；變式2 已知各項均為正數的數列，滿足：，且，（1）求數列的通項公式；（2）設，求，并確定最小正整數，使為整數例4. 在數列中，當時，有，求的通項公式。例5.在數列中，當時，有，求的通項公式。變式3 已知b0，b±1，寫出用n和b表示的通項公式。變式4 在數列中，求的通項公式。例6.如圖，在平面上有一系列點，對每個自然數，點位于函數的圖像上，以點為圓心的與軸都相切，且與.（1）求證：數列是等差數列； （2）設的面積為，求證：變式5如圖，在軸的正半軸上依次有點其中點，且,，在射線上依次有點，

6、點的坐標為(3,3)，且.用含的式子表示；用含的式子表示的坐標；求四邊形面積的最大值.說明：本例為數列與幾何的綜合題。由題意知為等比，為等差，還要學會利用作差法判斷數列的單調性，從而求數列的最值。例7*設數列和滿足，且 求證：是完全平方數。（2000年全國高中聯賽加試題）【分析】先用代入法消去和，得，如果等式中沒有常數項6，就可以利用特征根方法求通項，因此可令，易求得。變式*用1，2，3三個數字寫n位數，要求數中不出現緊挨著的兩個1，問能構成多少個n位數？三、課后鞏固滿足，則=（ ）A0 B C D2.在數列中，若， ()，則該數列的通項=_.【點評】形如（）的遞推式要熟練掌握求解方法，常見的

7、方法是配湊法和待定系數法。答案：滿足，若，則（ ）（） （） （） （）【點評】雖然新課程已經取消了極限，但這題如果改成求，則又是一道好題，對訓練學生思維很有好處，大家不妨試試。答案：B4數列，記 （）求b1、b2、b3、b4的值；（）求數列的通項公式及數列的前n項和【點評】本題條件雖給出了關于的遞推式，但直接求解比較困難，應該將反解再代入遞推式，得到一個相對比較簡單一些的關于的遞推式，解出；然后整體代換解出（沒必要解出），再用分組求和法算；本題的還有一個思路是通過觀察前幾項找出規律，然后進行歸納、證明，但要想觀察出的規律其實也不容易。5已知數列滿足（）證明：數列是等比數列；（）求數列的通項公

8、式；（）若數列滿足證明是等差數列。【點評】考查數列的基本概念；雖然出現三項之間的遞推關系，但題目已有暗示，難度不大。.科.網6已知數列（1）證明；（2）求數列的通項公式an.7在直角坐標平面上有一點列，對一切正整數，點位于函數的圖象上，且的橫坐標構成以為首項，為公差的等差數列.（1）求點的坐標；（2）設拋物線列中的每一條的對稱軸都垂直于軸，第條拋物線的頂點為，且過點，記與拋物線相切于的直線的斜率為，求：；（3）設，等差數列的任一項，其中是中的最大數，求的通項公式.8（第22屆IMO預選題）在數列中，求。【分析】本題的難點是已知遞推關系式中的較難處理，可構建新數列，令，這樣就巧妙地去掉了根式，便

9、于化簡變形。9設數列滿足，對一切，有，求所有被11整除的的一切n值。【分析】變形遞推關系式為，就容易想到怎樣構建新數列了。10*已知向量,其中，把其中所滿足的關系式記為，若函數為奇函數.（）求函數的表達式；（）已知數列的各項都是正數，為數列的前項和，且對于任意，都有“數列的前和”等于，求數列的首項和通項式；（）若數列滿足，求數列的最小值.第6講 數列（二） 答案例1解：設公差為d，則an1and，an1and，由可得2an0，解得an2（零解舍去），故2×（2n1）4n2，故選A例2解：已知遞推式化為，即所以，將以上個式子相加，得，即，所以例3解：當時，即當時，所以，故，變式1 解：

10、由得：，即，所以，對成立。由，相加得：，又，所以，當時，也成立。變式2 解：（1）條件可化為，因此為一個等比數列，其公比為2，首項為，所以 1°因，由1°式解出 2°（2）由1°式有為使為整數，當且僅當為整數，當時，顯然不為整數；當時，所以只需為整數，因為與3互質，所以為9的整數倍；當時，為整數，故的最小值為9例4. 解法1：設，即有，對比，得，于是得，數列是以為首項，以3為公比的等比數列，所以有解法2：當時，已知遞推式，得，上述兩式相減，得，因此，數列是以為首項，以3為公比的等比數列，所以，即，所以 【注：在得到后，也可用累加法求得（過程略）】例5.解

11、：設，則，所以，即設，這時，且，則是以3為首項，以為公比的等比數列，所以有，由此得：。說明：通過引入一些尚待確定的系數轉化命題結構，經過變形與比較，把問題轉化成基本數列（等差或等比數列）。變式3解：將已知遞推式兩邊乘以，得，又設，于是，原遞推式化為，仿例4，可解得，故。變式4解：在兩邊減去，得，所以是以為首項，以為公比的等比數列，所以，令，再把這個等式累加，得，所以。例6. 解：（1）依題意，的半徑，與彼此外切，兩邊平方化簡得：(2)變式5解：（1），（2）由（1）得的坐標，是以為首項，為公差的等差數列（3）連接，設四邊形的面積為，則，單調遞減.的最大值為.說明：本例為數列與幾何的綜合題。由題

12、意知為等比，為等差，還要學會利用作差法判斷數列的單調性，從而求數列的最值。例7*【分析】先用代入法消去和，得，如果等式中沒有常數項6，就可以利用特征根方法求通項，因此可令，易求得。證明：由式得， 代入得化為，構建新數列，且，由特征方程得兩根：，所以當，1時，有，解得：則 則因為 為正偶數，所以是完全平方數。注：從上述各題構建新數列的過程中，可以看出對題設中遞推式的觀察、分析，并據其結構特點進行合理變形，是成功構建新數列的關鍵。構建新數列的目的是為了化繁為簡、化未知為已知、化不熟悉為熟悉，這也是解答數學問題的共性之所在。變式*解：設符合條件的n位數共有an種，按首位劃分為：（1）首位是2或3，則

13、以下n-1位各有an-1個，共2an-1個；（2）首位是1，第二位只能為2或3，共有2an-2個，故 an=2an-1+2an-2 易知a1=3,a2=8特征方程是x2-2x-2=0，特征根為和,所以可設) 取n=1、2，得 ，三、課后鞏固1答案：B，本題考查周期數列，由于是客觀題，可以通過觀察前幾項找出規律。4【點評】本題條件雖給出了關于的遞推式，但直接求解比較困難，應該將反解再代入遞推式，得到一個相對比較簡單一些的關于的遞推式，解出；然后整體代換解出（沒必要解出），再用分組求和法算；本題的還有一個思路是通過觀察前幾項找出規律，然后進行歸納、證明，但要想觀察出的規律其實也不容易。解法一：（I

14、），（II）因，故猜想，因，（否則將代入遞推公式會導致矛盾），故的等比數列., 解法二：（）由整理得（）由，所以故，由得故解法三：（）同解法一（）從而故5【點評】考查數列的基本概念；雖然出現三項之間的遞推關系，但題目已有暗示，難度不大。解：本小題主要考查數列、不等式等基本知識，考查化歸的數學思想方法，考查綜合解題能力。（I）證明：是以為首項，2為公比的等比數列。（II）解：由（I）得（III）證明：；，得即；，得即是等差數列。6（1）方法一（用數學歸納法證明）1°當n=1時， ，命題正確.2°假設n=k時有 則 而又時命題正確，由1°、2°知，對一切nN

15、時有方法二：（數學歸納法結合單調性證明）1°當n=1時，；2°假設n=k時有成立，令，在0，2上單調遞增，所以由假設有：即也即當n=k+1時 成立，所以對一切 （2）下面來求數列的通項：，所以，又，所以7解：（1），（2）的對稱軸垂直于軸,且頂點為，設的方程為：把代入上式，得，的方程為：。，=（3）根據題意，因為而，都有，故，所以又因為，故可設，其中，根據題意可得：，故，所以8解：構建新數列，使，則，即，化簡得 ，即 ，數列 是以2為首項，為公比的等比數列。，即，注：這類問題可通過構建新數列進行代換，使遞推關系式簡化，這樣就把原數列變形轉化為等差數列、等比數列和線性數列等容易處理的數列，使問題由難變易，所用的即換元和化歸的思想。9