1、4.2 空間群空間群4.2.1 平移群平移群 對(duì)一維晶體，其晶格常數(shù)為a，規(guī)定周期性邊界條件：描述晶體性質(zhì)的任何函數(shù) (x)必須滿足： N為有限整數(shù)由于晶體的結(jié)構(gòu)有一個(gè)周期a，從而若對(duì)它作一個(gè)位移 晶體會(huì)和原來(lái)完全重合，從而會(huì)產(chǎn)生一系列物理現(xiàn)象，顯然： 即任意兩個(gè)平移操作是互易的 xNaxlaxxTxlNl 0allxxTTxTTxllll211221按周期性條件： E是平移操作中的不變操作 按群的定義，容易證明：操作的集合： 組成一個(gè)Abel群，共有N個(gè)元素，(階為N)，每個(gè)元素自成一類，只有一維的不可約表示。 ExNaxxTNxTaxxTN11121,NTTTE對(duì)三維晶體，三個(gè)不在同一平面

2、內(nèi)的基矢 和 組成一個(gè)最小的元胞（基胞：primitive unit cell）基胞無(wú)限重復(fù)平移形成的晶體，周期條件為： 21,aa3a raNr11 raNr22 raNr33 定義操作： 其中 ( , i=1,2,3) 稱作格矢。顯然：任一個(gè) 和另一個(gè) 是互易的，而且： 平移操作一共有個(gè) ，它們構(gòu)成一個(gè)使三維晶格保持不變的群平移群，它是Abel群，它的各格矢的端點(diǎn)就是晶格。 nntranananrrT332211332211ananantniiNn 1mTlT332211,lmlmlmTTTTTmllm321NNN4.2.2 空間群空間群三維晶體都有一個(gè)晶格，原子可以在格點(diǎn)上，也可以不在格

3、點(diǎn)上，如金剛石晶體的原胞圖如下： 其中，在A1A8立主體構(gòu)成慣用元胞，各點(diǎn)有一個(gè)碳原子，在六個(gè)面心位置上：F1F6也各有一個(gè)碳原子，在四個(gè)對(duì)角線的 處：D1D4也各有一個(gè)碳原子。 41xyzA1A7A6A5A4A3A2A8F1F2F3F4F5F6xyzA1A7A6A5A4A3A2A8xyzA1A7A6A5A4A3A2A8F1F2F3F4F5F6D2D4D3D1基胞的三個(gè)基矢為： 顯然，以 和 三基矢構(gòu)成基胞時(shí)，基胞A1F1F4F5F3F6A7F2內(nèi)在D1處還有一個(gè)碳原子，所以一個(gè)基胞內(nèi)有兩個(gè)碳原子。jiaa21kjaa22ikaa2321,aa3axyzA1A7A6A5A4A3A2A8F1F2

4、F3F4F5F6D2D4D3D1若作平移變換（操作） 也可使晶格保持不變，但這個(gè)操作不能使任何一個(gè)格點(diǎn)搬到D1點(diǎn)，即不能使晶體結(jié)構(gòu)保持不變。332211anananrrTn以A1為原點(diǎn)，點(diǎn)群Oh操作可使基矢頂點(diǎn)構(gòu)成的晶格不變，但D1D2D3和D4要變。Oh中的中心反演J也不能保持晶體結(jié)構(gòu)保持不變，經(jīng)過J后，D1原子要搬到另一個(gè)原胞中，而另一個(gè)元胞中該位置本不應(yīng)有原子，J不能使晶體結(jié)構(gòu)保持不變。xyzA1A7A6A5A4A3A2A8F1F2F3F4F5F6D2D4D3D1D1但是中心反演后再作平移操作: 就能使D1處的原子搬到A1處，而A1處的原子搬到D1處等等。 反演J+平移就是一個(gè)可以使晶體

5、結(jié)構(gòu)保持不變的操作，不過這已不是點(diǎn)群操作，而是空間群操作了。 kjia4xyzA1A7A6A5A4A3A2A8F1F2F3F4F5F6D2D4D3D1D1晶體的一切空間群操作可以表為： 其中i=1,2,h，h為空間群的階，而轉(zhuǎn)動(dòng)操作（真轉(zhuǎn)動(dòng)和非真轉(zhuǎn)動(dòng)）Ri的集合（i=1,2, h）則構(gòu)成一個(gè)點(diǎn)群，叫做空間群的點(diǎn)群。一般用： 表示空間群 表示空間群的點(diǎn)群。 rtRrniiniitRG iRF 4.2.3 布拉菲格子（布拉菲格子（Bravais Lattice） 空間群操作為： 其中 是格矢： niiniitrRrtRr332211ananan3 , 2 , 11inniint定理：任何空間群都有

6、一個(gè)平移群 作為它的的一個(gè)子群，而且該子群是一個(gè)正規(guī)子群。 ntE證： = g已經(jīng)包括了空間群的所有N1N2N3個(gè)平移對(duì)稱操作，它是空間群的一個(gè)子群。 ntE a） iiiiitRRtR111 iiiiiiiiiiiiitrRtRRtrRtRrtRtR1111rtRtrRRiiiii11b）現(xiàn)設(shè)空間群中任一個(gè)不屬于平移群操作的操作為 ，R是一個(gè)旋轉(zhuǎn)操作，則： tRrtRRtEtRrtRtEtRnn111nnttRrRtRtRrRtEtR1111grtREtRrtttRrRRnnn11 也是屬于N1N2N3個(gè)平移操作的，空間群應(yīng)是封閉的， 也應(yīng)是空間群的操作，但空間群的平移操作已經(jīng)全部包含在 中

7、了，所以 和 必代表同一個(gè)平移群，即R作用在格矢上時(shí)，只能將它搬到另一個(gè)格矢上去，（周期條件必須具備）， 和 中，各格矢都是同一組N1N2N3個(gè)格矢，只是次序重排了一下。 平移群是空間群的正規(guī)子群 ntREntREntREntEntEntRE nntEtREntE 其實(shí)，正因?yàn)?必須仍是格矢，所以R所屬的旋轉(zhuǎn)軸度數(shù)只能是1, 2, 3, 4, 6。 由于點(diǎn)群操作R有一定的性質(zhì)（Rtn必須是格矢），如果確定了R所屬的點(diǎn)群，就對(duì) 及其基矢 施加了嚴(yán)格的限制，那么，和可能的三十二個(gè)點(diǎn)群配合的基矢或基胞（即可能的晶格排列）只能有十四種（屬七個(gè)晶系）叫做14種布拉菲晶格 ( Bravais Lattic

8、e )。 點(diǎn)群元素不一定是晶格的對(duì)稱操作 從已知的點(diǎn)群(32種)出發(fā)，分析與之相適合的可能的晶格排列，即可能的晶格基矢選擇，從而對(duì)可能的晶格類型進(jìn)行分類，得到晶體理論中的七個(gè)晶系，十四種布拉伐格子。 ntRnt321,aaa空間群的分類：空間群的分類：簡(jiǎn)單空間群：群中各元都是 類型的算符。非簡(jiǎn)單空間群：群中的元可以是 類型的算符。簡(jiǎn)單空間群的每一個(gè)群元可表示為純平移和點(diǎn)群的純轉(zhuǎn)動(dòng)算符的乘積：niitRnitR 0inniRtEtR晶系布拉菲格子 點(diǎn)群數(shù) 乘積立方3515四角2714正交4312單斜236三斜122三角155六角177總數(shù)143261 由于有些布拉菲格子同點(diǎn)群的配合不止一種，如底

9、心正交布拉菲格子與C3v的配合,二度軸可以與格子的高平行，也可以與高垂直。簡(jiǎn)單空間群實(shí)際有73個(gè)。非簡(jiǎn)單空間群與簡(jiǎn)單空間群相比增加兩類操作：（1）螺旋操作(Screw Operation)nRLR0n度螺旋：表示繞軸S每轉(zhuǎn)動(dòng)2/n后，在沿該軸的方向平移R0/n的L倍（L小于n， R0為沿S軸方向上的格矢）螺旋操作中旋轉(zhuǎn)必須是正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)。螺旋對(duì)稱總共有11種（21，31，32，41，42，43，61，62，63，64，65），41螺旋操作（2）滑移操作（Glide Operation) 2度非正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)接著平移R/n（ n =2和4）組成一個(gè)滑移操作由于有了不到一個(gè)格矢的平移，又出現(xiàn)了157個(gè)非簡(jiǎn)單

10、空間群。總共有230個(gè)空間群。沿a2方向滑移R/2平移群是空間群的正規(guī)子群 空間群的商群：空間群G按平移群T的陪集分解得商群G/TTRTRTRTGpp3322空間群G的階g：g=iN= g0N i為陪集的個(gè)數(shù)，N為平移群的階，g0為商群的階。可以是零矢量只要知道了空間群G關(guān)于平移群T的陪集代表元 （可以不是唯一的），空間群G就可以確定了。R4.2.4 晶體空間群實(shí)例晶體空間群實(shí)例氯化鈉結(jié)構(gòu)的空間群氯化鈉結(jié)構(gòu)的空間群Oh5（Fm3m）（面心立方格子）面心立方格子）基矢：晶體學(xué)原胞 固體物理學(xué)原胞jiaa21kjaa22ikaa23i at1j at2kat3他們的冪生成面心立方平移群Tf氯化鈉結(jié)

11、構(gòu)的群Oh5是簡(jiǎn)單空間群，按平移群Tf作陪集分解，陪集代表元為：,0 ,0,0482RREfffhTRTRTEO0004825構(gòu)成點(diǎn)群Oh金剛石結(jié)構(gòu)的空間群金剛石結(jié)構(gòu)的空間群Oh7 （Fd3m）（面心立方格子）面心立方格子）金剛石結(jié)構(gòu)的群Oh7是非簡(jiǎn)單空間群，按平移群Tf作陪集分解時(shí)，陪集代表元分成兩類：ffffhTRTITRTEO001481247kjia41空間群Oh7按平移群Tf的陪集分解為：一類是由Oh群余下的24個(gè)群元構(gòu)成的陪集代表元，它們都有一個(gè)相同的非格矢平移一類是由Oh群的子群Td群同構(gòu)的24個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)所構(gòu)成的陪集代表元。這一類代表元中沒有非格矢平移出現(xiàn)。金紅石（金紅石（TiO2）

12、結(jié)構(gòu)的空間群）結(jié)構(gòu)的空間群D4h14（P42/mnm)基矢相互垂直，且不是體心四方格子，而是由兩個(gè)四方格子套構(gòu)而成。布拉菲格子為簡(jiǎn)單四方格子。成生四方格子的平移群T。D4h14為非簡(jiǎn)單空間群，空間群的點(diǎn)群是D4h321aaa具有一個(gè)垂直于紙面的二度軸及水平鏡像，所以有點(diǎn)群D2h的對(duì)稱性。 D2h是D4h14的子群，但D4h不是D4h14的子群。D4h14空間群，按平移群T作陪集分解時(shí)，陪集代表元分成兩類：一類是由與D2h群同構(gòu)的8代表元 (沒有非格矢平移出現(xiàn))。一類是由D4h群余下的8個(gè)群元構(gòu)成的復(fù)合操作，它們包含非格矢平移：kajaia32121類別算符第一類，不包含非格矢平移第二類，包含非

13、格矢平移);0(0),0(0);0(0;0);0(0),0(0;0;02221222222yxdxydhZxyyxZICICICICCCCCE);(),(;);(),(;222122414144414xvyvyxzzzzICICCCICSICSCC及及六角密積結(jié)構(gòu)的空間群六角密積結(jié)構(gòu)的空間群D6h4（P63/mmc)簡(jiǎn)單六角結(jié)構(gòu)固體學(xué)原胞基矢為：為了實(shí)用，定義第四個(gè)矢量：kca1i aa2j aiaa2323j aiaaaa232324六角密積格子是由兩個(gè)簡(jiǎn)單六角格子相互移動(dòng)而套構(gòu)成的，平移矢量為：kcj ai a2632121D6h4的點(diǎn)群是D6h， D6h由12個(gè)正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)和12個(gè)非正當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)

14、組成，共12個(gè)類。D6h4空間群可分成兩類：一類只包括格矢平移。一類則包括非格矢平移。D6h4空間群按平移群T 展開，陪集代表元為： ,0 ,0,01252RIRRE類別算符第一類，不包含非格矢平移第二類，包含非格矢平移;0,0,0;0;0,0;0,0,0;0,0;02222616222313BAxZZZDCyZZICICICICICICCCCCCE;,;,;,;,2223132222616DCyzzBAxzzzICICICICICICCCCCC4.2.5 二維空間群二維空間群 三維 二維 七個(gè)晶系 四個(gè)晶系14種布拉菲格子 5種布拉菲格子晶系單胞點(diǎn)群點(diǎn)群的階空間群數(shù)斜形簡(jiǎn)單斜形C1C2122

15、矩形簡(jiǎn)單矩形有心矩形C1hC2v244正方形簡(jiǎn)單正方C4C4v482六角形簡(jiǎn)單六方C3C3vC6C6v366124總數(shù)5101210個(gè)點(diǎn)群和5種二維布拉菲格子可組成12個(gè)簡(jiǎn)單空間群。由于六角形晶系中鏡面取向不同，可多組成一個(gè)簡(jiǎn)單空間群。二維簡(jiǎn)單空間群總數(shù)為13個(gè)。二維點(diǎn)陣中，非格矢平移只能在ab面的某直線方向上，可組合出4個(gè)非簡(jiǎn)單空間群，故二維空間群總共有17個(gè)。4.3 布洛赫定理布洛赫定理4.3.1 4.3.1 倒格矢倒格矢 為了討論方便，引入倒點(diǎn)陣，倒點(diǎn)陣的基矢為 是由晶體點(diǎn)陣基矢 按下列關(guān)系式定義的： i, j = 1, 2, 3容易驗(yàn)證： 在倒點(diǎn)陣中的任意格矢（倒格矢）： , 整數(shù)倒點(diǎn)

16、陣元胞體積為： 3 , 2 , 1ibi3 , 2 , 1iaiijjiba23212aab1322aab2132aab321aaa31332211iiilblblblblK0il321*bbb 顯然：證： 321*bbb3*)2( 1211312132113aaaaaaaaaaaaa 33211332321*2aaaaaabbb333212322aaa3212aab1322aab2132aab321aaa m=整數(shù)倒空間的一般矢量 3133221133221121313232122)(2)()(2)(2)(2iiinlmlnlnlnlnanananaalaalaaltK3 , 2 , 1,2

17、2,333222111iNmNbNmbNmbNmkiii這樣對(duì)mj的限制是為了使 最大的倒格矢，即將 限制在第一BE內(nèi)。 kkk4.3.2 布洛赫（布洛赫（Bloch）定理）定理 當(dāng)N ( = N1N2N3)個(gè)元胞的晶體滿足周期邊界條件（或叫玻恩-卡門邊界條）。平移群各元素為Tn=Tn(n1, n2, n3), n1, n2, n3滿足:且 這些元素?cái)?shù)構(gòu)成Abel群，每一個(gè)元素自成一類，因此，這個(gè)群的表示必定是一維的。 )3 , 2 , 11 (iNnii332211anananrtrrtErTnnn下面來(lái)求這個(gè)不可約表示：先考慮單電子運(yùn)動(dòng)的哈密頓量：顯然， 不隨操作Tn而變化，函數(shù) 在此操作

18、下：因?yàn)閯?shì)場(chǎng)的周期性同晶格周期性應(yīng)該一樣 的本征函數(shù) 可作為操作Tn即PTn算符的一維表示的基，因?yàn)楸硎臼且痪S的，故： 即： rVmhH2222 rV rVtrVrTVrVTnnn1可交換和HPTn nnnTnTntrEtrHrTHrHPrHP1H r rnCrPTn rnCtrrTnn1令 ，則 n = (1,0,0)，則：將T(100)對(duì) 作用N1次： 0, 1321nnn1atn rCarrPT1001100 r rrCrPNNT11100100EPNT1100112exp100NimC22111NmN1112exp1001NnimCn對(duì)普遍情況： 此時(shí) 且332211ananantn

19、rCrPnTn3332221112expnNmnNmnNmiCn22iiiNmN3 , 2 , 1i又 332211333222111anananbNmbNmbNmtkn3332221112NnmNnmNnm)(exp)(nknntEDtk iC rtk itrrPnnTnexp 是 的一維表示的基，平移操作 不改變函數(shù)本身，只使函數(shù)與原來(lái)函數(shù)差一相位因子。一定有： 其中即 是 的周期函數(shù)，其周期與晶格周期一致這就是著名的Bloch定理，它是固體物理的基礎(chǔ)。 rnTnT nknTtk irurk itrrPnexpexp rurk irkexp nkktruru rukr rtk itrrPn

20、nTnexpBloch定理告訴我們： 在周期勢(shì)場(chǎng)中，電子的哈密頓算符的本征函數(shù)形式為: 稱為Bloch函數(shù)， 為倒易空間矢量， 為周期函數(shù)。 為了強(qiáng)調(diào)矢量 即為 狀態(tài)中電子的波矢量，Bloch函數(shù)常寫為：電子的本征值也可用 來(lái)區(qū)分或標(biāo)記，故在周期勢(shì)場(chǎng)中，波矢量 是電子能態(tài)本征函數(shù)的一個(gè)好量子數(shù)。 rurk ikexpk rukk r rkkk 利用波矢 標(biāo)記平移群的不可約表示，還存在非唯一性問題。 當(dāng)兩個(gè)波矢 與 相差任意倒格矢 時(shí)，即 則對(duì)于任一個(gè)平移群 操作，有：kkkkkkntEnnnntkitk itkitki expexpexpexpk整數(shù)mmlntkiiinl,2231=1說(shuō)明：雖

21、然Bloch函數(shù)是平移群操作Tn的一個(gè)一維不可約表示的基，但不能用Tn的特征標(biāo)來(lái)給波矢 分類，因?yàn)橛性S多波矢值對(duì)應(yīng)于一個(gè)特征標(biāo)。為此，把波矢限定在一個(gè)特定區(qū)域內(nèi)，從而使Tn的特征標(biāo)的一個(gè)值對(duì)應(yīng)于一個(gè)波矢。這個(gè) 的區(qū)域稱為布里淵區(qū)（Brillouin Zone)kkBZ區(qū)的取法：選擇倒易空間任一格點(diǎn)為中心，作這個(gè)格點(diǎn)到與它相鄰的其他格點(diǎn)（包括近鄰和次近鄰）的連接線，再作這些連接線的垂直平分面，所有這些垂直平分面便組成一個(gè)所謂維格納賽茨元胞（WignerSeitz unit cell），這個(gè)元胞就是布里淵區(qū)。定義：當(dāng)限制 的取值范圍以保證在此區(qū)域內(nèi)任意兩個(gè)波矢之差均小于一個(gè)最短的倒格矢時(shí)，這樣的區(qū)

22、域就是第一布里淵區(qū)（BZ），又稱為簡(jiǎn)約區(qū)。 k通常，簡(jiǎn)約區(qū)是取相對(duì)于 = 0的對(duì)稱多面體。k這樣，簡(jiǎn)約區(qū)體積為 ，其中共有N=N1N2N3個(gè)不同的波矢 ，它們可以唯一的標(biāo)記平移群N個(gè)不可約表示。因此，第 個(gè)不可約表示可記為： 相應(yīng)的特征標(biāo)為： 只要在第一布里淵區(qū)內(nèi)選取波矢k，即可得平移群T的全部不可約表示。如要定量地求出本征函數(shù)和本征值，僅僅群論是不夠的，還要大量的計(jì)算工作，不過，群論方法可大大化簡(jiǎn)計(jì)算。 nknkrnktEDtEDTtEnnCtk iexpknnktk itED exp)()(k*4.3.3 固體物理中的幾個(gè)常見關(guān)系式固體物理中的幾個(gè)常見關(guān)系式 下面從平移對(duì)稱性角度，證明幾個(gè)

23、重要關(guān)系：（）這就是平移群不可約表示的正交關(guān)系，群論中兩個(gè)不等價(jià)的不可約表示i和j的矩陣元滿足正交關(guān)系： 其中：h為群的階，h =N，mi為第i個(gè)不可約表示的維數(shù)，故 mi=1。求和遍及所有群元，即且 。表示矩陣都是一維： ntkknNtkki,exp GRiijjirmhRDRD* GRtnkjki, nnnkCtk itEDexp GRjirRDRD*ntkknNtkki,exp（） 代表平移群特征標(biāo)的正交關(guān)系。 群的特征標(biāo)第二正交定理為： 其中： 為R共軛類中元素?cái)?shù)目 （Abel群） 且前面已證： BZkttsnsnNttk i,exp RRSiiihhsR*RhNh,1RhkitStR

24、sn, nnktk itEexp snttBZksnskinkNttk ittexp* 4.4 晶體的電子能帶結(jié)構(gòu)晶體的電子能帶結(jié)構(gòu)4.4.1 4.4.1 一維晶體的自由電子能帶一維晶體的自由電子能帶 一維的薛定諤方程為：其中V(x), k(x)均滿足一維的周期性邊界條件,k(x)是Bloch函數(shù)。下面討論一個(gè)最簡(jiǎn)單的情況： V(x) = 0即自由電子近似。 顯然，此時(shí) 如對(duì)k不加限制，則E(k)為一拋物線 :能量是k的連續(xù)函數(shù)。 xkExxvdxdmhkk2222 xikkkkAemkhkEhmEkxkx ,2,2, 022222kE(k)如果加上一維周期性條件的限制， l =任意整數(shù)，則一

25、維波矢為：其中N為一維基胞數(shù)，a為晶格常數(shù)，k是不連續(xù)的，能量也不再連續(xù)，而形成能帶。不過此時(shí)， E(k)仍是k的單值函數(shù)。 如果我們將k值限制在一維布里淵區(qū)內(nèi)，即： （即要求上面的 ）同時(shí)將能量與波矢的關(guān)系改寫為： 其中 ,2lkNaNaaakk222222,2NmahlEaNlkaka22NN 222KkmhkE,4,2, 0aaKxikkAe mkhkE222 其中由上式也可以得到原來(lái)的所有的電子能級(jí)，這相當(dāng)于將坐標(biāo)原點(diǎn)搬到 ，等處，畫出許多同樣的拋物線，再截取這些拋物線在第一布里淵區(qū)內(nèi)的線段，這樣，我們便得到E(k)是k的多值函數(shù)。如下圖所示： 222KkmhkE,4,2, 0aaKa

26、a4,2即在第一布里淵區(qū)中，也可得到所有的能量值E(k)。正如布里淵（Brillouin）指出：所有連續(xù)區(qū)域均可歸并在 和 之間，即Brillouin區(qū)中。 在布里淵區(qū)邊界上，情況是不同的，由于實(shí)際晶體中V(x)并不等于零，如將V(x)看成微擾，則在 時(shí) 曲線將變得比較平緩，高能帶和低能帶之間產(chǎn)生了所謂“間隙”。上圖中的紅線和藍(lán)線相當(dāng)于實(shí)際晶體(有微擾)的情況，黑虛線相當(dāng)于自由電子近似模型，從而形成了能量，它是周期勢(shì)的結(jié)果。 akakank kEn, 2, 14.4.2 能級(jí)的簡(jiǎn)并度能級(jí)的簡(jiǎn)并度 1BZ中 的對(duì)稱性。 設(shè)晶體屬于空間對(duì)稱群 ，則哈密頓應(yīng)滿足： （*）據(jù)定義： （）而且有：由（）

27、式得： kEnntHtHtnn1trrt tt111 nntEttEt1tsst tttEtttttEnnnn1 nntEtttE1因此(i) 由于對(duì)兩個(gè)矢量作同一正交變換，其標(biāo)識(shí)不變，故有： rtEtrttEknnknn1 rtekntk in1 nnntktktk11 rterttEkntkiknnn nntEtttE1 rtk irPknnknTn exp(ii) 另一方面，在BZ中， 經(jīng)操作后，變?yōu)?，它對(duì)應(yīng)的Bloch函數(shù)為： 由于 仍在BZ中，故Bloch定理仍成立： 和 具有相同的平移算符本征值： k k rkn, k rertEkntkiknnn, rtkn rkn, ntki

28、exp rterttEkntkiknnn又平移群不可約表示是一維的，所以它們至多差一常數(shù)： 且因此 （） 12 rdrHrkEknknn3,*, rdrtHtrknkn3,1*, kErdrHrnknkn3,*, kEkEnn rtrknkn,HtHtnn1 kEkEnn上式可理解為：在每一能帶中，如果把能量 看成BZ中“位置”的函數(shù)，它便具有正點(diǎn)陣點(diǎn)群 的全部對(duì)稱性，此即 的對(duì)稱性。上式也可理解為：對(duì)任意波矢 ，在星（即 處）的所有點(diǎn)處具有相同的能量本征值。 kEnkk0 kEn而且上面討論指明了在 的星處的所有點(diǎn)處本征函數(shù)是由空間群的對(duì)稱操作作用在矢量 的本征函數(shù)上得到的。由于BZ具有晶體

29、點(diǎn)陣點(diǎn)群的全部對(duì)稱性，故可以說(shuō)BZ具有 點(diǎn)群的全部對(duì)稱性， 反映了BZ區(qū)的對(duì)稱性。kk0 kEkEnn例：前面講過的一維自由電子， 是二階群，故 ， 的能量相等。 0kkkE(k)例：二維正方點(diǎn)陣，BZ如下圖正方形所示（均為正方形）： xk1k2k3k4k5k6k7k8kykaaaa保持此正方形BZ不變的點(diǎn)群操作共有8個(gè)點(diǎn)群：E 恒等操作C4垂直于紙面的4次軸 分別為垂直于 的對(duì)稱面 通過正方形兩對(duì)角線的對(duì)稱面yxmm ,yxkk ,ddmm,ddyxmmmmCCCEmm,434244 在BZ中， 施以上述點(diǎn)群操作者，它將變到 這八個(gè)點(diǎn)在同一能帶中具有相同的能量： BZ中的等能面 具有空間群點(diǎn)

30、群 的對(duì)稱性，這一事實(shí)在能帶結(jié)構(gòu)計(jì)算中和通過某種測(cè)量確定能量值的實(shí)驗(yàn)中是經(jīng)常被用到的。 1k821,kkk 821kEkEkEnnn ConstkEn0 xk1k2k3k4k5k6k7k8kykaaaa2 的簡(jiǎn)并度 在單電子問題中，由平移對(duì)稱性可知：晶體中一個(gè)電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由Bloch函數(shù): 描述，其相應(yīng)的能量本征值則應(yīng)求解方程： （*） 一般，上式中的 中可能有簡(jiǎn)并能級(jí)存在，設(shè)在 點(diǎn)第n個(gè)能量本征值的簡(jiǎn)并度為 ： ，則應(yīng)有 個(gè)Bloch函數(shù) 對(duì)應(yīng)于同一個(gè)能量 。 kEn rk irurkkexp anrurukk rkErHnknnk, kEknd rkErHjknnjkn,ndj, 3 ,

31、 2 , 1nd rjkn, kEn這種情況往往發(fā)生在BZ中某些高對(duì)稱性的點(diǎn)與線上，這時(shí)點(diǎn)群中的某些元素對(duì) 運(yùn)算后仍保持 不變（或等于 ）。但這些群元對(duì)Bloch函數(shù)的作用將產(chǎn)生具有不同對(duì)稱性的一組函數(shù)，它們同屬方程 (*) 式的解，并且具有相同的 與能量 ，這就是 的來(lái)源。由于晶體點(diǎn)陣與相應(yīng)的倒點(diǎn)陣有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，BZ是波矢量空間中的對(duì)稱化元胞，它具有倒點(diǎn)陣點(diǎn)群的全部對(duì)稱性，故可以說(shuō)BZ具有 點(diǎn)群的全部對(duì)稱性。因此，只要分析BZ中的對(duì)稱性，就可知道 點(diǎn)群的階、類、表示及維數(shù)等，也就知道了能級(jí) 的簡(jiǎn)并度。 kknkkk kEn rj kn00 kEn rkErHnknnk,（*）全部對(duì)稱性，

32、可以證明：“同一晶體的正、倒點(diǎn)陣有相同的點(diǎn)群對(duì)稱性，因此，BZ具有晶體點(diǎn)陣點(diǎn)群的全部對(duì)稱性”。 設(shè)為正點(diǎn)陣點(diǎn)群的對(duì)稱操作，則 為一個(gè)正格矢，由于群中必有逆操作 ，所以 也應(yīng)為一正格矢。據(jù)：應(yīng)有：由于兩矢量的點(diǎn)乘對(duì)于正交變換是不變的，上式可化為： 對(duì)于群中任意而言， 亦為一倒格矢，表明正、倒點(diǎn)陣具有相同點(diǎn)群對(duì)稱性。 nk131,22iiinnmmntK整數(shù)mktnn2ntmktnn21證明：nt1為了確定能帶 的簡(jiǎn)并度 ，人們引入 -波矢群的概念：定義： -波矢群：點(diǎn)群 中使 不變（或變到相差倒格矢的等效點(diǎn)上去）的那些對(duì)稱操作元素的集合所構(gòu)成的群，這些操作滿足條件： 且它們組成一個(gè)點(diǎn)群，是 的子群。波矢群不可約表示的維數(shù)給出正交基函數(shù)的個(gè)數(shù)，由于同一不可約表示中各基函數(shù)具有相同能量，因此 -波矢群不可約表示的維數(shù)，就等于 點(diǎn)能級(jí)的簡(jiǎn)并度 。 kEnndkk0k333311bbbKkkl0kknd例：兩維正方點(diǎn)陣的波矢群： 對(duì)二維正方點(diǎn)陣，其BZ亦為正方形，如上圖，保持BZ不變的點(diǎn)群對(duì)稱操作共有8個(gè)： 其中E為恒等操作，C4為垂直于紙面的4次軸， 分別為垂直于 的對(duì)稱面， 通過正方形兩對(duì)角線的對(duì)稱面，這8個(gè)對(duì)稱操作屬于4m