1、B-S期權定價模型（以下簡稱B-S模型）及其假設條件（一）B-S模型有7個重要的假設1、股票價格行為服從對數正態分布模式；2、在期權有效期內，無風險利率和金融資產收益變量是恒定的；3、市場無摩擦，即不存在稅收和交易成本，所有證券完全可分割；4、金融資產在期權有效期內無紅利及其它所得（該假設后被放棄）;5、該期權是歐式期權，即在期權到期前不可實施。6、不存在無風險套利機會；7、證券交易是持續的；8、投資者能夠以無風險利率借貸。（二）榮獲諾貝爾經濟學獎的B-S定價公式1C = S * N(d1)- Le-rTN(d2)其中：in * +* er2) rtr * x/T(r - 0.5 *(72)T

2、(t * VtC 期權初始合理價格L一期權交割價格S 一所交易金融資產現價T期權有效期r一連續復利計無風險利率H/一年度化方差N()一正態分布變量的累積概率分布函數第一，該模型中無風險利率必須是連續復利形式。一個簡單的或不連續的無風險利率(設為一般是一年復利一次，而r要求利率連2復利。0必須轉化為r方能代入上式計算。兩者換算關系為：r = ln(1 + r°)或 r0=Er-1。例如0=0.06 ,貝U r=ln(1+0.06)=0.0583 ，即 100 以 5.83% 的連 續復利投資第二年將獲106,該結果與直接用0=0.06計算的答案一致。365天的比值。如果期權有效第二，期

3、權有效期T的相對數表示，即期權有效天數與一年期為100天，則100耐;°-274B-S定價模型的推導與運用1(一)B-S模型的推導B-S模型的推導是由看漲期權入手的，對于一項看漲期權，其到期的期值是：EG = Emax(St- L,O)其中，EG看漲期權到期期望值St到期所交易金融資產的市場價值L 一期權交割(實施)價到期有兩種可能情況：1、如果St > L,則期權實施以進帳 (In-the-money)生效，且 max(S - L,O) = St- L2、如果St < l,則期權所有人放棄購買權力，期權以出帳(Out-of-the-money)失效，且有：max(S -

4、 L,O) = 0從而：ECt = P x EStSt > L + (1 - P) x 0 = P x EStSt > L-L)其中：P: (S > L)的概率ES | St > L:既定(S > L)下S的期望值將EG按有效期無風險連續 復利rT貼現，得期權初始合理價格：C = Pe-rT(ES | S > L - L)這樣期權定價車化為確定P和ESt | S > L。首先，對收益進行定義。與利率一致，收益為金融資產期權交割日市場價格(S)與現價(S)比值的對數值，即收益=lnSt / S = ln(St / L)。由假設1收益服從對數正態分布，即l

5、n(St/ L)N (口 f,4)，所以 ElN(S / S = t/S / s*際咱可以證明， 相對價格期望值大于et,為:ES/ S = e+ 2T2 = erT從而，w = T(r - 2),且有 a= r其次，求(St > L)的概率P,也即求收益大于(LS)的概率。已知正態分布有性質：Pr06 H > = 1 -N(x -心翦中:C正態分布隨機變量x：關鍵值心-已的期望值0-(的標準差所以:P = Pr06S > 1 = Pr06lnSt / s > InLS = : LN - InLS - ( r - 2)T桿nc4 由對稱性:1 - N(d) =N( -

6、d)P = NlnSL + (r - 2)T(TarS。第三，求既定 St > L下St的期望值。因為 ESt S > L處于正態分布的 L到8范圍，所以，ESt | St > = SerTN(d1)N(d2)其中：L = ln(S/L) + (E + 2)TaTd7 = ln(S/L) + (r - -n2)TT = -trT 22最后，將 P、ES S > L代入(C = Pe- rT(ES S > L - L)式整理得 B-S 定價1K型:C = SN(d1)- Le- rTN(d2)(二)看跌期權定價公式的推導B-S模型是看漲期權的定價公式，根據售出一購進

7、平價理論(Put-callparity)可以推導出有效期權的定價模型，由售出一購進平價理論，購買某股票和該股票看跌期權的組合與購買該股票同 等條件下的看漲期權和以期權交割價為面值的無風險折扣發行債券具有同等價值，以公式表示 為：S + Pe(S,T,L) = Ce(S,T,L) + L(1 + r) - T移項得：Pe(S,T,L) = Ce(S,T,L) + L(1 + r) - T - S,將B-S模型代入整理得：P = Lc-rT 1 - S 1 - (4)此即為看跌期權初始價格定價模型。（三）B-S模型應用實例假設市場上某股票現價S為164 ,無風險連續復利利率丫是0.0521 ,市場方差W為0.0841 ,那么實施價格L是165 ,有效期T為0.0959的期權初始合理價格計算步驟如下：求d1：加黑 + 80521 + 0.5 X 00841)0.0959(7 x J0.0959=0.0328求d2：d2 = 0.0328 - 0.29 x 0.0959 0.570查標準正態分布函數表，得 ：N(0.03)=0.5120N(-0.06)=0.4761求C:C=164X