1、單元質檢八立體幾何（A）（時間:45分鐘 滿分:100分）一、選擇題（本大題共6小題,每小題7分，共42分）1.下列命題錯誤的是（）A.三角形的兩條邊平行于一個平面，則第三邊也平行于這個平面B.平面a/平面0a? 的過B內的一點B有唯一的一條直線b,使b/ aC. all &飛 6as丫6所成的交線為 a,b,c,d,則 a/b/ c/ dD.一條直線與兩個平面所成的角相等，則這兩個平面平行答案:D解析:A正確，三角形可以確定一個平面，若三角形兩邊平行于一個平面，則它所在的平面 與這個平面平行，故第三邊平行于這個平面；B正確，平面a與平面B平行,則平面a中的 直線a必平行于平面3平面B

2、內的一點與這條線可以確定一個平面，這個平面與平面B 交于一條直線，過該點在平面B內只有這條直線與a平行;C正確，利用同一平面內不相交 的兩條直線一定平行判斷即可確定 C是正確的;D錯誤，一條直線與兩個平面所成的角相 等,這兩個平面可能是相交平面，故選D.2 .（2019云南曲靖沾益四中高三三模）如圖，一個透明的球形裝飾品內放置了兩個共底面 的圓錐，且這兩個圓錐的頂點和底面圓周都在這個球面上，已知圓錐底面面積是這個球面3面積的6則較大圓錐與較小圓錐的體積之比為（）A.2 ： 1B.3 ： 1C.4 ： 1D.5 ： 1答案:B解析:不妨設球的半徑為4,則球的表面積為64砥圓錐的底面積為12 “故

3、圓錐的底面半徑 為23.由幾何體的特征知球心到圓錐底面的距離、球的半徑以及圓錐底面的半徑三者 可以構成一個直角三角形，由此可以求得球心到圓錐底面的距離是 必2-（2v3）2 = 2,所以圓錐體積較小者的高為4-2=2，同理可得圓錐體積較大者的高為 4+2=6.又這兩個圓錐的 底面相同，所以較大圓錐與較小圓錐的體積之比等于它們的高之比，即3 ： 1.故選B.3 .（2019廣東潮州高三二模）一個幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體外接球的表面積為 （）22他視圖俯視圖.112 tA.28 兀B.32 兀 C.36 兀D.一3答案:D解析:該幾何體是一個底面為正方形的四棱錐，其中一個側面為正三角形且與

4、底面垂直，分別過正方形底面和正三角形側面的中心作面的垂線，交點為外接球球心，由勾股定理求 得球的半徑為樣，表面積為白334 .我國古代數學名著孫子算經中有如下問題：今有筑城，上廣二丈，下廣五丈四尺，高 三丈八尺，長五千五百五十尺，秋程人功三百尺.問:須工幾何？”意思是：現要筑造底面為 等腰梯形的直棱柱的城墻，其中底面等腰梯形的上底為2丈,下底為5.4丈，高為3.8丈，直 棱柱的側棱長為5 550尺.如果一個秋天工期的單個人可以筑出 300立方尺，問:一個秋天 工期需要多少個人才能筑起這個城墻？”（注:一丈等于十尺）（）A.24 642B.26 011C.52 022D.78 033答案:B解析

5、:根據棱柱的體積公式，可得城墻所需土方為20+土 ><38X5550=7803300（立方尺），一個秋天工期所需人數為7803300300= 26011，故選 B.5.在長方體 弦值為（A.5ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,AA1 = v3,則異面直線 AD1與DB1所成角的余 )v5B.J2D.了答案：C解析:以DA,DC,DD1為軸建立空間直角坐標系，如圖,則 Di(0,0，通,A(1Q0),D(0,0,0),Bi(1,1，通. ？?=?,0,茂),?= (1,1，逸).設異面直線ADi與DBi所成的角為Q.產領畔?？ 2_延|?解?喇力?2乂聲一 5 .異面直線

6、AD1與DB1所成角的余弦值為微6.某幾何體的三視圖如圖所示，則在該幾何體中H-j*+ ）1正視凰A.史B.三C式面積最大的側面的面積為（）KD.3A-BCDEM,使 PM答案:B解析:由三視圖可知，幾何體的直觀圖如圖所示，平面AEDL平面BCDE,四棱錐 的高為1,四邊形BCDE是邊長為1的正方形，則Saaed=2-X1 X1 = 1,Smbc=Saabe=2-X1 Xv2 = 9,Saacd=1x1 Xv5 = ,故選 B.二、填空題（本大題共2小題,每小題7分，共14分）7 .已知矩形 ABCD的邊AB=a,BC=3,PAL平面ABCD,若邊BC上有且只有一點，DM,則a的值為.答案：1

7、.5解析:如圖，連接AM.因為PAL平面ABCD,所以PAXDM.若邊BC上有且只有一點 M,使PMLMD,則DM,平面PAM,即DM，AM,故以AD為直 徑的圓和BC相切即可.因為AD=BC=3,所以圓的半徑為1.5，要使線段BC和半徑為1.5的圓相切，則AB=1.5，即 a= 1.5.8 .在三棱錐 A-BCD中,AB=AC=BC=2,BD=CD=v2,點E是BC的中點，點A在平面BCD上的射影恰好為DE的中點，則該三棱錐外接球的表面積為 答案二11解析:由題意知，4BCD為等腰直角三角形，點E是zBCD外接圓的圓心，點A在平面BCD 上的射影恰好為DE的中點f，則bf=s+ 4 = /a

8、f=%-4= ?. .一、一 一. C 1 、而 2設二棱錐A-BCD外接球的球心O到平面BCD的距離為h,則1+h 2=1 + (*-?),h=J1=,r= V1+ 14=若（r 為球 0 的半徑）,該三棱錐外接成的表面積為4冗X= 60 1111三、解答題(本大題共3小題，共44分)9 .(14分)如圖，在三棱錐 P-ABC 中,AB=BC=2v2,PA=PB=PC=AC= 4,O 為 AC 的中點.(1)證明:POL平面ABC;若點M在棱BC上，且MC=2MB,求點C到平面POM的距離.證明因為AP=CP=AC= 4,0為AC的中點，所以OPLAC,且OP=23.如圖，連接OB,一、方因

9、為 AB=BC="AC,所以BC為等腰直角三角形， 且 OB±AC,OB=1AC=2.由 OP2+OB2=PB2知QPLOB.由 OPLOBQPLAC 知,POL平面 ABC.解如圖，作CH LOM,垂足為H.又由（1）可得OPXCH,所以CHL平面POM.故CH的長為點C到平面POM的距離.由題設可知 OC=；AC=2,CM=3BC=?,/ACB=45。,所以 OM=235,CH=?sin /? 4 v5?所以點C到平面POM的距離為竽.510 .（15分）（2019全國H,理17）如圖,長方體ABCD-AiBiCiDi的底面ABCD是正方形，點E 在棱 AA1 上,BE

10、LEC1.Cl證明:BE,平面EB1C1;若AE=A1E,求二面角B-EC-C1的正弦值.證明由已知得 舊心平面ABB1A1,BE?平面ABB1A1,故B1CBE.又BEXEC1,所以BE,平面 EB1C1.解由知/BEB1=90° .由題設知 RtzBERt91B1E,所以/AEB=45° , 故 AE=AB,AA1 = 2AB.以D為坐標原點，?防向為x軸正方向，|?單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系 D-xyz,則 C(0,1,0),B(1,1,0),Ci(0,1,2),E(1,0,1),?=(1,0,0),?=(1,-1,1),? (0,0,2). 設平面EBC的

11、法向量為n=(x,y,z),則慧?= 0，即藍黑。?= 0,?+ ?= 0,所以可取n=(0,-1,-1).設平面ECCi的法向量為m=(x,y,z),則誓吟0，即2募工。?= 0,?+ ?= 0,所以可取m=(1,1,0)./ 日？? 1于是 cos<n,m>= =-|?|?|2所以,二面角B-EC-C1的正弦值為學11 .（15分）如圖,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面為菱形，/BAD=120° ,AB=2,E,F分別為 CD,AA1的中點.(1)求證:DF /平面 B1AE;3若AA底面ABCD,且直線AD1與平面B1AE所成角的正弦值為4,求線段AA1的長.證明設G為AB1的中點，連接EG,GF,因為FG 2A1B1,又 DE 衛1A1B1,所以 FG DE,所以四邊形DEGF是平行四邊形,所以 DF / EG.又 DF?平面 BiAE,EG?平面 BiAE, 所以DF /平面BiAE.(2)解因為四邊形ABCD是菱形，且/ABD=60° , 所以BC是等邊三角形.取BC的中點G,則AGXAD.因為 AAi,平面 ABCD,所以 AAi±AG,AAi±AD,建立如圖所示的空間直角坐標系，令 AAi=t(t>0),則 A(0Q0),