1、§4.1.2圓的一般方程教學設計 一、概述本節課選自人教版必修二，第四章第二節，其中心任務是通過已知的圓的標準方程知識，探索推導出圓的一般方程。并通過簡單的運用，使學生初步理解公式的由來，結構，功能及其運用，分一課時完成。圓的一般方程處于圓的標準方程與點，直線與圓的關系的結合點和交匯點上，圓的一般方程是圓的方程這一章的基礎和出發點，是前面所學代數與幾何方法的繼續與發展，是培養學生運用能力和運算能力的重要素材。所以，從知識的結構和內容上看都具有承上啟下的作用。 二、教學目標分析由于新課程要求要讓學生經歷數學知識的形成與應用過程,要鼓勵學生自主探索合作交流，因此三維目標主要體現在:知識與

2、技能目標： 1、掌握圓的一般方程和圓的一般方程的特點；2、能熟練掌握圓的一般方程與圓的標準方程的互化；3、靈活應用待定系數法求圓的方程；過程與方法目標： 1、通過對方程表示圓的條件的探究，培養學生探索發現及分析解決問題的實際能力以及體會分類討論的思想； 2、通過待定系數法求圓的方程，體會方程的思想; 3、通過軌跡方程的求解，體會數形結合的思想情感態度與價值觀目標：1、通過對圓的一般方程的求解，讓學生體驗成功解出題目的樂趣，提高學生的自信心，激發學生的求知欲，從而提高學生的學習興趣； 2、注意對比思想的應用，體驗用了解的觀點分析問題，認識事物之間的相互轉化；(二）教學重、難點 重點：1、圓的一般

3、方程的特征及其應用；2、由圓的一般方程求出圓心坐標和半徑；3、能用待定系數法，由已知條件求出圓的方程；設計意圖：課標要求要讓學生經歷數學知識的形成與應用過程； 難點：圓的一般方程的特征及應用;設計意圖：高一學生邏輯思維能力還比較薄弱，對于公式的證明及其運用還存在很大的問題。三、學習者特征分析1從學生已有的知識與方法看:高一學生已經學習了圓的標準方程的知識，從日常教學所反應的學生特點來看，學生對數形結合，代數法與幾何法以及分類討論的思想有所體會，但是還是只停留在體會階段，沒有辦法真正靈活的運用。具有了一定歸納總結的能力；2從學生的情感，態度看：高一學生已經厭倦老師的單獨說教，希望老師創設便于他們

4、進行觀察的環境，給他們發表自己見解和表現自己才華的機會，希望老師滿足他們的創造愿望，讓他們實際操作，小組交流，使他們獲得施展自己創造才能的空間。四、教學策略選擇與設計 課標要求我們要盡量的把課堂還給學生，讓學生小組合作，在得到新知的同時又能培養他們的合作，分析和探索能力。我們主要采用引導探索的教學方法，引導學生自主探索，合作交流去發現，探求兩角差的余弦公式（關鍵在于如何引導學生通過大膽猜想，類比得出公式）。五、教學資源與工具設計學生方面： 1，圓規； 教師方面： 1，多媒體課件（幾何畫板課件）； 2，圓規直尺；六、教學流程圖：板演示課堂小結探索過程的回顧與提高幾何畫板鞏固練習定義的推導與證明小

5、組合作，動手探索學生猜測復習引入 ® ® ® ® ® ® ®®七、教學過程：一 回顧復習（2分鐘） 在三角函數中，我們學習了哪些基本的三角函數公式？問題引入:（4分鐘） 上一節學習了圓的標準方程: (xa)2(yb)2=r2， 圓心(a，b)，半徑r 提問：已知圓心為(1,-2)、半徑為2的圓的方程是什么？ （生答）(x1)2(y+2)2=4 將它展開得，這是一個二元二次方程。 任何圓的方程都是這樣的二元二次方程嗎？ 把圓的標準方程展開，并整理： x2y22ax2bya2b2r2=0 可見任何一個圓的方程都可以寫成

6、下面的形式 這說明圓的方程就是一個二元二次方程。 反過來，形如 的方程一定表示圓嗎？ 這就是今天所要探討的內容:圓的一般方程.(書寫課題)設計意圖：通過復習舊知，然后設置問題，在學生已有知識的基礎上引發思考，更能吸引學生的注意二 新知探究（15分鐘）我們先來判斷兩個具體的方程是否表示圓？（師生互動） 結論：不一定表示圓（通過此例分析引導學生使用配方法） 追問: 滿足什么條件時表示圓? （讓學生相互討論后,由學生總結） 將 配方得 (1)當時，此方程表示以（-，-）為圓 心,為半徑的圓； （2）當時，此方程只有實數解，即只表示一個點（-，-）; （3）當時，此方程沒有實數解，因而它不表

7、示任何圖形 綜上所述，方程表示的曲線不一定是圓,只有當時，它表示的曲線才是圓， 我們把方程 ()稱為圓的一般方程 與一般的二元二次方程比較 我們來看圓的一般方程的特點：(啟發學生歸納) x2和y2的系數相同，不等于0（舉例：） 沒有xy這樣的二次項 請學生思考并回答: 二元二次方程表示圓的充要條件是 設計意圖：由具體的圓的標準方程展開整理，讓學生從感性上認識圓的一般方程的形式，再進行一般情況下的探索研究，隨著研究的不斷推進，引導學生逐步發現圓的一般方程的特點，體現了從具體到一般的思維過程，培養學生觀察歸納的能力；三 定義解析（3分鐘） 問題:圓的標準方程與圓的一般方程各有什么特點?圓的標準方程

8、圓的一般方程方程 圓心半徑r優點幾何特征明顯突出方程形式上的特點設計意圖：用表格的形式幫助學生對比歸納整理，清晰具體四 定義鞏固（10分鐘） 例1：求過三點A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圓的方程，并求這個圓的半徑長和圓心坐標。分析:已知曲線類型,應采用待定系數法 使用待定系數法的圓的方程的一般步驟：1.根據題意，選擇標準方程或一般方程；2根據條件列出關于a、b、r或D、E、F的方程組；3解出a、b、r或D、E、F，代入標準方程或一般方程。(解題過程由學生完成) 想一想:可否先求圓心和半徑,再得出圓的方程?（提示學生結合圖形，圓的弦的中垂線的交點為圓心 ，圓心到圓上一點的距離為半徑）

9、 例2、已知一曲線是與兩個定點O(0,0),A(3,0)距離的比為的點的軌跡，求此曲線的方程，并畫出曲線。 分析：按照求曲線的方程的步驟來求解，求出方程，通過方程可判斷為圓的一般方程，利用配方法將圓的一般方程化為標準方程，從而求出圓心和半徑，以便畫圖；然后指出配方法的重要性，要求學生熟練掌握。設計意圖：定義，概念結束之后，緊接著應對定義進行鞏固，最好的辦法就是運用實例。通過兩個既簡單又具代表性的題目對公式的應用進行鞏固，效果很好，之中還加入了例題的變換條件，擴展學生的思維。五 課堂練習:1.判斷下列方程是否表示圓? 如果是 ,請求出圓的圓心及半徑. 2.求圓心在直線上,并且經過原點和點(3,-

10、1)的圓的方程設計意圖：學生經歷探索的過程之后，適當的我們應該做一些總結，而總結的最好方法就是用一些相似的題目去加以鞏固提高，培養學生的類比遷移能力及探索問題的能力，這樣對培養學生的自學能力的提高有很好的效果。六 課堂小結（5分鐘） （一）從知識上：(1)任何一個圓的方程都可以寫成的形式，但是方程的曲線不一定是圓；當時，方程稱為圓的一般方程；（2）圓的一般方程與圓的標準方程可以互相轉化;熟練應用配方法求出圓心坐標和半徑.（二）從思想方法上：(1)用待定系數法求圓的方程; (2)方程的思想； （3）數形結合的思想；設計意圖：對于一堂課的總結，應該從知識和方法這兩方面進行，特別是方法上的總結，對學

11、生今后的發展及其自學能力的培養是至關重要的。 七 布置作業:1導學案；（必做）2 課本P123頁習題第3題。（選做）3 思考題： 通過今天的學習，你能自己能總結出求圓的方程有哪些方法的嗎？設計意圖：針對學生素質的差異進行分層進行訓練，能使學生掌握基礎知識，又使學有余力的學生有所提高，從而達到拔尖和“減負”的目的。八、板書設計圓的一般方程（一）圓的標準方程（二）圓的一般方程課件九、教學評價設計:1 學生方面：經常反問自己這節課學到了什么？2 教師方面：學校 班級 姓名 學號 知識與技能（50分）平時作業（書面考試、考查、作業等）（10分）操作與技能考試（含實踐活動）（10分）評定成績 學習過程和

12、學習方法（30分） 項目（括號內為該項的滿分值）自評分數他評分數教師評定分數本項得分1平時學習活動的參與情況（作業、討論、活動、實驗等）（10分） 2觀察思考及質疑的能力（6分） 3猜想、假設及探究能力（4分） 4對知識和信息的處理、分析及應用能力（4分） 5學習的效率及進步情況（6分） 情感態度和價值觀（20分）項目（括號內為該項的滿分值） 1對數學學科的愛好、興趣及學習表現（4分） 2與同伴的交流與合作和幫助（4分） 3和教師的溝通、交流（4分） 4自己學習能力展示（自我價值的體現）（2分） 5在數學學科的突出表現（表彰、表揚、獲獎等）（4分） 對自己的不足和進步的認識 教師的評價和鼓 勵 十、幫助和總結: 幫助：主要用三種方式： 1晚自習的輔導，針對所有學生； 2 可以對一些基礎好的學生進行鞏固提高。出一些難度較大的練習，