1、第一部分，如何做好高、初中數學的銜接 第一講 如何學好高中數學 初中生經過中考的奮力拼搏，剛跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求知欲，都有把高中課程學好的愿望。但經過一段時間，他們普遍感覺高中數學并非想象中那么簡單易學，而是太枯燥、乏味、抽象、晦澀，有些章節如聽天書。在做習題、課外練習時，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞，常常感到茫然一片，不知從何下手。相當部分學生進入數學學習的“困難期”，數學成績出現嚴重的滑坡現象。漸漸地他們認為數學神秘莫測，從而產生畏懼感，動搖了學好數學的信心，甚至失去了學習數學的興趣。造成這種現象的原因是多方面的，但最主要的根源還在于初、高中數學教學上的銜接問題。下面就對造成這種現

2、象的一些原因加以分析、總結。希望同學們認真吸取前人的經驗教訓，搞好自己的數學學習。一 高中數學與初中數學特點的變化1 數學語言在抽象程度上突變。不少學生反映，集合、映射等概念難以理解，覺得離生活很遠，似乎很“玄”。確實，初、高中的數學語言有著顯著的區別。初中的數學主要是以形象、通俗的語言方式進行表達。而高一數學一下子就觸及抽象的集合語言、邏輯運算語言以及以后要學習到的函數語言、空間立體幾何等。2 思維方法向理性層次躍遷。高中數學思維方法與初中階段大不相同。初中階段，很多老師為學生將各種題建立了統一的思維模式，如解分式方程分幾步；因式分解先看什么，再看什么。即使是思維非常靈活的平面幾何問題，也對

3、線段相等、角相等,分別確定了各自的思維套路。因此，初中學習中習慣于這種機械的、便于操作的定勢方式。高中數學在思維形式上產生了很大的變化，數學語言的抽象化對思維能力提出了高要求。當然，能力的發展是漸進的，不是一朝一夕的。這種能力要求的突變使很多高一新生感到不適應，故而導致成績下降。高一新生一定要能從經驗型抽象思維向理論型抽象思維過渡，最后還需初步形成辯證型思維。3 知識內容的整體數量劇增。高中數學在知識內容的“量”上急劇增加了。例如：高一代數第一章就有基本概念52個，數學符號28個；立體幾何第一章有基本概念37個，基本公理、定理和推論21個；兩者合在一起僅基本概念就達89個之多，并集中在高一第一

4、學期學習，形成了概念密集的學習階段。加之高中一年級第一學期只有七十多課時，輔助練習、消化的課時相應地減少了。使得數學課時吃緊，因而教學進度一般較快，從而增加了教與學的難度。這樣，不可避免地造成學生不適應高中數學學習，而影響成績的提高。這就要求：第一，要做好課后的復習工作，記牢大量的知識。第二，要理解掌握好新舊知識的內在了解，使新知識順利地同化于原有知識結構之中。第三，因知識教學多以零星積累的方式進行的，當知識信息量過大時，其記憶效果不會很好，因此要學會對知識結構進行梳理，形成板塊結構，實行“整體集裝”。如表格化，使知識結構一目了然；類化，由一例到一類，由一類到多類，由多類到統一；使幾類問題同構

5、于同一知識方法。第四，要多做總結、歸類，建立主體的知識結構網絡。二 不良的學習狀態1 學習習慣因依賴心理而滯后。初中生在學習上的依賴心理是很明顯的。第一，為提高分數，初中數學教師將各種題型都一一羅列，學生依賴于教師為其提供套用的“模子”；第二，家長望子成龍心切，回家后輔導也是常事。升入高中后，教師的教學方法變了，套用的“模子”沒有了，家長輔導的能力也跟不上了。許多同學進入高中后，還象初中那樣，有很強的依賴心理，跟隨老師慣性運轉，沒有掌握學習的主動權。表現在不定計劃，坐等上課，課前沒有預習，對老師要上課的內容不了解，上課忙于記筆記，沒聽到“門道”。2 思想松懈。有些同學把初中的那一套思想移植到高

6、中來。他們認為自已在初一、二時并沒有用功學習，只是在初三臨考時才發奮了一、二個月就輕而易舉地考上了高中，有的還是重點中學里的重點班，因而認為讀高中也不過如此。高一、高二根本就用不著那么用功，只要等到高三臨考時再發奮一、二個月，也一樣會考上一所理想的大學的。存有這種思想的同學是大錯特錯的。有多少同學就是因為高一、二不努力學習，臨近高考了，發現自己缺漏了很多知識再彌補后悔晚矣。3 學不得法。老師上課一般都要講清知識的來龍去脈，剖析概念的內涵，分析重點難點，突出思想方法。而一部分同學上課沒能專心聽課，對要點沒聽到或聽不全，筆記記了一大本，問題也有一大堆；課后又不能及時鞏固、總結、尋找知識間的了解，只

7、是趕做作業，亂套題型，對概念、法則、公式、定理一知半解，機械模仿，死記硬背。還有些同學晚上加班加點，白天無精打采，或是上課根本不聽，自己另搞一套，結果是事倍功半，收效甚微。4 不重視基礎。一些“自我感覺良好”的同學，常輕視基礎知識、基本技能和基本方法的學習與訓練，經常是知道怎么做就算了，而不去認真演算書寫，但對難題很感興趣，以顯示自己的“水平”，好高騖遠，重“量”輕“質”，陷入題海。到正規作業或考試中不是演算出錯就是中途“卡殼”。5 進一步學習條件不具備。高中數學與初中數學相比，知識的深度、廣度，能力要求都是一次飛躍。這就要求必須掌握基礎知識與技能為進一步學習作好準備。高中數學很多地方難度大、

8、方法新、分析能力要求高。如二次函數值的求法、實根分布與參變量的討論、，三角公式的變形與靈活運用、空間概念的形成、排列組合應用題及實際應用問題等。有的內容還是初中教材都不講的脫節內容，如不采取補救措施，查缺補漏，就必然會跟不上高中學習的要求。三 科學地進行學習高中學生僅僅想學是不夠的，還必須“會學”，要講究科學的學習方法，提高學習效率，才能變被動學習為主動學習，才能提高學習成績。1 培養良好的學習習慣。反復使用的方法將變成人們的習慣。什么是良好的學習習慣？良好的學習習慣包括制定計劃、課前自學、專心上課、及時復習、獨立作業、解決疑難、系統小結和課外學習幾個方面。(1)制定計劃使學習目的明確，時間安

9、排合理，不慌不忙，穩扎穩打，它是推動主動學習和克服困難的內在動力。但計劃一定要切實可行，既有長遠打算，又有短期安排，執行過程中嚴格要求自己，磨煉學習意志。(2)課前自學是上好新課、取得較好學習效果的基礎。課前自學不僅能培養自學能力，而且能提高學習新課的興趣，掌握學習的主動權。自學不能走過場，要講究質量，力爭在課前把教材弄懂，上課著重聽老師講思路，把握重點，突破難點，盡可能把問題解決在課堂上。(3)上課是理解和掌握基礎知識、基本技能和基本方法的關鍵環節?！皩W然后知不足”，課前自學過的同學上課更能專心聽課，他們知道什么地方該詳，什么地方可以一帶而過，該記的地方才記下來，而不是全抄全錄，顧此失彼。(

10、4)及時復習是高效率學習的重要一環。通過反復閱讀教材，多方面查閱有關資料，強化對基本概念知識體系的理解與記憶，將所學的新知識與有關舊知識了解起來，進行分析比效，一邊復習一邊將復習成果整理在筆記本上，使對所學的新知識由“懂”到“會”。(5)獨立作業是通過自己的獨立思考，靈活地分析問題、解決問題，進一步加深對所學新知識的理解和對新技能的掌握過程。這一過程也是對意志毅力的考驗，通過運用使對所學知識由“會”到“熟”。(6)解決疑難是指對獨立完成作業過程中暴露出來對知識理解的錯誤，或由于思維受阻遺漏解答，通過點撥使思路暢通，補遺解答的過程。解決疑難一定要有鍥而不舍的精神。做錯的作業再做一遍。對錯誤的地方

11、要反復思考。實在解決不了的要請教老師和同學，并要經常把易錯的知識拿來復習強化，作適當的重復性練習，把求老師問同學獲得的東西消化變成自己的知識，使所學到的知識由“熟”到“活”。(7)系統小結是通過積極思考，達到全面系統深刻地掌握知識和發展認識能力的重要環節。小結要在系統復習的基礎上以教材為依據，參照筆記與資料，通過分析、綜合、類比、概括，揭示知識間的內在了解，以達到對所學知識融會貫通的目的。經常進行多層次小結，能對所學知識由“活”到“悟”。(8)課外學習包括閱讀課外書籍與報刊，參加學科競賽與講座，走訪高年級同學或老師交流學習心得等。課外學習是課內學習的補充和繼續，它不僅能豐富同學們的文化科學知識

12、，加深和鞏固課內所學的知識，而且能夠滿足和發展興趣愛好，培養獨立學習和工作的能力，激發求知欲與學習熱情。2 循序漸進，防止急躁。由于同學們年齡較小，閱歷有限，為數不少的同學容易急躁。有的同學貪多求快，囫圇吞棗；有的同學想靠幾天“沖刺”一蹴而就；有的取得一點成績便洋洋自得，遇到挫折又一蹶不振。同學們要知道，學習是一個長期地鞏固舊知、發現新知的積累過程，決非一朝一夕可以完成的。為什么高中要學三年而不是三天！許多優秀的同學能取得好成績，其中一個重要原因是他們的基本功扎實，他們的閱讀、書寫、運算技能達到了自動化或半自動化的熟練程度。3 注意研究學科特點，尋找最佳學習方法。數學學科擔負著培養運算能力、邏

13、輯思維能力、空間想象能力以及運用所學知識分析問題、解決問題的能力的重任。它的特點是具有高度的抽象性、邏輯性和廣泛的適用性，對能力要求較高。學習數學一定要講究“活”，只看書不做題不行，只埋頭做題不總結積累也不行。對課本知識既要能鉆進去，又要能跳出來，結合自身特點，尋找最佳學習方法。華羅庚先生倡導的“由薄到厚”和“由厚到薄”的學習過程就是這個道理。方法因人而異，但學習的四個環節（預習、上課、作業、復習）和一個步驟（歸納總結）是少不了的。 第二部分，現有初高中數學知識存在以下“脫節”1立方和與差的公式初中已刪去不講，而高中的運算還在用。2因式分解初中一般只限于二次項且系數為“1”的分解，對系數不為“

14、1”的涉及不多，而且對三次或高次多項式因式分解幾乎不作要求，但高中教材許多化簡求值都要用到,如解方程、不等式等。3二次根式中對分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函數、不等式常用的解題技巧。4初中教材對二次函數要求較低，學生處于了解水平，但二次函數卻是高中貫穿始終的重要內容。配方、作簡圖、求值域、解二次不等式、判斷單調區間、求最大、最小值，研究閉區間上函數最值等等是高中數學必須掌握的基本題型與常用方法。5二次函數、二次不等式與二次方程的了解，根與系數的關系（韋達定理）在初中不作要求，此類題目僅限于簡單常規運算和難度不大的應用題型，而在高中二次函數、二次不等式與二次方程相互轉化

15、被視為重要內容，高中教材卻未安排專門的講授。6圖像的對稱、平移變換，初中只作簡單介紹，而在高中講授函數后，對其圖像的上、下；左、右平移，兩個函數關于原點，軸、直線的對稱問題必須掌握。7含有參數的函數、方程、不等式，初中不作要求，只作定量研究,而高中這部分內容視為重難點。方程、不等式、函數的綜合考查常成為高考綜合題。8幾何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行線分線段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都沒有學習，而高中都要涉及。另外，像配方法、換元法、待定系數法初中教學大大弱化，不利于高中知識的講授。第一節乘法公式、因式分解重點：和（差）的立方公式，立方和（差）公式及應用，十字相乘

16、法，分組分解法，試根法難點：公式的靈活運用，因式分解教學過程：一、 乘法公式引入：回顧初中常用的乘法公式：平方差公式，完全平方公式，（從項的角度變化）那三數和的平方公式呢？（從指數的角度變化）看看和與差的立方公式是什么？如，能用學過的公式推導嗎？（平方立方）···················那呢，同理可推。那能否不重復推導，直接從式看出結果？將中的b換成b即可。（）這種代換的思想很常用，但要清楚什么時候

17、才可以代換············符號的記憶，和差 從代換的角度看問：能推導立方和、立方差公式嗎？即（ ）（ ）由可知，······立方差呢？中的b代換成b得出：符號的記憶，系數的區別例1：化簡法1：平方差立方差法2：立方和立方差（2）已知求證：注意觀察結構特征，及整體的把握二、因式分解：將一個多項式化成幾個整式的積的形式，與乘法運算是互逆變形。初中學過的方法有：提取公因式法，公式法（平方差、完全平方、立方和、立方差

18、等）（1）十字相乘法試分解因式：要將二次三項式x2 + px + q因式分解，就需要找到兩個數a、b，使它們的積等于常數項q，和等于一次項系數p, 滿足這兩個條件便可以進行如下因式分解，即x2 + px + q = x2 +(a + b)x + ab = (x + a)(x + b). 用十字交叉線表示: 1 a 1 b a + b （交叉相乘后相加）若二次項的系數不為1呢？，如：如何處理二次項的系數？類似分解：1 3 2 1 -6 + -1 = -7 整理：對于二次三項式ax2+bx+c（a0），如果二次項系數a可以分解成兩個因數之積，即a=a1a2，常數項c可以分解成兩個因數之積，即c=c

19、1c2，把a1，a2，c1，c2排列如下：a1 +c1 a2 +c2 a1c2 + a2c1 = a1c2 + a2c1按斜線交叉相乘，再相加，得到a1c2+a2c1，若它正好等于二次三項式ax2+bx+c的一次項系數b，即a1c2+a2c1=b，那么二次三項式就可以分解為兩個因式a1x+c1與a2x+c2之積，即 ax2+bx+c=（a1x+c1）（a2x+c2）。按行寫分解后的因式十字相乘法關鍵：（1）看兩端，湊中間；（2）分解后的因式如何寫（3）二次項系數為負時，如何簡化例2：因式分解：（1） （2） （3）（2）分組分解法分解，觀察；無公因式，四項式，則不能用提公因式法，公式法及十字相

20、乘法兩種方法適當分組后提出公因式，各組間又出現新的公因式，····叫分組分解法如何適當分組是關鍵（嘗試，結構），分組的原則，目的是什么？分組后可以提取公因式，或；利用公式練習：因式分解（1） （2）（3） （試根法，豎式相除）歸納：如何選擇適當的方法作業：將下列各式分解因式（1）； （2）； （3）；（4）（5）； （6）；（7）（8）；（9）第一節 二次函數及其最值重點：二次函數的三種表示形式，韋達定理，給定區間的最值問題難點：給定區間的最值問題教學過程：一、 韋達定理（二次方程根與系數之間的關系）二次方程什么時候有根（判別式0時），此時由求根公式得，

21、求出了具體的根，還反映了根與系數的關系。那可以不解方程，直接從方程中看出兩根和（積）與系數的關系嗎，反過來，若滿足，那么一定是的兩根，即韋達定理的逆定理也成立。作用：（1）已知方程，得出根與系數的關系（2）已知兩數，構造出以兩數為根的一元二次方程（系數為1）：例1：是方程的兩根，不解方程，求下列代數式的值； 二、二次函數的三種形式(1) 一般式：(2) 頂點式：，其中頂點坐標為（h，k）練：求下列函數的最值。（1） （2） （3）除了上述兩種表示方法外，我們還可以借助圖像與x軸的交點，得出另一種表示方法；函數的圖像與x軸公共點的橫坐標就是方程的根，那它根的情況由誰決定 ，（判別式），當方程有兩

22、根時，由韋達定理可知，所以，這是二次函數的交點式。（3）交點式： 根據題目所給條件，適當選擇三種形式。例2：分別求下列一元二次函數的解析式。（P4344）（1） 已知二次函數的圖象過點（3，0），（1，0），且頂點到x軸的距離等于2；（2） 已知二次函數的對稱軸為x1，最大值為15，圖象與x軸有兩個交點，其橫坐標的立方和為17；三、二次函數在給定范圍內的最值問題例3、已知函數，當自變量x在下列取值范圍內時，分別求函數的最大值或最小值，并求當函數取最大（?。┲禃r所對應的自變量x的值:(1); (2); (3); (4)動范圍問題（選講）例4、已知為大于1的常數），求函數的最大值M和最小值m。（P

23、50）數形結合，根據對稱軸與取值范圍內圖象的相對位置進行分類討論，把握好為什么要分類討論、如何進行分類討論。（要講到位）作業：1、 已知某二次函數的圖象的頂點為A（2，18），它與x軸兩個交點之間的距離為6，求此二次函數的解析式。2、 如圖，用長為18m的籬笆（虛線部分），兩面靠墻圍成矩形的苗圃。（1）設矩形的一邊為x（m），面積為y（），求y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）當x為何值時，所圍苗圃的面積最大，最大面積是多少第二節 比例關系，性質及其應用教學過程：4個非零數a，b，c，d成比例，即，也可寫成，其中a，d叫做比例外項，b，c叫做比例內項，d叫做a，b，c的第四比

24、例項。特別的當比例內項相等時，即，（或），此時b叫做ac的比例中項。一、比例的性質1、 基本性質 ，比例的兩個外項的乘積等于兩個內項的乘積。特別地，2、 更比性質當abcd時，比例式有多種變形形式：內項和外項可以相應的交換位置（注意是對應位置，即交叉相乘相等出現的式子是一樣的）3、合比性質 （證明：兩邊1）4、等比性質（證明：用中間量k過渡，這種設k的方法在解決比例問題中很常用）例1：(1)已知，求證：（2）已知，求證： （3）已知求的值。（比例性質的靈活使用）二、 比例性質的應用（一）平行線等分線段定理1、由特殊：“三條平行線被兩條直線所截”情況入手，觀察（平行非平行）、猜想：不管與是否平行

25、，只要就有。證明：（1）先證時，（特殊位置）（2）再證不平行時，（引導如何思考：將一般位置化歸為特殊位置處理：輔助線作法兩種（上圖）給學生指出：在研究問題中，將困難的、不熟悉的問題轉化為容易的、熟悉的問題，這是解決數學問題不可缺少的思想方法化歸思想從運動的角度看，將平移，使得與相交于，得出推論1：經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊；例2：已知三角形ABC中，AD是角平行線，求證：析：證比例關系，從相似，平行入手，分析思路三角形內角平分線性質定理： 三角形的內角平分線分對邊所得的兩條線段和這個角的兩邊對應成比例。練習：已知在ABC中，AD是角平分線，AB5cm，AC4cm，BC7

26、cm，則BD=_cm.作業：1、根據下列各式，求的值。（1）（2）2、已知則_。3、已知在ABC中，AB6,BC8,AC7，MN/AC，分別交AB，BC于點M，N，且AMBN，求MN的長。4、已知AD是ABC的角平分線，BHAD，垂足為H，CKAD，垂足為K，求證：第四課時一、Rt的射影定理及其應用RtABC中，CD是斜邊AB上的高，圖中線段AC、BC、AD、BD、CD之間有些怎樣的關系呢？（比如等量關系、大小關系、比例關系等）讓學生探究得出以下結論（1）；（2）（3）；（4） 其中（1）（2）（3）結論就是射影定理。引入射影的概念（引垂直）點和線段的正射影簡稱為射影。（1）點在直線上的正射影 （2）線段在直線上的正射影 射影定理：從射影的角度把剛才的結論敘述一遍。射影定理的應用：求Rt的邊長、面積等有關量，研究相似、比