1、復(fù)習(xí)重點(diǎn):第一部分行列式1. 排列的逆序數(shù)（P.5例4; P.26第2、4題）2.行列式按行（列）展開法則（P.21例13; P.28第9題）P.27第8題）3.行列式的性質(zhì)及行列式的計算（第二部分矩陣矩陣的運(yùn)算性質(zhì)矩陣求逆及矩陣方程的求解（P.56第17、18題；P.78第5題）伴隨陣的性質(zhì)（P.41例9; P56第23、矩陣的秩的性質(zhì)（P.69至71; P100例1.2.3.4.24題；P.109第25題）、正交陣的性質(zhì)（P.116）13、 14、 15）第三部分線性方程組1.2.3.線性方程組的解的判定（P71定理3;判定（P.75 例 13 ; P80 第 16、17、18 題）齊次線

2、性方程組的解的結(jié)構(gòu)（基礎(chǔ)解系與通解的關(guān)系） 非齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)（通解）P.77定理4、5、6、7）,帶參數(shù)的方程組的解的4.第四部分 向量組（矩陣、方程組、向量組三者之間可以相互轉(zhuǎn)換）1 .向量組的線性表示2向量組的線性相關(guān)性3. 向量組的秩第五部分方陣的特征值及特征向量1 .施密特正交化過程2. 特征值、特征向量的性質(zhì)及計算（P.120例8、9、10; P.135第7至13題）3. 矩陣的相似對角化，尤其是對稱陣的相似對角化（P.135第15、16、19、23題）要注意的知識點(diǎn):線性代數(shù)1、行列式1.2.n行列式共有n2個元素，展開后有n!項，可分解為2n行列式; 代數(shù)余子式的性質(zhì)：

3、、Aj和aj的大小無關(guān)；某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代數(shù)余子式為0;某行（列）的元素乘以該行（列）元素的代數(shù)余子式為|A| ;3.代數(shù)余子式和余子式的關(guān)系：Mj （"AjAj( 1)i jMj行列式的重要公式： 、主對角行列式：主對角元素的乘積;、副對角行列式：畐w角元素的乘積、上、下三角行列式（I、I I k I）n（n 1）（1）F ；主對角元素的乘積;、和14：畐W角元素的乘積n(n 1)廠、拉普拉斯展開式:I AB、1嚴(yán)"IAI B|5. 、范德蒙行列式：大指標(biāo)減小指標(biāo)的連乘積; 、特征值5.證明|A|0的方法:、|A| |A| ；反證法；構(gòu)造齊次方程組

4、Ax 0,證明其有非零解;利用秩，證明r（A） n ；證明0是其特征值；、矩陣1.A是n階可逆矩陣：IA 0 （是非奇異矩陣）；r（A） n （是滿秩矩陣）A的行（列）向量組線性無關(guān)；齊次方程組Ax 0有非零解；b Rn , Ax b總有唯一解；A與E等價；A可表示成若干個初等矩陣的乘積；A的特征值全不為 0；At A是正定矩陣；A的行（列）向量組是 Rn的一組基;2.對于n階矩陣A : AA*A*A|a|e無條件恒成立；3.(A1)*(A*)1(a1)t(at)1(a*)tTT T* *(AB)B A(AB)B A(AB)14.(AT)B 1A 1A是Rn中某兩組基的過渡矩陣；矩陣是表格，推

5、導(dǎo)符號為波浪號或箭頭；行列式是數(shù)值，可求代數(shù)和; 關(guān)于分塊矩陣的重要結(jié)論，其中均A、B可逆：A，則:AOAs|a| IaIAIl |As| ；n、A1、A11A21A1OOA1A1OOAs1OB1B1OA 1CB 1B1AB 1CA 1OB113、矩陣的初等變換與線性方程組1. 一個m n矩陣A，總可經(jīng)過初等變換化為標(biāo)準(zhǔn)形，其標(biāo)準(zhǔn)形是唯一確定的：FEOr OOmn等價類：所有與 A 等價的矩陣組成的一個集合，稱為一個等價類；標(biāo)準(zhǔn)形為其形狀最 簡單的矩陣；對于同型矩陣A、B，若r(A) r(B) A: B ；2. 行最簡形矩陣： 、只能通過初等行變換獲得； 、每行首個非0元素必須為1； 、每行首

6、個非0元素所在列的其他元素必須為0;3. 初等行變換的應(yīng)用：(初等列變換類似，或轉(zhuǎn)置后采用初等行變換)、r若(A,E) - (E ,X)，則 A 可逆，且 X A 1 ；c 、對矩陣(A, B)做初等行變化，當(dāng)A變?yōu)镋時，B就變成a'b，即：(A,B) (Ea'B)；r 、求解線形方程組：對于n個未知數(shù)n個方程Ax b，如果(A,b)： (E,x)，則A可逆, 且 x A 1b ；4. 初等矩陣和對角矩陣的概念：、 、初等矩陣是行變換還是列變換，由其位置決定：左乘為初等行矩陣、右乘為初等 列矩陣；，左乘矩陣A， i乘A的各行元素；右乘，i乘A的各列元素；111、對調(diào)兩行或兩列，

7、符號E(i,j)，且E(i, j) 1 E(i, j)，例如：1乘某行或某列，符號E(i(k),且E(i (k)1E%)，(k 0)，行或某列，符號E(ij(k),且E(ij(k) 1E(ij( k)k(k 0)；15.矩陣秩的基本性質(zhì):、0 r(Am n) min(m, n)； r(AT) r(A)；若 A : B，貝y r(A) r(B)；6.、若P、Q可逆，則r(A)r(PA) r(AQ) r(PAQ)；(可逆矩陣不影響矩陣的秩)max(r(A),r(B) r(A,B)r(A B) r(A) r(B)；r(A) r(B);(探)r(AB) min(r(A),r(B)；如果A是m n矩陣，

8、B是n s矩陣，且I、B的列向量全部是齊次方程組AXn、r(A) r(B) n若A、B均為n階方陣，則r(AB) r(A)AB 0y：(探)0解(轉(zhuǎn)置運(yùn)算后的結(jié)論)；r(B)三種特殊矩陣的方幕:、秩為行矩陣(向量)的形式，再采用結(jié)合律；1a c、型如 01 b的矩陣：利用二項展開式00 1、利用特征值和相似對角化:7.伴隨矩陣：nr(A)n、伴隨矩陣的秩：r(A*)1r(A)n 1 ；0r(A)n 1、伴隨矩陣的特征值：上|-(AXX, A*IAa1、A* |a|a 1、A1的矩陣：一定可以分解為列矩陣(向量)A*X 國X)；IAn18.關(guān)于A矩陣秩的描述:9.10.11.、r(A)n，r(A

9、)n，r(A)n，A、A、中有 n 階子式不為A中有 n 階子式不為 0， n 1 階子式全部為 0；（兩句話） 中有 n 階子式全部為 0；0；b ，其中 A 為 mm 與方程的個數(shù)相同，即方程組 n 與方程組得未知數(shù)個數(shù)相同，方程組線性方程組:Ax、n 矩陣，則：Ax b 有 m 個方程；Ax b為n元方程;線性方程組 Ax b 的求解： 、對增廣矩陣B進(jìn)行初等行變換（只能使用初等行變換）； 、齊次解為對應(yīng)齊次方程組的解； 、特解：自由變量賦初值后求得；由n個未知數(shù)m個方程的方程組構(gòu)成n元線性方程:b1b2 ；Lbn、a11 x1 a12 x2 La21 x1 a22 x2 LLLLLLL

10、L am1x1am 2x2La1n xn a2n xn LLL anm x、a11a21 M am1a12a22Mam2LLOLa1na2nMamnx1x2Mxmb1b2Ax b (向量方程,MbmA 為 m n 矩陣，m 個方程， n 個未知數(shù)）、a1a2 Lanx1 x2 M xn全部按列分塊，其中b1 b2 )；Mbn、a1x1a2 x2an xn線性表出）、有解的充要條件：r(A) r(A, )n 為未知數(shù)的個數(shù)或維數(shù)）4、向量組的線性相關(guān)性1.m個n維列向量所組成的向量組A :2 ,L ,m 構(gòu)成 n m 矩陣 A1, 2,L , m ) ；2.3.4.5.m個n維行向量所組成的向量

11、組B :2T,LmT 構(gòu)成 m n 矩陣 BT1T2MTm含有有限個向量的有序向量組與矩陣一一對應(yīng)；無非零解；（齊次線性方程組） 、向量組的線性相關(guān)、無關(guān)Ax 0有、 、向量的線性表出Ax b是否有解；（線性方程組） 、向量組的相互線性表示AX B是否有解；（矩陣方程）矩陣Am n與Bl n行向量組等價的充分必要條件是：齊次方程組AX 0和BX 0同解;( P101 例 14)r(ATA) r(A) ; (P 例 15)n 維向量線性相關(guān)的幾何意義：、線性相關(guān), 線性相關(guān), , 線性相關(guān)0；, 坐標(biāo)成比例或共線（平行）；, , 共面；6. 線性相關(guān)與無關(guān)的兩套定理： 若 1, 2 ,L , s

12、 線性相關(guān)，則1, 2,L , s線性無關(guān)，則1 , 2 ,L ,s, s 1必線性相關(guān)；1 , 2 ,L ,s 1必線性無關(guān)；（向量的個數(shù)加加減減，二者為對偶）若r維向量組A的每個向量上添上 n若 A 線性無關(guān)，則 B 也線性無關(guān)；反之若 維數(shù)加加減減）簡言之:無關(guān)組延長后仍無關(guān)，反之，不確定； 向量組 A （個數(shù)為 r ）能由向量組 B 向量組A能由向量組B線性表示，則 向量組 A 能由向量組 B 線性表示AX B 有解；r（A） r（A,B）向量組 A 能由向量組 B 等價 r（A）方陣 A 可逆 存在有限個初等矩陣7.8.、矩陣行等價:ABPA、矩陣列等價:cABAQr 個分量，構(gòu)成

13、n 維向量組 B :B 線性相關(guān)，則 A 也線性相關(guān)；（向量組的（個數(shù)為s ）線性表示，且 A線性無關(guān)，則r S ； r（A）r (B) ；r(B)P1,P2,L左乘，右乘，r(A,B),Pl ，使 A P1P2L Pl ；P 可逆) Ax 0與 Bx 0 同解Q 可逆）；、矩陣等價： 對于矩陣 Am n 與 Bl n : 、若A與B行等價，則 、若A與B行等價，則 相同的線性相關(guān)性；ABPAQP 、 Q 可逆）；9.A與B的行秩相等；Ax 0與Bx 0同解，且A與B的任何對應(yīng)的列向量組具有10.11.12. 、矩陣的初等變換不改變矩陣的秩； 、矩陣A的行秩等于列秩； 若 Am sBs n C

14、m n，則： 、C的列向量組能由A的列向量組線性表示, 、 C 的行向量組能由 B 的行向量組線性表示， 齊次方程組 Bx 0 的解明； 、 ABx 0 只有零解 、 Bx 0 設(shè)向量組 BnB 為系數(shù)矩陣；AT 為系數(shù)矩陣；（轉(zhuǎn)置）定是 ABx 0的解， 考試中可以直接作為定理使用， 而無需證Bx 0 只有零解；ABx 0一定存在非零解； n s : a1, a2 ,L ,as 線性表示為：（b1, b2 ,L ,br） （a1,a2,L ,as）K （ B AK ）r，且A線性無關(guān)，則B組線性無關(guān) r（K） r ；（ B與K的列向量組具有非零解r : b1 ,b2 ,L ,br 可由向量組

15、 A其中 K 為 s有相同線性相關(guān)性）（必要性: Q rr (B) r (AK ) r (K ),r(K) r, r (K ) r ；充分性:反證法)注：當(dāng)r S時，13.、對矩陣Am nK 為方陣，可當(dāng)作定理使用；，存在Qn m，AQ Em （A） m、Q的列向量線性無關(guān);n m ， AQ E m14.、對矩陣Am n，存在Pn m，PA En 1 , 2,L , s線性相關(guān)存在一組不全為r（A） n、P的行向量線性無關(guān);0 的數(shù) k1,k2,L ,ks，使得 k 1 k2 2 L ks s 0成立；(定義)3.X10有非零解，即 Ax 0有非零解;X2(1， 2,L , s) MXsr(2,L , s)s，系數(shù)矩陣的秩小于未知數(shù)的個數(shù);15.設(shè)mr(S)的矩陣A的秩為rr ；,則n元齊次線性方程組Ax 0的解集S的秩為：16.若*為Ax b的一個解,2,L , nr為Ax 0的一個基礎(chǔ)解系，則,1 , 2 ,L , n r 線性無關(guān)；相似矩陣1.正交矩陣ATA E或A 1at （定義），性質(zhì):2.、