1、知識點第八章 空間解析幾何與向量代數（一）向量線性運算 定理1：設向量az0,則向量b平行于a的充要條件是存在唯一的實數 入，b= a1、線性運算：加減法、數乘;2、4、向量的模、方向角、投影:1)向量的模:/2 2 2Vx y Z2)兩點間的距離公式:AByj2 (z2 Z1)23)方向角：非零向量與三個坐標軸的正向的夾角4)方向余弦：cosx, COS,COS5)投影：Prjuacos,其中為向量a與u的夾角。1、數量積：a bb cos空間直角坐標系：坐標軸、坐標面、卦限，向量的坐標分解式;3、利用坐標做向量的運算：設a （ ax ,ay ,az）, b 心耳鳥）；a b (ax bx,

2、 ay by, az bz),a ( ax , ay , az);1) a a2)a b2、向量積:大小:1)a a2) a/ bb sin，方向：a, b, c符合右手規則運算律：反交換律 b a（三）曲面及其方程1、曲面方程的概念：S :f (x,y,z)2、旋轉曲面:yoz 面上曲線 C : f (y, z) 0，繞y軸旋轉一周:f (y,辰z2)繞z軸旋轉一周:f ( Tx", z)3、柱面:F（X, y） 0表示母線平行于z軸,準線為F(x,y) 0的柱面4、二次曲面1）2X橢圓錐面：亍a2 y b2z22X橢球面：2a2 y_ b22）2X旋轉橢球面：y2ya2c23)單

3、葉雙曲面:2X2a2 y b24)雙葉雙曲面:2X2a2 y b22z2c5)橢圓拋物面:2 X 2 a2y.b26)雙曲拋物面（馬鞍面）：2X2a2 y b27)橢圓柱面:X22a*b28)雙曲柱面:拋物柱面:2X2a2X2yb29）（四）空間曲線及其方程ayF(X, y,Z)1、般方程:G(x,y,z)x(t)a cos t2、參數方程:y（t），如螺旋線:z（t）a sin tbt3、空間曲線在坐標面上的投影F（x,y,z） 0G（x,y,z） 0 '消去z '得到曲線在面xOy上的投影H(x,y) 0（五）平面及其方程1、點法式方程:A(x Xo)B(y yo) c(z

4、 zo)2、法向量：n(A,B,C),過點(xo, yo, Zo)般式方程:AxByCz Dx截距式方程：-a3、兩平面的夾角:n1(Al, B1,C1 ) ,n2(A2, B2 ,C2),4、點 Po(Xo, yo, Zo)到平面 Ax ByCz D 0的距離:2、（六）空間直線及其方程A1xB1yC1z、般式方程：A2xB2yC2zxxo對稱式（點向式）方程:1D1D2方向向量:3、參數式方程:4、兩直線的夾角:S15、直線與平面的夾角:第九章多元函數微分法及其應用（一）基本概念yy。z Zon P(m,n, p)，過點(Xo, yo,Zo)xoyoZomtntpt(gm, P1)，S2

5、(m2,n2, P2)，直線與它在平面上的投影的夾角,1、距離，鄰域，內點，外點，邊界點，聚點，開集，閉集，連通集，區域，閉區域，有界集，無界集。2、多元函數：(1)定義：設n維空間內的點集D是R2的一個非空子集，稱映射f: DtR為定義在D上的n元函數。當nA2時，稱為多元函數。記為U=f (X1, X2, ，Xn),( X1, X2, ，Xn) D。3、二次函數的幾何意義：由點集 D所形成的一張曲面。如z=ax+by+c的圖形為一張平面，而z=x2+y2的圖形是旋轉拋物線。4、極限：(1)定義：設二元函數f(p)=f(x,y)的定義域D,p0(x0,y0)是D的聚點D,如果存在函數A對于任

6、意給定的正數£ ，總存在正數S ,使得當點P(x,y ) DnU( p0, S)時，都有 I f(p)-A I = I f(x,y)-A成立，那么就稱常數A為函數f(x,y)當(x,y) (xoyo)時的極限，記作多元函數的連續性與不連續的定義5、有界閉合區域上二元連續函數的性質：(1)在有界閉區域D上的多元連續函數，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值；(2)在有界區域D上的多元連續函數必取得介于最大值和最小值之間的任何值。6、偏導數：設有二元函數z=f(x,y)，點(x 0,y o)是其定義域D內一點。把y固定在yO而讓x在xO有增量 X,相應地函數z=f(x,y)有增量(

7、稱為對x/y的偏增量)如果z與x/ y之比當 XT0/ yT0時的極限存在，那么此極限值稱為函數z=f(x,y)在(xO,yO)處對x/y的偏導數記作fx(x0,y0) lim f(X0x,y0)f(X0,y0)X 07、混合偏導數定理：如果函數的兩個二姐混合偏導數fxy(x,y)和fyx(x,y)在D內連續，那么在該區域內這兩個二姐混合偏導數必相等。8、方向導數：-cos -cos其中為丨的方向角。9、全微分：如果函數 z=f(x, y) 在(x, y)處的全增量 z=f(x x， y y) -f(x,y)可以表示為 z=AAx+曲y+o( p )，其中A、B不依賴于 x, y,僅與x,y有

8、關,稱為函當PO,此時稱函數z=f(x, y)在點(x, y)處可微分，Ax + By數z=f(x, y)在點(x, y)處的全微分，記為(二)性質微分法2)復合函數求導：鏈式法則1)定義:若 z f(u,v),u u(x, y),v v(x, y)，z z u z v zx u x v x y3)隱函數求導：兩邊求偏導,然后解方程(組)(三)應用1、極值1）無條件極值:求函數z f（x,y）的極值fx解方程組f求出所有駐點，對于每一個駐點（xo,yo）,A fxx(x0,y0)，Bfxy (X0 , y0 )，Cfyy若ACB20A 0，函數有極小值,若ACB20，A 0，函數有極大值；若A

9、CB20，函數沒有極值；若ACB20，不定。2）條件極值:（X0,y0），f y求函數z f （x,y）在條件（x,y）0下的極值令: L(x, y)f(x,y)(x,y)Lagra nge函數Lx解方程組 Ly(x,y) 02、幾何應用 1）曲線的切線與法平面x(t)曲線：yy(t)，則z(t)上一點M（X0,y0,Z0）（對應參數為t0）處的切線方程為:X X0X(t0)y （t。）z（t0）法平面方程為:X (to)(xXo) y (to)( yyo)Z (to)(ZZo)o曲面:F (x, y, z) o ,則xXo法線方程為：Fx（Xo，yo，Zo）第十章重積分(-'）二重積

10、分1、定義：f (x,y)dlimoD2、性質：（6條）3、幾何意義：曲頂柱體的體積。4、計算：1）直角坐標K1(x) y 2(x)D(x,y)a X b，1(y) X 2(y)D(x,y)c y d，2）極坐標（二J三重積分1、定義：f(x,y,z)dv l2、性質：3、計算：2）曲面的切平面與法線nk1上一點M （X0,yo,Zo）處的切平面方程為:yyoZZoFy(Xo，yo，Zo)Fz(Xo，yo，Zo)f( k，k)nf(k 1k) Vk1)直角坐標n1f (x,y,z)dvdxdyz2(x,y)z1(x,y) f(x,y,z)dzf (x, y,z)dvbdza D Zf (x,

11、y, z)dxdy2)柱面坐標cos3)sin球面坐標f (x, y,z)d vf ( cos , sin , z) d d dz（三）應用 曲面 S: z f （x, y）, （x,y） D 的面積:第十二章 無窮級數（一）常數項級數1、定義:1）無窮級數:Un1U1U2 U3Un部分和：SnUkk 1UiU2U3Un正項級數:Un，Un1交錯級數:(1)nUnUn 02)級數收斂:若lim Sn S存在，則稱級數Un收斂，否則稱級數Un發nn 1n 1n1n 13)絕對收斂:Un收斂，則 Un絕對收斂;條件收斂:Un收斂，而n 1Unn 1發散，則Un條件收斂。n 12、性質:Un絕對收斂

12、，則Un必定收斂。11)級數的每一項同乘一個不為零的常數后，不影響級數的收斂性;2）級數 an與 bn分別收斂于和S與7,則 （an bn ）收斂且，其n 1n 1n 1和為S+ (73)4)在級數中任意加上、去掉或改變有限項，級數仍然收斂;級數收斂，任意對它的項加括號后所形成的級數仍收斂且其和不變。5)必要條件：級數Un 收斂即 lim Un 0.n 1n3、審斂法正項級數：Un ,n 1Un 01)定義：lim SnnS存在；2)Un收斂n 1Sn有界；3)比較審斂法：Un ,Vn 為正項級數，且 UnVn (n 1,2,3,)若 Vn收斂，則 Un收斂；若 Un發散，則 發散.n 1n

13、1n 1n 14)比較法的推論：Unn 1Vn為正項級數，若存在正整數m，當n mn 1時,UnUn kvn，而 Vn收斂，則 Un收斂；若存在正整數 m，當n m時,n 1n 1kVn，而Vn發散，則 Un發散.n 1n 1做題步驟：找比較級數（等比數列，調和數列，P級數1/n p）;比較大小;是否收斂。5）比較法的極限形式：設Unn 1Vn為正項級數,n 1（1）若 Iim若Iim7nI (0 I0 或 nim7n6）比值法:Un為正項級數,斂；則當I 1時，級數 Un發散;n 1），而 Vn收斂，則 Un收斂;n 1n 1，而 Vn發散，則 Un發散.n 1n 11，則當I 1時，級數 Un收n 1當I 1時，級數Un可能收斂也可能發散.n 17）根值法：Un為正項級數，設limMUn I，則當I 1時，級數 Un收n 1nn 1斂；則當I 1時，級數 Un發散；當I 1時，級數 Un可能收斂也可能發散.n 18）極限審斂法：Un為正項級數，若Iim nII IUn 0 或 lim n Unn，則級數n1Un發散；若存在P 1，使得nimn PUnI (0 I )，則級數Unn 1收斂.交