1、知識(shí)點(diǎn)第八章 空間解析幾何與向量代數(shù)（一）向量線性運(yùn)算 定理1：設(shè)向量az0,則向量b平行于a的充要條件是存在唯一的實(shí)數(shù) 入，b= a1、線性運(yùn)算：加減法、數(shù)乘;2、4、向量的模、方向角、投影:1)向量的模:/2 2 2Vx y Z2)兩點(diǎn)間的距離公式:AByj2 (z2 Z1)23)方向角：非零向量與三個(gè)坐標(biāo)軸的正向的夾角4)方向余弦：cosx, COS,COS5)投影：Prjuacos,其中為向量a與u的夾角。1、數(shù)量積：a bb cos空間直角坐標(biāo)系：坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面、卦限，向量的坐標(biāo)分解式;3、利用坐標(biāo)做向量的運(yùn)算：設(shè)a （ ax ,ay ,az）, b 心耳鳥(niǎo)）；a b (ax bx,

2、 ay by, az bz),a ( ax , ay , az);1) a a2)a b2、向量積:大小:1)a a2) a/ bb sin，方向：a, b, c符合右手規(guī)則運(yùn)算律：反交換律 b a（三）曲面及其方程1、曲面方程的概念：S :f (x,y,z)2、旋轉(zhuǎn)曲面:yoz 面上曲線 C : f (y, z) 0，繞y軸旋轉(zhuǎn)一周:f (y,辰z2)繞z軸旋轉(zhuǎn)一周:f ( Tx", z)3、柱面:F（X, y） 0表示母線平行于z軸,準(zhǔn)線為F(x,y) 0的柱面4、二次曲面1）2X橢圓錐面：亍a2 y b2z22X橢球面：2a2 y_ b22）2X旋轉(zhuǎn)橢球面：y2ya2c23)單

3、葉雙曲面:2X2a2 y b24)雙葉雙曲面:2X2a2 y b22z2c5)橢圓拋物面:2 X 2 a2y.b26)雙曲拋物面（馬鞍面）：2X2a2 y b27)橢圓柱面:X22a*b28)雙曲柱面:拋物柱面:2X2a2X2yb29）（四）空間曲線及其方程ayF(X, y,Z)1、般方程:G(x,y,z)x(t)a cos t2、參數(shù)方程:y（t），如螺旋線:z（t）a sin tbt3、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影F（x,y,z） 0G（x,y,z） 0 '消去z '得到曲線在面xOy上的投影H(x,y) 0（五）平面及其方程1、點(diǎn)法式方程:A(x Xo)B(y yo) c(z

4、 zo)2、法向量：n(A,B,C),過(guò)點(diǎn)(xo, yo, Zo)般式方程:AxByCz Dx截距式方程：-a3、兩平面的夾角:n1(Al, B1,C1 ) ,n2(A2, B2 ,C2),4、點(diǎn) Po(Xo, yo, Zo)到平面 Ax ByCz D 0的距離:2、（六）空間直線及其方程A1xB1yC1z、般式方程：A2xB2yC2zxxo對(duì)稱式（點(diǎn)向式）方程:1D1D2方向向量:3、參數(shù)式方程:4、兩直線的夾角:S15、直線與平面的夾角:第九章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用（一）基本概念yy。z Zon P(m,n, p)，過(guò)點(diǎn)(Xo, yo,Zo)xoyoZomtntpt(gm, P1)，S2

5、(m2,n2, P2)，直線與它在平面上的投影的夾角,1、距離，鄰域，內(nèi)點(diǎn)，外點(diǎn)，邊界點(diǎn)，聚點(diǎn)，開(kāi)集，閉集，連通集，區(qū)域，閉區(qū)域，有界集，無(wú)界集。2、多元函數(shù)：(1)定義：設(shè)n維空間內(nèi)的點(diǎn)集D是R2的一個(gè)非空子集，稱映射f: DtR為定義在D上的n元函數(shù)。當(dāng)nA2時(shí)，稱為多元函數(shù)。記為U=f (X1, X2, ，Xn),( X1, X2, ，Xn) D。3、二次函數(shù)的幾何意義：由點(diǎn)集 D所形成的一張曲面。如z=ax+by+c的圖形為一張平面，而z=x2+y2的圖形是旋轉(zhuǎn)拋物線。4、極限：(1)定義：設(shè)二元函數(shù)f(p)=f(x,y)的定義域D,p0(x0,y0)是D的聚點(diǎn)D,如果存在函數(shù)A對(duì)于任

6、意給定的正數(shù)£ ，總存在正數(shù)S ,使得當(dāng)點(diǎn)P(x,y ) DnU( p0, S)時(shí)，都有 I f(p)-A I = I f(x,y)-A成立，那么就稱常數(shù)A為函數(shù)f(x,y)當(dāng)(x,y) (xoyo)時(shí)的極限，記作多元函數(shù)的連續(xù)性與不連續(xù)的定義5、有界閉合區(qū)域上二元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：(1)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，必定在D上有界，且能取得它的最大值和最小值；(2)在有界區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)必取得介于最大值和最小值之間的任何值。6、偏導(dǎo)數(shù)：設(shè)有二元函數(shù)z=f(x,y)，點(diǎn)(x 0,y o)是其定義域D內(nèi)一點(diǎn)。把y固定在yO而讓x在xO有增量 X,相應(yīng)地函數(shù)z=f(x,y)有增量(

7、稱為對(duì)x/y的偏增量)如果z與x/ y之比當(dāng) XT0/ yT0時(shí)的極限存在，那么此極限值稱為函數(shù)z=f(x,y)在(xO,yO)處對(duì)x/y的偏導(dǎo)數(shù)記作fx(x0,y0) lim f(X0x,y0)f(X0,y0)X 07、混合偏導(dǎo)數(shù)定理：如果函數(shù)的兩個(gè)二姐混合偏導(dǎo)數(shù)fxy(x,y)和fyx(x,y)在D內(nèi)連續(xù)，那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二姐混合偏導(dǎo)數(shù)必相等。8、方向?qū)?shù)：-cos -cos其中為丨的方向角。9、全微分：如果函數(shù) z=f(x, y) 在(x, y)處的全增量 z=f(x x， y y) -f(x,y)可以表示為 z=AAx+曲y+o( p )，其中A、B不依賴于 x, y,僅與x,y有

8、關(guān),稱為函當(dāng)PO,此時(shí)稱函數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)(x, y)處可微分，Ax + By數(shù)z=f(x, y)在點(diǎn)(x, y)處的全微分，記為(二)性質(zhì)微分法2)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)：鏈?zhǔn)椒▌t1)定義:若 z f(u,v),u u(x, y),v v(x, y)，z z u z v zx u x v x y3)隱函數(shù)求導(dǎo)：兩邊求偏導(dǎo),然后解方程(組)(三)應(yīng)用1、極值1）無(wú)條件極值:求函數(shù)z f（x,y）的極值fx解方程組f求出所有駐點(diǎn)，對(duì)于每一個(gè)駐點(diǎn)（xo,yo）,A fxx(x0,y0)，Bfxy (X0 , y0 )，Cfyy若ACB20A 0，函數(shù)有極小值,若ACB20，A 0，函數(shù)有極大值；若A

9、CB20，函數(shù)沒(méi)有極值；若ACB20，不定。2）條件極值:（X0,y0），f y求函數(shù)z f （x,y）在條件（x,y）0下的極值令: L(x, y)f(x,y)(x,y)Lagra nge函數(shù)Lx解方程組 Ly(x,y) 02、幾何應(yīng)用 1）曲線的切線與法平面x(t)曲線：yy(t)，則z(t)上一點(diǎn)M（X0,y0,Z0）（對(duì)應(yīng)參數(shù)為t0）處的切線方程為:X X0X(t0)y （t。）z（t0）法平面方程為:X (to)(xXo) y (to)( yyo)Z (to)(ZZo)o曲面:F (x, y, z) o ,則xXo法線方程為：Fx（Xo，yo，Zo）第十章重積分(-'）二重積

10、分1、定義：f (x,y)dlimoD2、性質(zhì)：（6條）3、幾何意義：曲頂柱體的體積。4、計(jì)算：1）直角坐標(biāo)K1(x) y 2(x)D(x,y)a X b，1(y) X 2(y)D(x,y)c y d，2）極坐標(biāo)（二J三重積分1、定義：f(x,y,z)dv l2、性質(zhì)：3、計(jì)算：2）曲面的切平面與法線nk1上一點(diǎn)M （X0,yo,Zo）處的切平面方程為:yyoZZoFy(Xo，yo，Zo)Fz(Xo，yo，Zo)f( k，k)nf(k 1k) Vk1)直角坐標(biāo)n1f (x,y,z)dvdxdyz2(x,y)z1(x,y) f(x,y,z)dzf (x, y,z)dvbdza D Zf (x,

11、y, z)dxdy2)柱面坐標(biāo)cos3)sin球面坐標(biāo)f (x, y,z)d vf ( cos , sin , z) d d dz（三）應(yīng)用 曲面 S: z f （x, y）, （x,y） D 的面積:第十二章 無(wú)窮級(jí)數(shù)（一）常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)1、定義:1）無(wú)窮級(jí)數(shù):Un1U1U2 U3Un部分和：SnUkk 1UiU2U3Un正項(xiàng)級(jí)數(shù):Un，Un1交錯(cuò)級(jí)數(shù):(1)nUnUn 02)級(jí)數(shù)收斂:若lim Sn S存在，則稱級(jí)數(shù)Un收斂，否則稱級(jí)數(shù)Un發(fā)nn 1n 1n1n 13)絕對(duì)收斂:Un收斂，則 Un絕對(duì)收斂;條件收斂:Un收斂，而n 1Unn 1發(fā)散，則Un條件收斂。n 12、性質(zhì):Un絕對(duì)收斂

12、，則Un必定收斂。11)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù)后，不影響級(jí)數(shù)的收斂性;2）級(jí)數(shù) an與 bn分別收斂于和S與7,則 （an bn ）收斂且，其n 1n 1n 1和為S+ (73)4)在級(jí)數(shù)中任意加上、去掉或改變有限項(xiàng)，級(jí)數(shù)仍然收斂;級(jí)數(shù)收斂，任意對(duì)它的項(xiàng)加括號(hào)后所形成的級(jí)數(shù)仍收斂且其和不變。5)必要條件：級(jí)數(shù)Un 收斂即 lim Un 0.n 1n3、審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)：Un ,n 1Un 01)定義：lim SnnS存在；2)Un收斂n 1Sn有界；3)比較審斂法：Un ,Vn 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，且 UnVn (n 1,2,3,)若 Vn收斂，則 Un收斂；若 Un發(fā)散，則 發(fā)散.n 1n

13、1n 1n 14)比較法的推論：Unn 1Vn為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若存在正整數(shù)m，當(dāng)n mn 1時(shí),UnUn kvn，而 Vn收斂，則 Un收斂；若存在正整數(shù) m，當(dāng)n m時(shí),n 1n 1kVn，而Vn發(fā)散，則 Un發(fā)散.n 1n 1做題步驟：找比較級(jí)數(shù)（等比數(shù)列，調(diào)和數(shù)列，P級(jí)數(shù)1/n p）;比較大小;是否收斂。5）比較法的極限形式：設(shè)Unn 1Vn為正項(xiàng)級(jí)數(shù),n 1（1）若 Iim若Iim7nI (0 I0 或 nim7n6）比值法:Un為正項(xiàng)級(jí)數(shù),斂；則當(dāng)I 1時(shí)，級(jí)數(shù) Un發(fā)散;n 1），而 Vn收斂，則 Un收斂;n 1n 1，而 Vn發(fā)散，則 Un發(fā)散.n 1n 11，則當(dāng)I 1時(shí)，級(jí)數(shù) Un收n 1當(dāng)I 1時(shí)，級(jí)數(shù)Un可能收斂也可能發(fā)散.n 17）根值法：Un為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，設(shè)limMUn I，則當(dāng)I 1時(shí)，級(jí)數(shù) Un收n 1nn 1斂；則當(dāng)I 1時(shí)，級(jí)數(shù) Un發(fā)散；當(dāng)I 1時(shí)，級(jí)數(shù) Un可能收斂也可能發(fā)散.n 18）極限審斂法：Un為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，若Iim nII IUn 0 或 lim n Unn，則級(jí)數(shù)n1Un發(fā)散；若存在P 1，使得nimn PUnI (0 I )，則級(jí)數(shù)Unn 1收斂.交