1、從思維角度提高數學學習的有效性的策略.寧波東海實驗學校 丁燕波關鍵詞：思維、有效性、邏輯推理能力、運用類比、巧設問題、變式訓練一、問題提出：中學數學教學，一方面要傳授數學知識，使學生具備數學基礎知識的素養；另一方面，要通過數學知識的傳授，培養學生能力，發展智力，這是數學教學中一個非常重要的方面，應引起高度重視，在諸多能力中，我認為思維能力是核心。我們知道，人類的活動離不開思維，錢學森教授曾指出：“教育工作的最終機智在于人腦的思維過程。”思維活動的研究，是教學研究的基礎，數學教學與思維的關系十分密切，數學教學就是指數學思維活動的教學，數學教學實質上就是學生在教師指導下，通過數學思維活動，學習數學

2、家思維活動的成果，并發展數學思維，使學生的數學思維結構向數學家的思維結構轉化的過程。對數學思維的研究，是數學教學研究的核心，數學思維的發展規律，對數學教學的實踐活動具有根本性的指導意義。數學學習的策略有很多，最主要的是找到提高數學學習有效性的策略。而提高學生學習的有效性歸根結底還是在于數學思維能力的培養。二、數學思維能力概述：1.數學思維能力：每個人的能力不同，那么思維能力更是不一樣，數學思維能力比較抽象，培養這種思維能力不是短時間就能完成的。我們知道，能力是順利完成某種活動所必需的并直接影響活動效率的個性心理特征。數學能力是人們在從事數學活動時所必需的各種能力的綜合，而其中數學思維能力是數學

3、能力的核心。2.數學思維能力要素：高度的抽象性是數學最本質的特點，數學的抽象性導致了極大的概括性，抽象和概括構成了數學的實質，數學的思維是抽象概括的思維。因此，抽象概括能力構成了數學思維能力的第一要素，除此之外，還有推理能力，判斷選擇能力和探索能力。三、數學教學中培養學生的數學思維能力：（一）數學思維的基本能力：抽象概括能力、推理能力、選擇判斷能力數學抽象概括能力是數學思維能力，也是數學能力的核心。它具體表現為對概括的獨特的熱情，發現在普遍現象中存在著差異的能力，在各類現象間建立聯系的能力，分離出問題的核心和實質的能力，由特殊到一般的能力，從非本質的細節中使自己擺脫出來的能力，把本質的與非本質

4、的東西區分開來的能力，善于把具體問題抽象為數學模型的能力等方面。選擇、判斷能力是數學創造能力的重要組成部分。選擇、判斷不僅表現為對數學推理的基礎過程及結論正誤的判定，還表現為對數學命題、事實、數學解題思路、方法合理性的估計以及在這個估計的基礎上作出的選擇，判斷能力實際上是思維者對思維過程的自我反饋能力。（二）運用不同方法，培養學生的思維能力。1、在實踐中啟迪學生思維。教師在教學實踐中動手操作或讓學生自己動手操作，最能激發學生的學習興趣，保持學生穩定的注意力。如在推導圓柱體體積時，通過讓學生自己推導將一個圓柱體拼割成一個近似的長方體，在這個過程中，不但讓學生體會體積轉化的一種方法：將新圖形轉化成

5、我們所熟悉的圖形求體積，同時也讓學生掌握了圓柱體體積公式。但這還不夠，我要求學生認真觀察我的推導過程，這個近似長方體與原來的圓柱體比較，體積、表面積是否發生了變化？在學生熟悉掌握圓柱體的體積公式后，我又出了這樣一道題：將圓柱體拼成近似長方體后，表面積增加了40平方厘米，長方體的高為1分米，求原來圓柱體的體積？學生由于剛剛自己推導了這個體積公式，所以很快就可以解決了。在七下第一章，三角形的角平分線和中線這節內容中，引出這兩個概念通過讓學生折三角形，畫三角形的角平分線和中線，讓學生在自己動手操作中體會三角形角平分線和中線與一個角的角平分線和線段中點的不同，從而得出概念，加深對概念的理解。2、運用類

6、比方法，培養學生的創新思維。類比方法是根據兩類事物之間的相似性，從而也推導出其他方面也有類似的推理方法。在數學教學中運用類比的方法是比較重要的一種方法。運用比較辨別，啟迪學生思維想像；如在合并這個同類項時，不少學生感到有困難，不知道如何把分解開來，于是我先讓學生合并這個同類項，這時候通過比較，學生恍然大悟，可以把看做一個整體來合并。再如，在上一元一次不等式這節內容時，我先讓學生自己探究如何解這個不等式，一開始學生無從下手，不知如何來解。于是我有提示：如果把“”改為“=”怎么解，學生恍然大悟，按照解一元一次方程的解法，很快能類似地解出這個不等式。通過分析歸納，培養學生的創新思維；又如在教完平面圖

7、形面積計算公式后，我要求學生歸納出一個能概括出各個平面圖形面積計算公式，學生通過討論，歸納出面積都可以用梯形面積公式來表示。（上底+下底）高2，當上底等于下底時，梯形公式變成了長方形公式、平行四邊形公式、正方形公式；當上底=0時，又變成了三角形公式；因圓面積公式是根據長方形面積公式推導出來的，所以圓面積公式也可以用梯形公式來表示。這樣不僅使學生熟練掌握了平面圖形的面積公式，同時也培養和提高了學生的創新思維。3、巧設探索性問題，培養學生創新思維。現代心理學認為，為教學應設法為學生創設逼真的問題情境，喚起學生思考的欲望。讓學生真正體驗到用數學知識解決實際問題的樂趣。因此在教學實踐中，我盡量做到在數

8、學教學過程中加強實踐活動，設計開放性習題，讓學生在實踐中提高創新思維。如在教百分數應用題時，我出示了這樣一題：張老師欲購買一臺筆記本電腦，為了盡量少花點錢，他考察了A、B、C三個商場，他想購買的筆記本電腦三個商場都有，且標價都是9980元，不過三個商場的優惠活動不同，具體是這樣的：A：全場9折 B：購物買1000送100 C：購物滿1000元九折，滿10000元 八八折 張老師應到哪個商場買？為什么？這道題顯然不同于一般的應用題，因此我啟發學生，應該充分考慮如何才能真正少花錢這一特定條件去考慮？學生進行了認真的考慮和討論，最后得出了答案。所以問題設計得好與壞也可以直接影響學生的思維能力。問題設

9、置的好壞，還直接影響上課氣氛和學生思維質的變化。這是一節幾何課，是探索三角形全等的條件（2）第2課時，主要要求掌握垂直平分線的性質及進一步掌握對三角形全等條件的應用。這節課我自認為是上得較成功的一堂課，它讓學生的思維充分地活躍起來，其成功點就在于問題設置的很巧妙。課件演示想一想：如圖，已知要說明，還需增加一個什么條件？同學們的手一個一個舉得高高的，期待著我能叫到他們。于是我先請了一位程度較差的學生加第一個條件，他馬上加了BC=EF，利用了“SSS”。我又請了程度中等的同學加第二個條件，他也毫不猶豫地加了，利用了“SAS”，同樣我也肯定了他。此時手都放了下來，其他同學要加的條件都已出來了，我又反

10、問了一句：“還有其他加法嗎？”同學們陷入了沉思。突然，有位同學的手高高地舉了起來，其他同學的目光一下子聚集到他身上，我抓住機會馬上請他回答。“老師，還可以加BE=CF。”有了他的這一點撥，下面的同學如夢初醒，“哦，真聰明！”我又反問一句：“為什么呢？”這下所有的同學舉起手來，我還是請了這位同學來解釋。“因為若BE=CF，BE+EC=CF+EC，也就是BC=EF，就可以利用SSS了。”其他同學都鼓起掌來，都覺得非常有道理，同時也是為他敏捷的思維能力而鼓掌。4、重視變式訓練，培養學生的數學思維能力。數學教學，使學生理解知識僅僅是一個方面，更主要的是要培養學生的思維能力，掌握數學的思想和方法。我覺得

11、加強數學教學中的變式訓練對培養學生數學思維能力有很大的幫助。 變式其實就是創新。實施變式訓練應抓住思維訓練這條主線，恰當的變更問題情境或改變思維角度，培養學生的應變能力，引導學生從不同途徑尋求解決問題的方法。通過多問、多思、多用等激發學生思維的積極性和深刻性。當然變式不是盲目的變，應抓住問題的本質特征，遵循學生認知心理發展，根據實際需要進行變式。大致的類型有：多題一解式，一題多問式，一題多解式，一題多變式等等。（1）多題一解，通過變式讓學生概括基本規律，培養學生求同存異的思維能力；如：三道應用題，都用一個解題思路。A、小紅家今年農業收入是其他收入的1.5倍，預計明年農業收入將減少20%，而其他

12、收入將增加40%，那么預計小紅家明年的全年總收入是增加，還是減少？B、某企業有A、B兩種經營收入，今年A種年收入是B種的2倍，預計明年A將減少10%，B將增加18%。問明年總收入是增加還是減少？C、甲、乙兩個油桶中裝有體積相等的油。先把甲桶的油倒一半到乙桶，再把乙桶的油倒出1/3給甲桶。問結果哪個桶中的油多？三題一解，讓學生掌握這類題的解法。（2）一題多問，通過變式引申發展，擴充、發展原有功能，培養學生的創新意識和探究、概括能力。教學中要特別重視對課本例題和習題的“改裝”或引申。如：有道例題：化簡并求值，其中；針對這題我又補充了道例題：，其中。這兩題有類似之處，學生已能將補充的例題轉化成我們熟

13、悉的例題，拓展思維，并很好地掌握代數式。 數學教學應該設計成為學生進行數學知識的“再發現、再創造”過程，從而培養學生創新意識和問題的探索過程。波利亞曾說：“在證明一個定理之前，你必須猜想這個定理，在你搞清楚證明細節之前，你必須猜想出證明的主導思想。”“從具體問題出發，通過觀察實驗建立猜想，經過分析論證概括出規律，再深化應用指導解決具體問題”的數學知識形成過程是培養學生創新意識的一種教學思想 。（3）一題多解，通過變式，培養學生發散思維的能力，培養學生思維的嚴密性。這里的一題多解有兩層意思：一是一個題目有多個答案，二是同一題目有多種解法。如：用火柴棒搭正方形問題，搭個正方形需幾根火柴棒，有好幾種

14、解法：如從3個方向看，上、下各要根，豎的要+1根，共需根；如第一個正方形要4個，以后每增加一個正方形要增加3根，共需根；如把第一個正方形看成1+3根，以后每增加一個正方形增加3根，共需根。再如，已知試比較與的大小（用不同方法來比較）。學生的思維開始發散開來，第一種：利用不等式基本性質2， ，即。第二種：利用不等式基本性質3，。第三種：利用數軸來說明，在數軸上分別表示出與的大致位置，從而可以比較出大小，。第四種：利用作差法，。這種方法較常用，要求每位同學能掌握。通過用不同方法來解同一題，不僅發散了學生的思維，而且還能讓學生在不同方法中鞏固不同的知識點，并且在思維中積累不同的解題方法。 馬斯洛夫的

15、需要層次理論認為：每個學生都有自我實現和被重視的需要，都有重視個人尊嚴與價值的愿望，都有充分挖掘和發展自身潛能的傾向和“獨樹一幟”的渴求，并通過自己的創造性活動完善自身、實現自我。因此在教學中要重視數學知識的探究，為滿足學生求異心理的需求，發揮習題的變式功能和解法的多樣性，讓學生感受因創新而帶來的成功喜悅。學生通過類似的“變式”練習，不僅有利于徹底根治多值問題中漏解的毛病，而且學生的探索創新意識會逐步增強，數學思維的嚴密性也得到培養。（4）一題多變，總結規律，培養學生思維的深刻性。通過變式教學，不是解決一個問題，而是解決一類問題，遏制“題海戰術”，開拓學生解題思路，培養學生的探索意識，實現“以

16、少勝多”。伽利略曾說過“科學是在不斷改變思維角度的探索中前進的”。故而課堂教學要常新、善變，通過原題目延伸出更多具有相關性、相似性、相反性的新問題，深刻挖掘例習題的教育功能。例：甲、乙兩車分別同時從相距210千米的A、B兩城相向開出，甲車每小時行40千米，比乙車每小時快10千米，幾小時后在途中相遇？ 在解答完例題之后，教師可對本例作以下變式，（1）把“兩車同時開出”改為“甲車先出發時” （2）把“兩車相向而行”改為“兩車朝AB方向同向而行”（3）把本題改為“甲、乙兩車分別同時從相距210千米的A、B兩城相向開出，1小時后,乙車以每小時比甲慢10千米的速度從B城開出，3小時后在途中相遇，求甲、乙

17、兩車的速度？”這樣的變式覆蓋了同時出發相遇問題、不同時出發相遇問題、追及問題等行程問題的基本類型。這樣通過一個題的練習既解決了一類問題，又歸納出各量之間最本質的東西，今后碰到類似問題學生思維指向必定準確，很好培養了學生思維的深刻性。學生也不必陷于題海而不能自拔。綜上所述，引導學生在熟練掌握書本例題、習題的解答的基礎上，進行適當的變式訓練，對鞏固基礎、提高能力有著重要的作用。特別是，變式訓練能培養和發展學生的求異思維、發散思維、逆向思維，從而培養學生多角度、全方位考慮問題的能力，非常有助于學生提高分析問題、解決問題的能力。四、結束語要提高學生的思維能力，最根本是要培養學生的思維能力，數學教學與思維密切相關，數學能力具有和一般能力不同的特性，因此，發展數學思維能力是數學教學的重要任務，我們在發展學生數學思維能力的努力中，不僅要考慮到能力的一般要求，而且還要深入研究數學科學、數學活動和數學思維的特點，尋求數學活動的規律，培養學生的數學思維能力。除了培養學生的思維能力外，還有一點也很重要，就是學生聽課的注意力，若學生注意