1、?一、單項選擇題（每小題 3分，共15 分）1.3.142和3.141分別作為的近似數具有（）和（）位有效數字.? A. 4 禾口 3? B? C. 3 禾口 4? D2f X dx2.已知求積公式11f 12 1A£) -f，則 A =()111A .6 ?B. 3 ? c 2 ? D. 33.通過點 Xo,yo , X1,y1的拉格朗日插值基函數Io X,11滿足（?）? A. 1o « = 0，0? B 1oXo=0,11X11? C. 1o Xo = 1,1 ? D 1o Xo=1,11X14.設求方程f X0的根的牛頓法收斂，則它具有（？?？）斂速。? A.超線性

2、? B.平方? C 線性? D 三次5.用列主元消元法解線性方程組x1 2x2 X302X, 2x2 3x3X, 3x22?作第一次消元后得到的第 3個方程（？）.? AX2 X3 2 ? B 2X21.5x33.5? C2X2 X3 3 ? D X20.5x31.5單項選擇題答案1.A2.D3.D4.C5.B二、填空題（每小題 3分，共15 分）1.設 X（2,3, 4）T則 11 X 11 ? ? IIX II2? ?%x2. 一階均差f Xo,X1? ?3.已知n3時，科茨系數Co38'C13C23338，那么C3?4.因為方程0在區間1,2上滿足? ?所以f x0在區間內有根。

3、5.取步長h填空題答案o.1,用歐拉法解初值問題_y2X1 1的計算公式?729f Xof X12.?XoXi13. ? 8Yk 1Yk1.10.11 0.1k 2,k0,1,2L5.?1012y21 X4.?的一組1C 50.2三、計算題（每題15分，共60 分）求分段線性插值函數,1.已知函數Yo并計算f 1.5的近似值.數據:計算題1.答案1.?解0,11 U 0.5 10.5X0 1 1 0 ?%xX 1,21 2X 10.5 0.20.3x 0.82 1所以分段線性插值函數為2.已知線性方程組10x1 x2 2x3x110x2 2x3x1 x2 5x34.27.28.3(1) ?寫出

4、雅可比迭代公式、高斯塞德爾迭代公式;(2)?對于初始值 X留小數點后五位數字)計算題2.答案0,0,0，應用雅可比迭代公式、高斯塞德爾迭代公式分別計算X 1 (保1.解原方程組同解變形為XiX2X30.1x20.2x3 0.720.1x10.2x3 0.830.2x10.2X2 0.84雅可比迭代公式為m 1X10.1x2m0.2x3m0.72m 1X20.1x1m0.2x3m0.83m 1X30.2x1m0.2x2m0.84(m 0,1.)高斯-塞德爾迭代法公式m 1Xm 1X2m 1X3C . m c c m0.1x20.2x3c 4 m 1 c c m0.1X10.2X3m 1m 10.

5、720.830.2x10.2x20.84?(m 0,1.)X 1用雅可比迭代公式得 入0.720 00,0.830 00,0.840 00用高斯-塞德爾迭代公式得X10.720 00,0.902 00,1.164 403-3.用牛頓法求方程X 3x之間的近似根（1）請指出為什么初值應取2?（2）請用牛頓法求出近似根, 計算題3.答案0.0001.X3 3x3X212x240，故取X 2作初始值迭代公式為XnXn 1Xn 1Xn 1XnX12 33X03221X3方程的根X1.879453 131.87 9 452 11.879394.寫出梯形公式和辛卜生公式,計算題4.答案bbf X dx =

6、4解？梯形公式aX；1 3Xn 13xn21（或2xn31 1)3 x21 1 n 1,2,1.888891.87939X2X321.879451.88 8 892 1X2I并用來分別計算積分0.00006 0.0001 ?0丄dx01 Xf b?應用梯形公式得1 dxx010.75?x dx?辛卜生公式為 ab""6af aa b4f （丁）fb ?應用辛卜生公式得1丄dx01 x1 04f（）1廠2536 ? ?1 61 0?四、證明題（本題10 分）3次代數精確度得A13，3。所求公式至少有兩次代數精確度。?確定下列求積公式中的待定系數，并證明確定后的求積公式具有證明

7、題答案2證明：求積公式中含有三個待定系數，即A1，A0，A1，將f X 1，x，x分別代入求積公式，并令其左右相等,又由于x dxhf h 3f0 hfh具有三次代數精確度。?填空（共 20 分,每題2分）1.設X 2.3149541，取5位有效數字，則所得的近似值x=?2.設一階差商?則二階差商3.設X (2,2求方程？xXif Xi，X2f X2f X|fXi,X2,X3X2Xif X2，X3fX3fX2X3X23， 1),則 |X |2 ? ?l|X|? ?1.25 0?的近似根，用迭代公式X Jx匸25，取初始值Xo那么?解初始值問題y' f（X, y）y（Xo）yo近似解的梯

8、形公式是yk 1,貝y A 的譜半徑 qCA) = ?f（X）23x 5，Xkkh,k 0,1,2,. , ?貝HfXn,Xn1 , Xn2?和Xn , Xn 1, Xn 2 , Xn 3? ?若線性代數方程組 都 ? ?,?AX=b的系數矩陣A為嚴格對角占優陣，則雅可比迭代和高斯-塞德爾迭代9、解常微分方程初值問題的歐拉Euler)方法的局部截斷誤差為 ? ?10、為了使計算y 10X 1(X 1)2（X 1的乘除法運算次數盡量的少，應將表達式改寫成?。？填空題答案1、2.3150f Xi,X2,X3X2,X3f X1,X2X3X1111.5yk 2 f Xk,ykf Xk 1,yk 16、

9、(A)晶f Xn,Xn1,Xn23, f Xn,Xn 1,Xn 2,Xn收斂10、10 -X1)二、計算題？(共75分，每題15分)1.設f(x)32X , X0X11, X2H(Xj)試求ff (Xj), j1 94 4上的三次Hermite插值多項式x使滿足0,1,2,. H (X1)f(X1)以升冪形式給出。寫出余項R(x) f(x) H(x)的表達式計算題1.答案X1、（ 1）竺X2450233 X 450125R? (2)14!16952(x4)(x1)2(x1 9(X)(打2 已知的創（X）滿足00-3 <1,試問如何利用©（力構造一個收斂的簡單迭代函數 g）3使和

10、1=機心_）菽=0, 1收斂?計算題2.答案2、由XX (X)，可得 X 3x (X) 3x,扌（X）3X）（X）3.試確定常數A , B, C和a,使得數值積分公式了必舟4/（ 一+ 4/®+0Gauss型的？有盡可能高的代數精度。試問所得的數值積分公式代數精度是多少？它是否為 計算題3.答案A C巴,B916亍,aY 5，該數值求積公式具有5次代數精確度，它是 Gauss型的4 .推導常微分方程的初值問題y' f (x, y) y(x0) y。的數值解公式:yn 1yn 1h '''-(yn 1 4yn yn 1)（提示：利用Simpson求積公式

11、。） 計算題4.答案4、數值積分方法構造該數值解公式：對方程y f（x）在區間Xn 1, Xn 1上積分,y(Xn 1) y(Xn 1)得h,對積分Xn 1f (x,y(x)dxXn 1用Simpson求積公式得Xn 1f (X, y(x)dx? xn 1QI-6- f(xn1) 4f(Xn)f(Xn 1)h/ '1 4ynyn 1)所以得數值解公式:yn1 yn1 £(yn14yn y1）5 . ?利用矩陣的 計算題5.答案LU分解法解方程x1 2x22捲 5x2 2x33x1 x2 5x33x31418205、解:A LU24三、證明題(5 分)1 .設妙F?,證明解了

12、（工）=°的Newton迭代公式是線性收斂的。證明題答案1、證明：因Xn 1Xna）,由Newt on迭達公式：a)2,故 f(X)6x2(x3f(x) (X3f(Xn) n,nf (Xn)/ 32(Xn a)0,1,得5xna c ,2 3 一 ,n 0,1,.6x2（x3 a） 6 6x1 因迭達函數（X）5x -,而6 6x又Xva,則（需）5 a（需）63故此迭達公式是線性收斂的。Xn 1 xn(X)ax3,31 0,2、填空題（20 分）（1）.設X 2.40315是真值X 2.40194的近似值，則X有?位有效數字。(2).對 f(x)X3 x 1,差商 f0,123 (

13、?。(3).設 X (2, 3,7)T,則| X |? ?nQ（n）Ck（4）.牛頓一柯特斯求積公式的系數和k 0?填空題答案(1) 3? (2) 1? ? (3) 7? (4) 1、計算題1）. （15分）用二次拉格朗日插值多項式L2（x）計算 sin0.34 的值。插值節點和相應的函數值是（0, 0）,( 0.30, 0.2955)，( 0.40，0.3894)。計算題1.答案(X Xi)(X X2)L2(X)=,= f0(X0 X1)(X0 X2)=0.333336(X Xo)(x X2)ff1(X1X0)(X1 X2)(X Xo)(X X1)f(X2 X0)(X2X1)2）. （15分

14、）用二分法求方程f（x）X30在 M，1.5區間內的一個根，誤差限10 2。計算題2.答案N 6兒 1.25x2 1.375x3 1.31252)X41.34375 X51.328125 x 1.32031253）. （15分）用高斯-塞德爾方法解方程組4X12X2X311X14X22X3182X1X25X322，取 x（0）（0,0,0）t，迭代三次（要求按五位有效數字計算）.。計算題3.答案3）迭代公式4）.（ 15分）求系數A1, A2和A3'使求積公式11 f(x)dx Af( 1)11A2f( -) A3f(-)對于次數3 32的一切多項式都精確成立計算題4.答案Ai5）.

15、（10分）對方程組A嚴3A30 A9 A2嚴A0A323xi2X210x31510x14X2X352X110x24x3821)試建立一種收斂的Seidel迭代公式，說明理由計算題5.答案?5)解：調整方程組的位置，使系數矩陣嚴格對角占優x(k 1)x2k故對應的高斯一塞德爾迭代法收斂迭代格式為x3k1w(召 2x7 o10-1( 3八104x2k) x3k)2x2k5)4x3k)8)15)取 x(0)（0,0,0）T,經7步迭代可得:X（7）(0.999 991 459, 0.999 950 326,1.000 010)T?三、簡答題(5 分)在你學過的線性方程組的解法中，你最喜歡那一種方法，

16、為什么?2)(5 分)先敘述Gauss求積公式，再闡述為什么要引入它。簡答題答案1)憑你的理解去敘述。2)參看書本99頁。、填空題(20 分)1.若a=2.42315是2.42247的近似值，貝U a有(?？位有效數字.2. ?lo(X)，l1(X)，ln(X)是以0,1, ,n為插值節點的Lagrange插值基函數，則nili(x)? i 0(?).3. ?設f (X)可微，則求方程x f(x)的牛頓迭代格式是(?).(k)Y (k 1)DV" (k) r4. ?迭代公式X BX f收斂的充要條件是?(k 1) r (k)5.解線性方程組Ax=b (其中A非奇異，b不為0)的迭代格

17、式x Bx f中的B稱為 9x1 x28(?).給定方程組X1 5X24，解此方程組的雅可比迭代格式為(?)填空題答案2. xX,3.Xn f (Xn)4.(B)k 1X19(8x2k)5.迭代矩陣,?k 1X25(4x1k)、判斷題(共10 分)1.?若 f (a) f (b)0，貝y f (x) 0 在(a,b)內一定有根。？?？ (?？)2.?區間a,b上的三次樣條函數是一個次數不超過三次的多項式)? (?)3.?若方陣A的譜半徑(A) 1，則解方程組Ax=b的Jacobi迭代法收斂。？?？ (?)4.?若 f (x)與g (x)都是n次多項式，且在n+1個互異點3昇0上f(xi) g(

18、xi)，則f (x) g(x)。? ?(?)1 x ix給出在有根區間收斂的簡單迭代法公式(判斷收斂性);x5.?用2 近似表示 e 產生舍入誤差。？?？(?？)判斷題答案1. X ? 2. X ? 3. X ? 4. V ? 5. X三、計算題(70分)1.? (10分)已知 f(0) = 1, f(3) = 2.4, f(4) = 5.2,求過這三點的二次插值基函數 l1(X)=(?)f 0,3,4 =(? )插值多項式 P2(X)=(?用三點式求得 f (4) (?).計算題1.答案由插值公式可求得它們分別為：1777勿 203-x(x 4),1x x(x 3),和1 .31215126

19、32. (15分)已知一兀方程x 3x 1.2 0。1)求方程的一個含正根的區間;2)3)計算題2. (1) f(0)1.2 0 , f(2) 1.80又f (x)連續故在(0,2)內有一個正根，x 壯X 1.2,(2)(x)(3x2 11.2) 3,max| (x)| = 1,'X (0,2)'' 八21.23xn 1 V3xn1.2 收斂f '(x)3x2 3,xn 1xn(3)3xn3xn233x 1.23.(15分)確定求積公式盡量高，并確定其代數精度.1Cf (0.5) ?的待定參數，使其代數精度?1 f (x)dx Af( 0.5) Bf(X1)計算

20、題3.答案y 3x 2y 0 x 14. （ 15分）設初值問題？ y（0）1.?（1）?寫出用Euler方法、步長h=0.1解上述初值問題數值解的公式;?寫出用改進的Euler法（梯形法）、步長h=0.2解上述初值問題數值解的公式，并求解 兒y2， 保留兩位小數。計算題4.答案4 (1) Yn 1 Yn 0.1(3xn 2yn)0.3人 1.2yn5.（ 15分）取節點并估計誤差。計算題5.答案Xo0, Xi0.5, x21,求函數x在區間0,1上的二次插值多項式P2（x），e 0.50.50.5P2(x) e00.510-(x0)10.5105 (x 0)(x0.5)2e 0.51)x(x

21、0.5)0.5八c/1? =1+2e 1)x2(e? 0 x 1 時FP2(x)| 4|x(x 0.5)(x 1)3一、填空題（每題4分，共20分）1、數值計算中主要研究的誤差有 ?和？。？2、設lj（x）（j 0,1,2L n）是n次拉格朗日插值多項式的插值基函數，則n lj(X)打(片)?j 0,1,2L n) ； j0?。3、設hdXj 0,1,2L n）是區間a，b上的一組n次插值基函數。則插值型求積公式的代數精度n為?；插值型求積公式中求積系數Aj ?且j0Aj 4、辛普生求積公式具有？?？次代數精度，其余項表達式為? ?25、f(x) x 1,則 f1,2,3,f123,4填空題答

22、案1.相對誤差？絕對誤差1, i j,2. 0, i j ? 13. 至少是n? ?blk(x)dxa ，? b-a存(叨4嚴(),(a,b)4. 3? 180 25. 1? 0、計算題1、已知函數y f（x）的相關數據由牛頓插值公式求三次插值多項式P3（x），并計算罷P（2）的近似值。計算題1.答案I/（召）f【知旳虹Aj+-2 a 丙f0011132320e23327(54/3解：差商表由牛頓插值公式:x (0,0.6)y y x 1,2、（ 10分）利用尤拉公式求解初值問題，其中步長h O.1，y（0） j計算題2.答案f (x, y) y x 1, yo 1,h0.1,yn 0.1(X

23、n 1 yn), (n 0,1,2,3,L)1,1.000000;1.000000;1.010000;1.029000;ynyoyk解：1.056100;1.090490;1.131441.3、( 15分)確定求積公式hhf(x)dx Aof( h) Af(O) 4f(h)中待定參數Ai的值（i 0,1,2），使求積公式的代數精度盡量高；并指出此時求積公式的代數精度。計算題3.答案14，2代 4h, 4=h解：分別將f（x） 1，x，x，代入求積公式，可得33 。3。令f（X）x時求積公式成立，而f（X）x時公式不成立，從而精度為4、（ 15分）已知一組試驗數據如下求它的擬合曲線（直線）。計算

24、題4.答案解：設y a5abx則可得15a15b55b31105.5于是a 2.45,b 1.25，即 y2.451.25X35、（ 15 分）（1）需要二分幾次；（2）給出滿足要求的近似根。 計算題5.答案用二分法求方程f（x）x x 1在區間1,1.5內的根時，若要求精確到小數點后二位,2x13x24x36,3x15x22x35,4x13x230x332解: 6 次；x 1.32。&（ 15分）用列主元消去法解線性方程組 計算題6.答案解:234643303243 30323525352535 25433032234623 46433032433032011/441/219011/

25、441/21903/21110002/114/11433032011823800124為 3x211x230x382x3X332,38,2.X1X2X313,8,2.1).設x* = 1.234是真值一、填空題(25分)x = 1.23445的近似值，則x*有?位有效數字。2).設 f(x)x? X 1 ,則差商(均差)f0,123 ? f0,1,2,3,4 ? o3).求方程xf(x)根的牛頓迭代格式是?A4).已知? ?, A-：_:_:_:_:_:_:_:_:- 51 ?。5).方程求根的二分法的局限性是? ?xnf(Xn)1 f'(Xn) ；4)7, 6；填空題答案Xn 11)

26、 4; ? 2) 1, 0; ? ?3) 5)收斂速度慢，不能求偶重根。、計算題1).( 15分)已知 (1)用拉格朗日插法求f(x)的三次插值多項式;求x，使f(x) 0。計算題1.答案X f 1(y) (y 4)(y 5)(y 7) (2 4)(25)(27)(y 2)( y 4)( y 5)5(7 2)(74)(72(y 2)( y 5)( y 7)(4 2)(45)(47)4(y 2)(y 4)( y 7)(52)(5 4)(57)解：用反插值得令y 0得X f '(0)5)832). (15分)試求xi，x2使求積公式11 f(x)1-f ( 1) 2f(X1) 3f(X2)

27、 “3的代數精度盡量高，并求其代數精度。計算題2.答案解：由等式對f(X) hX,/精確成立得:2x1 3x212x1 3x21解此方程組得?又當 f(X) x'時？?？左邊右邊?此公式的代數精度為 2用梯形法解常微分方程初值問題3).( 15 分)取步長 h=0.2,計算題3.答案3 )梯形法為yn1 yn0.2(2Xn5yn)(2Xn 15yn 1)y1y40.62667, y0.648405(15分)用列主元消去法求解方程組4). 的值.計算題4.答案12X1 3x218x1 3x2X1xX33x3153x3615并求出系數矩陣A的行列式detA解:先選列主元i12，2行與1行交

28、3行與2行交換換得IS00117IS22回代得解X3 3,X2 2，Xi.det A1;行列式得18121227 1816 75）. （15分）用牛頓（切線）法求/3的近似值。取計算題5.答案5）.解：歩是f（X）Xn 1Xn1515 ,6消元-1566Xo=1.7,計算三次,保留五位小數。3 0的正根，f'（x）2x，牛頓迭代公式為泊32Xn ，?即?1231 132351732051.73205取xo = 1.7,列表如下:Xn1 T 卻 0,1,2,.)4、設 lj（X）（j0,1,2L n）是n次拉格朗日插值多項式的插值基函數，則一、填空題（每題4分，共20分）1、辛普生求積公

29、式具有22?次代數精度，其余項表達式為?2、f（X）x21,貝y f123,f123,43、設 lj（X）（j為?；0,1,2L n）是區間a，b上的一組n次插值基函數。則插值型求積公式的代數精度nAj插值型求積公式中求積系數 Aj ?且j 0?cnI (x). .lj(x)j( i丿？?？ j 0,1,2L n) ； j0?。5、按四舍五入原則數 2.7182818與8.000033具有五位有效數字的近似值分別為 ? 和?填3?罟（叨屮（），（a,b）1?01, i0, iI J / (i, j j0,1,2L n)? 11b至少是n?a Ik (x)dx ? b a 5、2.7183 ?8

30、.0000、計算題1、（ 10分）已知數據如下:114l.S2.22.60,33104730,2370.2240.15S1y 求形如 a bx擬合函數。計算題1.答案bx,令 zy5Xii 159, x2i 1解此方程組得1 二則z y517.8,i 1917.8bx516.971,ZiN 35.902i 116.97135.3902擬合曲線為:2.05353.0265解：y 2.0535 3.0265x2、( 15分)用二次拉格朗日插值多項式L2(x)計算sin0.34。插值節點和相應的函數值如下表。計算題2.答案解：過點 gfo)，(Xl, fl)，(X2,f2)的二次拉格朗日插值多項式為

31、代值并計算得3、( 15 分)? Sin0.34 L2(O.34) 0.33336。利用改進的尤拉方法求解初值問題，其中步長h 0.2y y x, y(0) 1.(0,0.8)計算題3.答案解:ynynynynh(ynXn),2(yn Xn) (Yn 1Xn1),(n 0,1,2,3,L )y。 1,yk 1.000000;1.240000;1.576800;2.031696;2.630669;3.405416.113X0-，洛-,x2-,4、( 15分)已知 424(1)推導以這三點為求積節點在0,1上的插值型求積公式1 1 10f(x)dx Ajq)Af(2)A2f(3)4 -1 2X d

32、x0 。(2)指明求積公式所具有的代數精度；(3)用所求公式計算 計算題4. (1)答案計算題4. (2)& (3)答案rz 34(2)所求的求積公式是插值型，故至少具有2次代數精度，再將f(x) X，X代入上述公式，可得故代數精度是3次。2dx0（3）由（2）可得:2 ($ 畤1。（1）所求插值型的求積公式形如:11113故 0f(x)dx 32f(4)f(2)2 f (-)5、（ 15分）討論用Jacobi和Gauss-Seide迭代法求解方程組Ax=b的收斂性，如果收斂，比較哪3種方法收斂快。其中計算題5.答案解:?三、簡述題（本題 10分）敘述在數值運算中,誤差分析的方法與原則

33、是什么?簡述題答案解：數值運算中常用的誤差分析的方法有：概率分析法、向后誤差分析法、區間分析法等。2）要避免兩近數相減；3）要?誤差分析的原則有：1 ）要避免除數絕對值遠遠小于被除數絕對值的除法； 防止大數吃掉小數：4）注意簡化計算步驟，減少運算次數。、?填空（共25分，每題5分）A1、,貝U A 的譜半徑=? 2、設f(x)23x5, xkkh,k O,1,2,.貝 y f xn , xn 1, xn 2 ?和f Xn,Xn1, Xn 2 , xn 3? ? 3、若x = 1.345678, |x x| 0-00041L，則x*的近似數x具有?位有效數字.? 4、拋物線求積公式為? ?2? 5、設f（x）可微，求方程x f（X）根的牛頓迭代公式是?填空題答案1、（A）爲；2、 fXn,Xn 1,Xn 2 3, f Xn , X. 1 , X. 2 , X. 30 .4；ba f(x)dxf(a) 4f6f(b)Xn 1XnXnf2(Xn)1 2f(Xn)f'(Xn)、計算題1). (15 分)3f (x) X2,X017,X11,X21 9(1)試求f(x)在4'4上的三次Hermite插值多項式H (x)使滿足H(Xj)f(Xj),