1、一、單項選擇題（每小題3分，共15分）1.3.142和3.141分別作為n的近似數具有（）和（）位有效數字.A . 4 和 3B . 3 和 2C. 3 和 4D . 4 和 42 1 . r 211 f xdx ： f 1 Af(-) -f(2)2 .已知求積公式636 ，則A =()1112A.6 B, 3 C. 2 d, 33 .通過點（x0,y0 L）的拉格朗日插值基函數lglMx）滿足（）lo (xo )= 0 l1 (x1 ) = 0 bl0( x0 ) = 0 l1 ( K )=1C. l0(x0)=1, l1(x1 尸1D l0(x。) = 1l1(x1 ) = 14.設求方程

2、f（x）=0的根的牛頓法收斂，則它具有（）斂速。A.超線性 B.平方 C,線性D,三次x1 2x2 x3 = 02x1 2x2 3x3 = 35.用列主元消元法解線性方程組x1 - 3x2 =2作第一次消元后得到的第3個方程（）A. H+x3=2B-2x2+1.5x3 =3.5C -2x2 “3=3D x2 -0.5x3 = -1.5單項選擇題答案1 .A 2.D 3.D 4.C 5.B得 分評卷 人、填空題（每小題3分，共15分）1.設 X=(2,3T)T,則 |X|1 =IIX |2 =2 .階均差f（Xo,X1尸3 .已知n=3時，科茨系數。03）=："）=四=1,那么C33）

3、=,所以f（x）= 0在區間4 .因為方程f（X）=X-4+2' =°在區間1,2上滿足 內有根。y =X2 y5 .取步長h =0.1 ,用歐拉法解初值問題1y（1）=1 的計算公式 填空題答案f Xo -f Xi1.9和犧2.xo - xi3.4.5.yk 1 =yk |1.1i Iy。=10.12(1 +0.1k )；,k=0,1,2L評卷人y1.已知函數再01210 50.2求分段線性插值函數，并計算 f "的近似值.121 +x的一組數據:三、計算題（每題15分，共60分）計算題1.答案X 1X 001 %x ： 一、10.5=1-0.5x1 .解 X 0

4、,1，0-11-0q/ x -2x -1y|12 %x =0.5 、0.2 =0.3x 0.8xu，2，1 -22-1所以分段線性插值函數為0/1 -0.5x x：=0,l% x 二0.8 -0.3x x 1,2%1.5 =0.8 -0.3 1.5 =0.3510x1 -x2 -2x3 =7.2T +10x2 -2x3 =8.32 .已知線性方程組I-x2+5x3 =4.2(1) 寫出雅可比迭代公式、高斯-塞德爾迭代公式；(2)對于初始值X()= (0,0,0 ) 應用雅可比迭代公式、高斯-塞德爾迭代公 式分別計算X 1)(保留小數點后五位數字).計算題2.答案1.解原方程組同解變形為x1 =

5、0.1x2 0.2x3 0.72x2 =0.1為-0.2x3 0.83x3 =0.2為 0.2x2 0.84雅可比迭代公式為x1 m 1 =0.僅2m 0.2x3m0.72x2m 1 =0.僅1m -0.2x3m0.83x，*)=0.2xr )+0.2x，m)+0.84 (m =0,1.)高斯-塞德爾迭代法公式x1m1 =0.1x2m 0.2x3m0.72x2m 1 =0.1x1m1 -0.2x3m0.83x，*)=0.2xF+)+0.2x2m*)+0.84 (m=0,1.)用雅可比迭代公式得 X 3=(0.720 00，0.830 00，0.840 00)用高斯-塞德爾迭代公式得X(1)=(

6、0.720 00，0.902 00，1.164 40)3.用牛頓法求方程x3 -3x -1 = 0在1,21之間的近似根(1)請指出為什么初值應取2?(2)請用牛頓法求出近似根，精確到 0.0001.計算題3.答案f 2 =1.033.解 f (x )=x -3x1, f(1)=-3<0一.一 2 一 一.一(x )=3x2 -3f “(x )=12xf(2)=24>0,故取 x=2作初始值迭代公式為xn = xn 1f xn 1f xmxn 13xn 13xn 1 -13x2 1-3n =1,2,2 33 1x0 =2x1 =r =1.88889322 -1X22 1.88889

7、3 11.879453 1.888892 -1x2 -X1 =0.00944 0.00012 1.879453 1x31.87939x3 -x2| 0.00006 ：二 0.00013 1.87 9 452 -1方程的根X 1.879394.寫出梯形公式和辛卜生公式，并用來分別計算積分計算題4.答案梯形公式f (xdxba?(a 1f (b )2應用梯形公式得1 dx1 x111:=0.75 2 10 1 1bf f (x dx辛卜生公式為a應用辛卜生公式得1 1 dx01 xb aa b6 f a 4f( 2) fb1 1 dx01 x1 -01 0工f 04f()f 1 621111二-4

8、 6 10111 122536得 分評卷 人四、證明題（本題 10分）確定下列求積公式中的待定系數，并證明確定后的求積公式具有3次代數精確度證明題答案h小 x dx = Af -hAof 0 Af h2:求積公式中含有三個待定系數，即A，A0，A ,將f （x） = 1,x,x分別代入求積公式,并令其左右相等，得A±+Ao +A =2h-h(Ad -A) =022 3h2(A1 +A1) =_h3、 一 31Al=A =h 得34hAo :3 o所求公式至少有兩次代數精確度。又由于h3h3h3xdx=3-h3h33h4h4h4.xdx = 3-h3h33hh4hf xdx -f -h

9、 :： -f 0 ：-f h2333具有三次代數精確度。填空（共20分，每題2分）1.設x* = 2.3149541.,取5位有效數字，則所得的近似值x=f xi,x2 =2.設一階差商f x21-4 Q=3x2 - x12-1fx2，x3 =f x3 f x2 _ 6-1x3 - x24-2則二階差商f "2'"=3 .設 X =(2,-3,"T,則 |Xb , |X|上 。4 .求方程x2-x-1.25=0的近似根，用迭代公式x=Jx+25 ,取初始值x°=1 那么x1二。y' = f(x,y)5,解初始值問題y(x°) =

10、y0 近似解的梯形公式是y k41ft°111)A =6、5 1人則A的譜半徑"=。人設 f(x)=3x2+5, xk=kh, k=0,1,2,.,，則 fxn，% 書，4 七=和f 乂名2名3 l = o8、若線性代數方程組 AX=b的系數矩陣A為嚴格對角占優陣，則雅可比迭代和高斯塞德爾迭代都。9、解常微分方程初值問題的歐拉(Euler)方法的局部截斷誤差為 10、為了使計算12y =10 2x -1 (x -1)233(x 1)的乘除法運算次數盡量的少，應將表達式改寫成填空題答案1、2.31502、3、4、f X1,X2 , X3 =1.5f X2,X3 - f X1,

11、X22 - -311x3 - xi4 -166、：(A) = 6h尸5、yk 2 f Xk,ykf Xk 1,yk 17、f k , Xn +,Xn /=3, f 反n , Xn 4,Xn 平,Xn 電】=0 g 收斂 9 O(h )10、1 y =10 x -11 +12 (x1)l(x-1)二、計算題(共75分，每題15分)219f (x) = X , X0 = , X1 =1, X2 = 一1 .設44(1)試求f(X)在1,9/ 4-上的三次Hermite插值多項式H(x )使滿足H(Xj) =f (Xj), j =0,1,2,H (Xi) = f (Xi)H”)以升嘉形式給出。(2)

12、寫出余項 R(x)= f(x) H(x)的表達式計算題1.答案14 3 263 2 2331:.X = - X 丁X 丁x -1、 (1)22545045025一 5x -1)2(x -：)，- -(x)(：，：) 44 419-1R x =2(x-)(2)4!1642,已知了二3的磯I)滿足小"I",試問如何利用0m構造一個收斂的 簡單迭代函數甲，使"二小1收斂?計算題2.答案2、由x =(x) 可得 x_3x = 邛(x)_3x1 .x = 一 ( (x) 3x) = (x)211. i 11.，、中(x) =-( (x) 3),故,(x)|= 3 5(x)-

13、31 I .人平=中(人)=一一 (人)3xk , k=0,1，. 收斂。23 .試確定常數A, B, C和a,使得數值積分公式有盡可能高的代數精度。 試問所得的數值積分公式代數精度是多少？它是否為Gauss型的？ 計算題3.答案3、A C 10 c 16A =C, B ,a 二二99125 ,該數值求積公式具有5次代數精確度，它是 Gauss型的y' = f(x,y)4 .推導常微分方程的初值問題J(Xo) = V。 的數值解公式:h / '，、yn 1 =yn,3(yn 1 4yn 丫口)(提示：利用Simpson求積公式。) 計算題4.答案4、數值積分方法構造該數值解公式

14、：對方程y =f(x)在區間 b,%書上積分,xn 1卜y(xn 1) =y(xn1). f (x,y(x)dxxn-,記步長為h,xn 1,f(x,y(x)dx對積分仆匚用Simpson求積公式得xn±2h r .T h .f(x,y(x)dx： % Mxn。4f(xn) “xn”：/1 4yn -)h ,yn 1 = yn 1 (yn 1 4yn y 1)所以得數值解公式：-3-為 2x2 3x3 =142x1 5x2 2x3 =18 I5.利用矩陣的LU分解法解方程 組 口" +x2 +5% =20計算題5.答案5、解：?1JL令 Ly =b得 y =(14,-10,

15、-72)T, Ux=y 得 x=(1,2,3)T .三、證明題(5分)1.設 網式”端,證明解，(工)=0的Newton迭代公式是線性收斂的證明題答案證明：因 f (x) =(x3a)2,故 f (x) =6x2(x3a),由Newton迭達公式2"(；小=0,1,得xn 1 = xn_ (x3 -a)2 =5xn6%(x3 -a)6a6x2,n -0,1,.因迭達函數 中(x)=5x十斗，而中'(x)=5ax; 6 6x26 3又x =3/a,則 呼(Va") = (3/a)=0, 6 36 3 2故此迭達公式是線性收斂的。、填空題(20分)* 一 . . 、 一

16、、.設x = 2.40315是真值x = 2.40194的近似值，則x有 位有效數字。(2) . 對 f(x)=x3+x+1 差商 f0,1,2,3=()。(3) . 設 X=(2,T7)T,則 |X|卡。n' Ckn)=.牛頓柯特斯求積公式的系數和 y 。填空題答案(1) 3(2) 1(3) 7(4) 1二、計算題1) . (15分)用二次拉格朗日插值多項式L2(x)計算sin0.34的值。插值節點和相應的函數值是(0, 0) , (0.30, 0.2955) , ( 0.40,0.3894)。計算題1.答案(x-x/x-%) (x -xc)(x -x2) f(x x°)(

17、xx1)L2(x) 一f0f1f2(x0 -x1)(x0-x2)(x1- x0)(x1-x2)(x2- x0)(x2- x1)1、=0.3333362) . (15分)用二分法求方程f(x)=x3-xT=0在1.0,1.5區間內的一個根，誤差限名二10匚計算題2.答案N =6x1 =1.25x2 =1.375x3 =1.31252) x4 =1.34375 x5 =1.328125 x6 =1.32031254x1 +2x2 + x3 = 11x1 4x2 2x3 =183) . (15分)用高斯-塞德爾方法解方程組l2x1 + x2 + 5x3 = 22 ,取x(0) =(0,0,0)T ,

18、迭代三次(要求按五位有效數字計算).。計算題3.答案3)迭代公式x制(k書)«x2= 1(11.2x2° -x3k) 4=1 (18. x，1) -2x3k)4= 1(22-2x1(k1) -x2k1) 5k000012.75 13.8125 12.537520.209383.17893.680530 240432.5997318394). (15分)求系數A,a2和A3,使求積公式1f f(x)dx «Af(-1)+A2 f (-1)+A3 f (1)對于次數M2的一切多項式都精確成立 33計算題4.答案A1A2A3 =211- A1A2-2=0331A %4)

19、2A2 =011AA2cA3993 A3.5). (10分)對方程組3x1 2x2 10x3 =15 « 10x1 -4x2 - x3 =52x1 +10x2 -4x3 =8試建立一種收斂的Seidel迭代公式，說明理由計算題5.答案5)解：調整方程組的位置，使系數矩陣嚴格對角占優10x1 -4x2 -x3 =52x1 10x2 -4x3 =83xi 2x2 10x3 =15故對應的高斯塞德爾迭彳t法收斂.迭代格式為x；"110(.(k)(k)4 x23 x35)x2k1) =1(Nx1(k1)-4x3k) 8)1015)k1) = 1 (-3x(k1) .2x2k1)10

20、取x(0) =(0,0,0)T，經7步迭代可得：x* x=(0.999 991 459, 0.999 950 326,1.000 010)T .三、簡答題1) (5分)在你學過的線性方程組的解法中，你最喜歡那一種方法，為 什么？2) (5分)先敘述Gauss求積公式，再闡述為什么要引入它。一、填空題(20分)1 .若a=2.42315是2.42247的近似值，則2有()位有效數字.2 . l0(x), l1(x)，ln(x)是以0,1，n為插值節點的Lagrange插值基函數，則nJli(x)=T ().3 .設f (x)可微，則求方程x= f(x)的牛頓迭代格式是().(k 1)(k)4 .

21、迭代公式X -BX f收斂的充要條件是 。(k 1)(k)5 .解線性方程組Ax=b (其中A非奇異，b不為0)的迭代格式x = Bx + f9x1 - x2 =8-中的B稱為().給定方程組HL5%=-4,解此方程組的雅可比迭代格式為()。填空題答案2.xXn 1 二 Xn3.Xn - f(X)1 -f (Xn)4. P(B)<1Xik14(8 x2k)9得 分評卷 人5.迭代矩陣,xk 1 =1(4 x，) 5二、判斷題(共10分)1. 若f (a) f (b) <0 ,則f=0在(36內一定有根。2. 區間a,b上的三次樣條函數是一個次數不超過三次的多項式。 ()3. 若方陣

22、A的譜半徑P(A)<1 ,則解方程組Ax=b的Jacobi迭代法收斂。 ()4. 若f (x)與g (x)都是n次多項式，且在n+1個互異點xiT上f (xi) =g(xl ,則 f (x)三 g(x)。()1 x 1x2V5. 用 2 近似表示ex產生舍入誤差。判斷題答案1. x 2. X3. X4. V5. x得 分評卷 人三、計算題(70分)1.(10 分)已知 f(0) = 1, f(3)=2.4, f(4) = 5.2,求過這三點的二次插值基函數li(x)=(),f0,3,4=(),插值多項式P2(x)=(計算題1.答案),用三點式求得f (4)=().由插值公式可求得它們分別

23、為：1 z 7777203一x(x -4), ,1 + x + x(x -3)，和1. 3121512632. (15 分) 已知一兀方程 x -3x-1.2=0。1)求方程的一個含正根的區間;2)給出在有根區間收斂的簡單迭代法公式(判斷收斂性);3)計算題給出在有根區間的Newton迭代法公式。2.答案2.(1)f(0)=1.2<0 , f(2)=1.8>0 又f(x)連續故在(0,2)內有一個正根,(2),_21.x = 3?3x +1.2, $ "(x) = (3x +1.2) 3, max)|*"(x)| 三2 < 1,二 xn由=3/3xn +1

24、.2收斂1.23f '(x) =3x2 -3,%+=% - xn；*1，2 (3)3xn -33. (15分)確定求積公式1Lf(x)dx -Af(-5)+Bf(X1)+Cf(0.5)的待定參數,使其代數精度盡量高，并確定其代數精度 計算題3.答案3. 假設公式對f (x) =1,x,x2,x3精確成立則有' A+B+C=2-0.5A + Bx1 +0.5C =02 20.25A+Bx12 +0.25C =3-0.125A Bx3 0.125C =0“、一，42解此方程組得A=C =4,B=233求積公式為1 1!”x)dx -4 f(-0.5) -2f (0) +4f (0.

25、5),當f (x) =x4日t,21左邊=2右邊=1左邊，右邊.代數精度為&564. (15分)設初值問題V = 3x +2yy(0) = 10 ： x ：: 1(1)寫出用Euler方法、步長h=0.1解上述初值問題數值解的公式；(2)寫出用改進的Euler法(梯形法)、步長h=0.2解上述初值問題數值解的公式，并求解必，丫2,保留兩位小數。計算題4.答案4.(1) yn+=yn +0.1N +2yn)=0.3% +14 yn 1 = yn 022(3% 2yn) 3(xn 0.2) 2yn.1=yn 0.1(6xn 2yn 2yn1 0.6)333yn 1 : yn" -

26、xn '2n 4n 40、/口333 63 33迭達信 y1 = 十 =1.575, y2 = 十 = 2.5851 2 4022 40 4 0.2 405. (15分)取節點x0=0,x1=0.5, x2=1,求函數y=e-在區間0,1上的二次插值多項式P2(x),并估計誤差計算題5.答案_0.5_0.5,e 一 e 一 e 一 10.5.0 e - 11 - 0.50.5 - 0 /p2 (x) = e - (x - 0) - (x - 0)( x - 0.5)0.5 - 01 - 0=1+2(e°5 -1)x 2(eJ _2e°5 1)x(x -0.5) 工一

27、I "x ,、 f f) 八y =-e ,M3=maxy =1,e -p2(x)=x(x -0.5)(x -1)x513!0<x<1Bt 5 x-p2(x)|(x-0.5)(x-1)|一、填空題(每題4分，共20分)1、數值計算中主要研究的誤差有 和。2、設lj(x)(j=0,1,2"m)是n次拉格朗日插值多項式的插值基函數，則n' lj(x);"3X(i, j =0,1,2|n) . jm j )o3、設lj(x)( j =0,1,2"n)是區間a，b上的一組n次插值基函數。則插值型求積公式的代數精度為 ;插值型求積公式中求積系數

28、A=；且 n“ Aj =V O4、辛普生求積公式具有一 次代數精度，其余項表達式為 O5、 f(x)=x2+1,則 f1,2,3=, f1,2,3,4 = 0填空題答案1.相對誤差絕對誤差1,i =j,2. 0,i=j3. 至少是nblk(x)dx ab-a4. 3b -a (b1802a）4f（4）（），（a，b）5. 10二、計算題1、已知函數y=f（x）的相關數據I0I23出0123x = /S)13927，一一P3 = P（-）,，由牛頓插值公式求三次插值多項式 P5（x）,并計算 2的近似值。計算題1.答案p3(x) - N 3( x)=4 328x -2x 一x 1,14 1 31 23 3(2)=3(2) -2(2)38 13(2) 1=2解：差商表/U)力花國山為+Jl/T/t,再HJ0011132229623327864