1、廣東省實驗中學2020屆高三年級第三次階段考試數學(文科)-12 -本試卷共4頁，考試時間120分鐘滿分150分一、單項選擇題：本大題共21 .已知集合A x|xA. (1,2)2 .已知復數z(1 i) 3A.第一象限3 .已知向量a x, y ,bA. 14 .已知 a b 1,0 cc cA. a b5分，共60分.請將答案填涂在答題卷上Z |2x 1,則 A B ()C. 1,2D. 1,2則復數z的大內其數 所對應的點在 ()C.第三象限D.第四象限()12個小題，每小題3x 2 0, B x B. (1,2i ,其中i為虛數單位,B.第二象限1,2 ,且 a bB. 31 ,貝U(

2、)c c8, ab ba9, 3,則|a 2b等于C. 4C. al0gbe bloga cD. 5D. logac logbc5.某商場一年中各月份的收入、支出情況的統計如圖所示， 下列說法中正確的是()2至3月份的收入的變化率與 11至12月份的收入的 變化率相同；支出最高值與支出最低值的比是6:1;第三季度平均收入為50萬元；利潤最高的月份是 2月份。A.B.C.D.2m n6. m 2sin18，若 m n 4,則 2cos2271()A. 1B. 2C. 4D. 87.某同學用“隨機模擬方法”計算曲線y ln x與直線x e, y0所圍成的曲邊三角形的面xi和10個在區間0, I上的

3、積時，用計算機分別產生了10個在區間I, e上的均勻隨機數均勻隨機數yi(i N*,1 i 10),其數據如下表的前兩行.x2.501.011.901.222.522.171.891.961.362.22y0.840.250.980.150.010.600.590.880.840.10In x0.900.010.640.200.920.770.640.670.310.80由此可得這個曲邊三角形面積的一個近似值為()3412A. (e 1)B. (e 1)C.55(e 1)2D. - (e 1)38 .正方體ABCD三等分點，平面2A.39 .直線l過拋物線AiBiCiDi的棱長為2,點M為CC

4、i的中點,BMN交AA1于點Q,則AQ的長為點N為線段DD1上靠近D1的 )m, n,則2y11等于n4x的焦點F且與拋物線交于 A,1D.3B兩點，若線段 AF, BF的長分別為1A.一4C. 1D. 210 .函數f11 .在 ABC 中,AB 2,CA. 2"12 .已知離心率為 則雙曲線的離心率A. (1詆二、填空題(每題B.一,則 AC63、7V3BC的最大值為13 .己知數aa2a3e,焦點為F1,F2的雙曲線e的取值范圍為C. 4.7C上一點P滿足sin )D.PF1F2 e5、7 sinPF2F10,B.(1,1 3C. (1,2)D.(1,12)5分，滿分列an為3

5、, a4a520分，請將答案填在答題卷上)等比數列，Sn為其前a66,貝U S12n項和N*14 .己知直線l與正方體ABCD AB1C1D1的所有面所成的角都相等，且lBB1D1D H ,則l與平面BB1D1D所成角的正切值是 .15.在 ABC中，角A, B, C所對的邊分別為 a, b, c,若2sinAsinB cos 2B C ,則 對任意的n 2,n N, an ,bn,Cn都必須滿足 .16、若定義在 R上的函數y f x ,其圖像是連續不斷的，且存在常數k(k R)使得f x k kf x0對任意實數 x都成立，則稱y f x是一個“ k特征函數”.則下列結論中正確命題序號為

6、.f x 3x是一個“ k特征函數"；f x x 3不是“k特征函數”；f x 0是常數函數中唯一的“ k特征函數”；“I特征函數”至少有一個零點；3三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據要求作答。（一）必考題：60分。17 .（本小題滿分12分）各項均不為零的數列an前n項和為Sn ,數列na2前n項和為Tn ,且a1 2工 S：（n 1,2,3,）.求a2的值；（2）求數列an的通項公式.18 .（本小題滿分12分）某高校為了制定培養學生閱讀習慣，指導學生提高閱讀能力的方案，需了

7、解全校學生的閱讀情況，現隨機調查了200名學生每周閱讀時間X（單位：小時圖.（1）求這200名學生每周閱讀時間的樣本平均數X和中位數a （a的值精確到0.01）;（2）為查找影響學生閱讀時間的因素，學校團委決定從每周閱讀時間為6.5,7.5）,7.5,8.5）的學生中抽取9名參加座談會.（i）你認為9個名額應該怎么分配？并說明理由；（ii）座談中發現9名學生中理工類專業的較多.請根據200）并繪制如圖所示的頻率分布直方名學生的調研數據，填寫下面的列聯表，并判斷是否有95%的把握可以認為學生閱讀時間不足（每周閱讀時間不足 8.5小時）與“是否理工類專業”有關?閱讀時間/、足8.5小時閱讀時間超過

8、8.5小時理工類專業4060非理工類專業K2n ad bcabcdacbda b c d).附:臨界值表:P(K2>k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82819 .(本小題滿分12分)如圖，在直三棱柱 ABC A1B1C1中，E , F分別為 ACi,BC的中點，C1FAB, AB BC AA1 2.求證：C1F 平面ABE;(2)求三棱錐E ABC1的體積.20 .(本小題滿分12分)1 3已知函數f(x) sin x ax x .6求函數f (x)在點(0, f(0)處的切線方程

9、；(2)若f(x)存在極小值點x1與極大值點x2,求證：x1 2a x2 2.21 .(本小題滿分12分)22設橢圓M:% 2 1(a b 0)的離心率與雙曲線 x2 y2 1的離心率互為倒數，且內切于圓 x2 y2 24。求橢圓M的方程；(2)已知R(x0,yO)是橢圓M上的一動點，從原點22。引圓R:(x Xo)(y y°)8的兩條22切線，分別交橢圓M于P、Q兩點，直線OP與直線OQ的斜率分別為k1,k2,試探究 OP OQ 是否為定值并證明你所探究出的結論。(二)選考題：共10分。請在第22、23題中任選一題作答，多做，按所做的第一題計分。22. (10分)選修4-4:坐標系

10、與參數方程_x 2 t cos ,在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為(t為參數).以坐標原點y tsin為極點，x軸非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為2(4 5sin2 ) 36.(1)求l和C的直角坐標方程；(2)設P( 2, 0), l和C相交于A,B兩點，若|PA| |PB| 4,求sin 的值.23. (10分)選修4-5：不等式選講設函數f x k x 2x 1.(1)當k 1時，求不等式f x0的解集；(2)當x (0,)時，f x b 0恒成立，求k b的最小值.數學(文科)參考答案一、單項選擇題：本大題共12個小題，每小題 5分，共60分.請將答案填涂在答題

11、卷上1-12DADCABADCBCD二、填空題(每題 5分，滿分20分，請將答案填在答題卷上)13 . 4514. 2215. anbncn16.三、解答題：共70分。17 .(本小題滿分12分)解：(I)因為 & 2,Tn S：(n 1,2,3,),所以 4 2a2 (2 a2)2 . 2 分所以a2 4 ,或a2 0 (舍). 4分(II )因為 Tn S2(n 1,2,3,)，所以 丁 S:/n 2,3,).所以 na； (Sn Sn1)an (n 2,3, ) 6 分因為 an o,所以 nan & Sn 1 n(Sn Sn1) (n 2,3,)可得：(n 1)an 1

12、 Sn1 Sn(n 2,3,) 8 分一得： * 0ns 2), 10分n 1 n ')故家 詈 2, (n 2), an 2n, (n 2) 11分當n 1時，上式也成立，所以 an 2n n N*. 12分方法2：因為 Tn Sn2(n 1,2,3,)，所以 Tn1 S：1(n 2,3,).所以 na2 (Sn Sn 1)an (n 2,3, ) 6 分因為 an °,所以 nan & Sn 1 n(Sn Sn1) (n 2,3,) , n 1所以 Sn1(n 2). 8分n 1 n 1 n n 143c所以 Sn - S n(n 1)(n 2) , 9分n 1

13、n 2 n 32 1當n 1時，上式也成立.Sn n(n 1) (n N*)所以 anSnSn 12n(n 1) 11分當n 1時，上式也成立，所以 an 2n n N* 12分18 .(本小題滿分12分) 解：(1)該組數據的平均數X 6 0.03 7 0.1 8 0.2 9 0.35 10 0.19 11 0.09 12 0.04 9 ？分因為 0.03 0.1 0.2 0.35 0.68 0.5,所以中位數 a 8.5,9.5),由 0.03 0.1 0.2 (a 8.5) 0.35 0.5 ,解得 a 0.5 0.33 8.5 8.99 ；4 分 0.35(2)( i)每周閱讀時間為6

14、,5,7.5)的學生中抽取3名，每周閱讀時間為7.5,8.5)的學生中抽取6名， 5分理由：每周閱讀時間為6,5,7.5)與每周閱讀時間為7.5,8.5)是差異明顯的兩層，為保持樣 本結構與總體結構的一致性，提高樣本的代表性，宜采用分層抽樣的方法抽取樣本；因為兩者頻率分別為0.1, 0.2,所以按照1:2進行名額分配. 7分(i i )由頻率分布直方圖可知，閱讀時間不足8 . 5小時的學生共有200 (0.03 0.1 0.2) 66 人，超過 8.5 小時的共有 200 66 =134 人.閱讀時間不足8.5小時閱讀時間超過8.5小時理工類專業4060非理工類專業26749分11分于是列聯表

15、為:“2 小比,200 (40 74 26 60)2K 的觀測值 k 66 134 10g004.432 3.841,所以有95%的把握可以認為學生閱讀時間不足與“是否理工類專業”有關 .12分19 .(本小題滿分12分) 【解析】(1)如圖，設D為邊AB的中點，連接ED, FD1 -D, F分別為AB, BC的中點，DF/AC,DF -AC1分 21 、_ _又. EC"/AC,EC1 -AC, DF / EC1, DF EC1 分2四邊形EC1FD為平行四邊形， C1F/ED 分又ED 平面ABE,C1F 平面ABE,分C1F / 平面 ABE.分5(2)在直三柱中CC1 AB,

16、又 CiF AB,CCi 平面 BCCiBi,CiF平面 BCCiBi,CCi CiF Ci, 分AB 平面 BCC1B1,分 7BC 面 BCC1B1,，AB BC, 分8由三角形ABC的面積為2,可得三角形 ABF的面積為1, 分9由(1)C1F平面EAB知:C1到平面EAB的距離等于F到平面EAB的距離如-VE ABCiVCi EABVF EAB VE ABF分111 _122 VE ABF - SaBF AA- 1 2 所以二棱錐 E ABC1的體積為一.1盼333320.(本小題滿分12分)(I )解:f(0) 0, f(x)1 2 cosx a x2f (0) 1 a,所以函數f(

17、x)在點(0, f(0)處的切線方程為y (1 a)x ；(II )設 g(x) f (x),則 g (x) x sin x ,設 h(x) g (x),則 h (x) 1 cosx 0,所以h(x)在(，)上單調遞增.又因為h(0) 0 ,所以在0,)上，h(x) 0 ,即g (x) 0,所以g(x)在(0,)上單調遞增.當a 1時，g(0) 1 a 0,所以在0,所以函數f(x)在0,)上是單調增函數又f(x)是奇函數，所以函數 f(x)在(當 a 1 時，g(0) 1 a 0,12g(a 1) cos(a 1) a 一(a 1)2又因為函數 g(x)在0,)上，g(x) 0,即 f (x

18、) 0,)上單調遞增，無極值點;1 ,2cos(a 1) - (a 1) cos(a 1) 102)上單調遞增，所以函數 f (x)在0,)上有且只有一個零點Xi (0,a 1)x(0, xl)xl(xl, +8)f (x)-0+f (x)極小值/可知x1是f (x)的唯一極小值點，且 x1 (0, a 1)又f (x)是奇函數，所以函數 f(x)必存在唯一極大值點，記為 x2,且x2X , 11分所以(為2a) (x2 2)2x12(a 1) 0,所以 xi 2aX22成立.12分21.(本小題滿分12分)解：(1) 雙曲線x2的離心率為貶,，橢圓M的離心率為橢圓M內切于圓x得：a2 6,c 2 6所求橢圓M的方程為:(2)設直線OP： y k1x程為：ykx,則有:kx0Vo1 k2故k1k2鳥一8x。82 x 將y kx代入24同理可得:OP24(1OQ二T2X24OQ：2 y 122x224(12224 , x y 24的半徑為r273,b 2套 3 分2務14分kzx,整理得:2 yo 121得:2421 2k22P (x/),(xo2 8)k21可得：k1k22x1242-k1 )24(11 2kl2Q