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1、第六講 行列式之性質(II)在這一講中繼續介紹兩個矩陣相乘後的行列式值應如何計算。由(5-18)及(5-19)兩式可得(6-1)由於左項是矩陣A乘上一個上三角矩陣後的行列式，利用性質5.3可求得(6-2)其中、正好是此上三角矩陣的對角線元素，且D11正好是，所以比較(6-1)與(6-2)兩式後，可得，這是一個非常重要的公式，列為一個性質如下：性質6.1 兩個同階的方陣A和B滿足(6-3)接著介紹一個基本的矩陣，稱為單位矩陣，表為I，其對角線元素都是1，而且其餘的元素皆為0，有時為了刻意表示其階數為n，而寫為In，例如：， ， (6-4)單位矩陣扮演一個很重要的角色，那就是任何同階的矩陣乘上單位

2、矩陣後，矩陣不變，即A I=A。出現了單位矩陣後，緊跟著而來的問題是：矩陣A乘上什麼矩陣才會等於單位矩陣I？答案是：反矩陣A-1！亦即A A-1 =I，要知道反矩陣的長相為何，必須先觀察底下的矩陣運算：(6-5)其中稱為矩陣A的伴隨矩陣，在這個矩陣中第j行第k列的元素不是Akj，而是Ajk。上式所依據的公式仍然是第四講所列的四個與伴隨因子相關的重要公式。顯然地，由(6-5)式可以知道，當時，在兩邊同除，則(6-6)換句話說，就是我們所稱的反矩陣，即。同樣的觀察方式，可以知道底下的運算也是正確的：(6-7)在的條件下，兩邊同除，則(6-6)此式代表矩陣的反矩陣不論是乘在前或乘在後，其結果都是單位

3、矩陣，表示式如下：(6-7)其中(6-8)應注意的是當方陣的行列式值為0時，該方陣沒有反矩陣。由於單位矩陣的行列式值為1，所以利用性質6.1的(6-3)式及(6-7)式，可求得反矩陣的行列式值，先將(6-7)式各項取行列式值如下：(6-9)利用(6-3)式可得，故得到如下的性質：性質6.2 方陣A的反矩陣行列式值為(6-10)進一步由(6-8)式可知(6-11)若兩邊同取行列式值，則(6-12)接著就是一個簡單但是常讓人犯錯的問題了，要注意上式的右項不能夠直接將數值提出行列式外，換句話說(6-13)必須利用到底下的性質：性質6.3 一個n階方陣A乘上 k倍後，其行列式值增加為原來的kn倍，即(6-14)這是因為kA代表矩陣A中之所有元素都乘上k倍，因此利用(3-3)式計算行列式值時，每一個元素都必須乘上k，使得(6-15)驗證了上面之性質，故由(6-10)、(6-12)及(6-15)三式可得(6-16)寫成如下之性質：性質6.4伴隨矩陣的行列式為 (6-17)以上從第一講至第六講所介紹的是矩陣最基本的運算與性質，這些都將被應用到矩陣處理的各種科技中，大家一定要熟記並且加以演練，從下一講開始，正式進入矩陣的各種應用，首先將介紹大家最熟悉的多元一次聯立方程組，解法雖然相同，但是在原理解釋上，將大量使用矩陣運算，繼續讀下去吧！有問題時歡迎隨時上網提出。練習6-1

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