1、掠函數的概念例1、下列結論中，正確的是()A.掠函數的圖象都通過點(0,0), (1,1)B.掠函數的圖象可以出現在第四象限C.當某指數。取1,3,:時，黑函數y=/是增函數D.當幕指數。=1時，掠函數y=x"在定義域上是減函數解析 當恭指數。=-1時，恭函數的圖象不通過原點，故選項A 不正確；因為所有的暴函數在區間(0, +8)上都有定義，且二/(OGR), y>0,所以恭函數的圖象不可能出現在第四象限，故選項B不正確；而當a=一 1時，在區間(一8, 0)和(0, +8)上是減函數，但它在定義域上不是減 函數.答案C >例2、已知暴函數f(x) = (5£+

2、1)$(7+3£-2力&£Z)是偶函數且在(0, + 8)上為增函數，求實數1的值.分析 關于掠函數y=x"(a£R, 。£0)的奇偶性問題，設。(；川、互 質)，當“為偶數時，夕必為奇數，是非奇非偶函數；當4是奇數時，y= Q的奇偶性與夕的值相對應. q解f(x)是累函數，"3 £+1 = 1, t= 1,1 或 0.7當1=0時，才)=正是奇函數； 2當= 1時，”x)= 正是偶函數； OO O當2=1時，F(x)=是偶函數，且三和二都大于0, 55 5在(0, +8)上為增函數.故 £=1 且 f(x

3、) =*或 £= 1 且 f(x)點評 如果題中有參數出現，一定要注意對參數的分類討論，尤其對題中的條件 給予足夠的重視.例3、如圖是爆函數y=/與在第一象限內的圖象，則(D. /K -1, ni>B.水一 1,0<加 1C. 一1水0,加>1解析 在(0,1)內取同一值加，作直線x=x。，與各圖象有交點，則“點低指數 大”.如圖，0<zzKl, /X-1.答案 B點評 在區間(0,1)上，幕函數的指數越大，圖象越靠近X軸；在區間(1, + 8)上，掠函數的指數越大，圖象越遠離x軸.例4、已知x2>5,求x的取值范圍.1 1錯解由于fNo,元WR,則由可

4、得x£R.O錯因分析上述錯解原因是沒有掌握掠函數的圖象特征，尤其是y=x“在 。>1和(X兩種情況下圖象的分布.正解作出函數y=x2和y=x'的圖象(如右圖所示)，易得x<0或x>l.例5、函數f(x)=(病一加一1)工蘇十?一3是黑函數，且當x£(0, +8)時，f(x) 是增函數，求瞥力的解析式.分析 解答本題可嚴格根據黑函數的定義形式列方程求出勿，再由單調性確 定m.解根據黑函數定義得mm1 = 1,解得 m=2 或 m 1,當勿=2時，F(x)=V在(0, +8)上是增函數；當R= -1時，f(x)=/3在(0, +8)上是減函數，不符合要

5、求.故F(X)=點評 掠函數y=/ （a£R）,其中。為常數，其本質特征是以森的底x 為自變量，指數。為常數（也可以為0）.這是判斷一個函數是否為黑函數的重 要依據和唯一標準.對本例來說，還要根據單調性驗根，以免增根.變式 三知y=（序+2加-2）二 +2-3是黑函數，求外的值. /Z7 1m +2/一2= 1蘇1W0,2/7-3=0"=3解得43，n23所以勿=-3, n=-乙例6、比較下列各組中兩個數的大小：33_2_2（1） 1.5" 1.75 ； （2）,； （3） （一1.2）一"（一1.25）”.解析：（1）考查募函數y=/的單調性，在第一象

6、限內函數單調遞增， 33/<,55VL（2）考查森函數y=/的單調性，同理 （3）先將負指數幕化為正指數 幕可知它是偶函數，_2_2_2_2_2_2_2; （一L2尸=1.2一手，（一1.25） 一§ = 1.25 一了，又 1 .2一？ > L25 7 , A （-1.2）-72>1.25點評：比較暴形式的兩個數的大小，一般的思路是：（1）若能化為同指數，則用氟函數的單調性；（2）若能化為同底數，則用指數函數的單調性；（3）若既不能化為同指數，也不能化為同底數，則需尋找一個恰當的數作 為橋梁來比較大小.例7、比較下列各組數的大小（1） 3一萬與一亍一8一薩一匕上分

7、析比較大小問題一般是利用函數的單調性，當不便利用單調性時，可用 。與1去比較，這種方法叫“搭橋”法.5解(1)函數y=x：在(0,+8)上為減函數， 乙55又3<,所以33一一8一5=一(篇，函數尸(在(。，+8)上為增函數，又呈,則牖)078,&從而_84_(熊點評 比較大小的題，要綜合考慮函數的性質，特別是單調性的應用，更善 于運用“搭橋”法進行分組，常數0和1是常用的參數.比較下列各組數的大小: 21 2/八2(2), (-2與-方(-Il22 jt.函數y=x一1在(0, + 8)上為減函數，又V 3J 3 3 6) 3 16； 3,2 222二%=匕°-w一廠

8、1，3? ?所以(_£<_£<(53 5例8、 已知基函數y=*(r£N)的圖象關于y軸對稱，且在(0, +)上函數值隨x的增大而減小，求滿足(3+1)一表(32a)條1勺&的范圍. JJ解函數在(0, +8)上遞減，.,.3z/7-9<0,解得水3,又加WN*,，加=1,2.又函數圖象關于了軸對稱， ，39一9為偶數，故勿=1,有(a+1) < (32a)一；.又，=X；在(-8, 0) , (0, +8)上均遞減,a+l>3 2a>0 或 0>a+1>3 2a或 a+1<0<32a,23解得U

9、水;或水一L點評（1）解決與累函數有關的綜合題時，一定要考慮暴函數的定義.（2） 掠函數y=/,由于a的值不同，單調性和奇偶性也就不同.變式 已知累函數y=x序一2勿一3 （加GZ）的圖象與x軸、y軸都無公共點， 且關于y軸對稱，求力的值，且畫出它的圖象.解 由已知，得病一29一3W0,二一lWz»W3.又,: niG Z, / ni= - 1,0,1,2,3,當加=0或%=2時，y=/3為奇函數，其圖象不關于y軸對稱，不符合題意.當R= -1或勿=3時，有y=x其圖象如圖所示.當卬=1時，其圖象如圖所示.練習一、選擇題1 .下列命題：累函數的圖象都經過點（1,1）和點（0,0）;掠

10、函數的圖象不可能在第四象 限；=0時，y=x”的圖象是一條直線；黑函數y=x當>0時，是增函 數；掠函數y=x"，當水0時，在第一象限內函數值隨x值的增大而減小.其中正確的是（）A.和 B.和 C.和 D.和答案 D2 .下列函數中，不是恭函數的是（）A. y=2v B. y= Z1 C. y=ypc D. y=x答案A3 .設 a 2, 1, k I，I， 1, 2, 3p 則使 F（x） =x"為奇函數且在 乙 J 乙（0, +8）內單調遞減的°值的個數是（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4答案A4.當x£（l, +8）時，下列函數圖象恒

11、在直線y=x下方的偶函數是（）A.B. yx C. yx D. yxx答案B5.如果暴函數y=(序一3m+3)x序一加一2的圖象不過原點，則R的取值是 )A. -B. m=l 或?=2 答案BC. m= 2D. m= 1解析由已知,m3zzt+3 = 1 希一m2W0 zo 1 或 nf 2.6 .在函數y=3, y=2f, y=x2+x, y=l (xWO)中掠函數的個數為()A. 1B. 0 C. 2 D. 3答案C解析依據掠函數的定義判定，應選C.7 .掠函數/Xx)的圖象過點(4,，那么f(8)的值為()A. 276 B. 64答案C解析 設f(x)=/ (°為常數)，將卜，

12、斗點代入得m=4°, .a=F(x)，f(8)=8-3=乎.8 .下列函數中，值域為0, +8)的函數是()A. y=2x B. y=x C. yx D. y=log.,x (a>0,且 aWl) 答案B解析根據函數圖象，選B.二、填空題1 .若某函數y=f(x)的圖象經過點(9,；),則f(25)=.答案4 5解析設 F(x)=x",則 9"=J, a=1 J乙 / 1 1/(25)=25-=-乙 2 .設黑函數y=x”的圖象經過點(8,4),則函數7=%的值域是答案0, +8)解析 由 4=8',得 o 2, .、y=芍N0.3 .如圖所示是藉函

13、數y二xa在第一象限內的圖象，已知a取±2, ± 四個 值，則相應于曲線Cl, C2, C3, C4的a依次為三。1i髭i答案 2, 1 J, -2 乙乙4 .若某函數y=F(x)的圖象經過點(2,、)，則f(25)的值是.答案5解析 設y=x",:點(2,在y=x的圖象上，,邛=2 ",故 £(25)=25；= 5.乙乙乙5 .森函數y=x" (a£R)的圖象一定不經過第 象限.答案四6 .把下列各數2彳，、|卜;，卜I； J (|,|，按由小到大的排列順序為答案即既47 .已知掠函數f(x)=x若f(a+l)<f(

14、102a),則a的取值范圍是 乙答案 3<水5解析 f(x) =x；=，=+ l)<A10-2a),a+1>0, 10-2a>0, a+1>102a.(x>0),由圖象知(0,+8)時為減函數，又f(aI a> 1» 得水5, la>3.3<X5.三、解答題211 .求函數y=x§+2/+4 (xN32)值域.1解析：設 £=,.”與一32,"22,則產=干+21+4= (t+1) 2+3. 當 t=-時，Kin = 3.，函數 y=x§+2x5+4 (xN 32)的值域為3, +oo).

15、點評：這是復合函數求值域的問題，應用換元法.2 .已知F(x)=(序+2加為序+力i,勿是何值時，f(x)是(1)正比例函數； 反比例函數；(3)二次函數；(4)黑函數.解(1)若Ax)為正比例函數，則序+加一1 = 1 m= 1.、/+2rW0(2)若/*(x)為反比例函數，則zzf+zzz1 = 1.7,，= m= - 1.川+2川關0若F(x)為二次函數,則諳+m- 1 =2.l±y/13萬+2高0' ：，m= 2 .若/U)為黑函數，則序+2%=1, .加=-1 土班。3 .已知點('區2)在募函數f(x)的圖象上，點(一2, 1在某函數g(x)的圖 象上，問

16、當x為何值時， f(x) >g(x) ； (2) fx) =g(x); (3) f(x) <g(x).%解 設f(x)=x'，由題意得：2=(鏡)0 a =2,：.fx)=x.同理可求：g(x)=x-2,在同一坐標系內作出y=f(x)與y=g(x)的圖象，如圖 所示.由圖象可知：(1)當 X>1 或 X<-1 時，f (x) >g (x).(2)當 x=±l 時，f(x)=g(x).(3)當-l<x<O 或 0<x<l 時,f(x)<g(x).4 .已知函數 y= (3 3a+2) X，-5a+5 (a 為常數).(l)a為何值時此函數為黑函數(2)為何值時此函數為正比例函數(3)a為何值時此函數為反比例函數解由題意，得燈3a+2=l,即 J-3a+l=Q解得a=笑亞，即a=%后時，此函數為黑函數; 乙乙由題意,得,a -5a+5 = 1, 且-3a+2 WO.解得a=4,即a=4時，此函數為正比例函數;（3）由題意，得,牙5a+5 = 1 a 3a+2 WO.解得a=3,即3=3時，此函數為反比例函數.5 .已知函數 y=5-2xx2 .（1）求函數的定義域、值域；（2）判斷函數的奇偶性；（3）求函數的單調區間.解析：這是復合函數問題，利用換元法令£=15 2x一片，則尸=切，（1）由15