1、2015年高考天津市理科數學真題一、選擇題1已知全集，集合，集合，則集合（ ）ABCD2設變量滿足約束條件則目標函數的最大值為（ ）ABCD3閱讀下邊的程序框圖，運行相應的程序，則輸出的值為（ ）ABCD4設，則“”是“”的（ ）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件5如圖，在圓中，是弦的三等分點，弦，分別經過點，若，則線段的長為（ ）AB3CD6已知雙曲線（）的一條漸近線過點（），且雙曲線的一個焦點在拋物線的準線上，則雙曲線的方程為（ ）ABCD7已知定義在上的函數（為實數）為偶函數，記，則的大小關系為（ ）ABCD8已知函數函數，其中，若函數恰有個零點，則的取

2、值范圍是（ ）ABCD二、填空題9是虛數單位，若復數是純虛數，則實數的值為10一個幾何體的三視圖如圖所示（單位：m），則該幾何體的體積為11曲線與直線所圍成的封閉圖形的面積為12在的展開式中，的系數為13在中，內角所對的邊分別為.已知的面積為，則的值為14在等腰梯形中，已知。動點和分別在線段和上，且，則的最小值為三、解答題15已知函數，（）求的最小正周期；（）求在區間內的最大值和最小值16為推動乒乓球運動的發展，某乒乓球比賽允許不同協會的運動員組隊參加。現有來自甲協會的運動員名，其中種子選手名；乙協會的運動員名，其中種子選手名。從這名運動員中隨機選擇人參加比賽。（）設為事件“選出的人中恰有名種

3、子選手，且這名種子選手來自同一個協會”，求事件發生的概率；（）設為選出的人中種子選手的人數，求隨機變量的分布列和數學期望17如圖，在四棱柱中，側棱底面，且點和分別為和的中點（）求證：平面；（）求二面角的正弦值；（）設為棱上的點。若直線和平面所成角的正弦值為，求線段的長。18已知數列滿足（為實數，且），且，成等差數列。（）求的值和 的通項公式；（）設，求數列的前項和19已知橢圓的左焦點為，離心率為，點在橢圓上且位于第一象限，直線被圓截得的線段的長為，（）求直線的斜率； （）求橢圓的方程；（）設動點在橢圓上，若直線的斜率大于，求直線（為原點）的斜率的取值范圍。20已知函數其中，且.（）討論的單調性

4、； （）設曲線與軸正半軸的交點為，曲線在點處的切線方程為，求證：對于任意的正實數，都有；（）若關于的方程（為實數）有兩個正實數根，求證：2015年高考天津市理科數學真題答案一、選擇題1答案：A解析過程：,所以，選A2答案：C解析過程：不等式所表示的平面區域如下圖所示，當所表示直線經過點時，有最大值，選C3答案：B解析過程：輸入；不成立；不成立成立輸出,選B4答案：A解析過程：，所以“”是“”的充分不必要條件，選A5答案：A解析過程：由相交弦定理可知，又因為是弦的三等分點，所以，所以，選A6答案：D解析過程：雙曲線（）的漸近線方程為，由點在漸近線上，所以，雙曲線的一個焦點在拋物線準線方程上，所以

5、，由此可解得，所以雙曲線方程為，選D7答案：C解析過程：因為函數為偶函數，所以，即，所以所以，選C8答案：D解析過程：由得，所以，即,所以恰有4個零點等價于方程有4個不同的解，即函數與函數的圖象的4個公共點，由圖象可知.選D二、填空題9答案：-2解析過程：是純虛數，所以，即10答案：解析過程：由三視圖可知，該幾何體是中間為一個底面半徑為，高為的圓柱，兩端是底面半徑為，高為的圓錐，所以該幾何體的體積.11答案：解析過程：兩曲線的交點坐標為，所以它們所圍成的封閉圖形的面積.12答案：解析過程：展開式的通項為，由得r=2，所以，所以該項系數為13答案：解析過程：因為，所以，又，解方程組得，由余弦定理

6、得，所以.14答案：解析過程：因為，三、解答題15答案：（）；（）最大值，最小值解析過程：（）解：由題意得=所以，的最小正周期（）解：因為在區間上是減函數，在區間上是增函數，.所以，在區間上的最大值為，最小值為.16答案：（）；（）見解析解析過程：（）解：由題意得所以，事件發生的概率為.（）解：隨機變量X的所有可能取值為1,2,3,4.所以，隨見變量的分布列為隨機變量的數學期望17答案：見解析解析過程：如圖，以為原點建立空間直角坐標系，依題意可得,.又因為M,N分別為和的中點，得,.（）證明：依題意，可得為平面的一個法向量. =.由此可得，又因為直線平面，所以平面（）解：，設為平面的法向量，則

7、即不妨設，可得.設為平面的法向量，則又，得不妨設，可得因此有，于是所以，二面角的正弦值為。（）解：依題意，可設，其中，則，從而又為平面的一個法向量，由已知，得=，整理得，又因為，解得所以，線段的長為18答案：見解析解析過程：（）解：由已知，有，即，所以又因為，故，由，得當時，；當時，所以，的通項公式為（）解：由（）得.設的前n項和為，則 ，上述兩式相減，得整理得，.所以，數列的前n項和為，19答案：（）；（）；（）解析過程：（）解：由已知有，又由，可得.設直線的斜率為，則直線的方程為由已知，有+，解得（）解：由（）得橢圓方程為，直線的方程為，兩個方程聯立，消去y，整理得，解得，或.因為點M在第

8、一象限，可得M的坐標為.有，解得，所以橢圓的方程為.（）解：設點P的坐標為，直線FP的斜率為，得，即，與橢圓方程聯立消去，整理得又由已知，得，解得，或設直線的斜率為，得，即，與橢圓方程聯立，整理可得.當時，有，因此，于是，得.當時，有，因此，于是，得.綜上，直線的斜率的取值范圍是.20答案：見解析解析過程：（）解：由=，可得=，其中，且.下面分兩種情況討論：（1）當為奇數時.令=0，解得，或.當變化時，的變化情況如下表：所以，在，上單調遞減，在內單調遞增。（2）當為偶數時.當，即時，函數單調遞增；當，即時，函數單調遞減.所以，在上單調遞增，在上單調遞減.（）證明：設點的坐標為，則，.曲線在點處的切線方程為，即，令，即，則由于在上單調遞減，故在上單調遞減，又因為，所以當時，當時，所以在內單調遞增，在上單調遞減，所以對于