1、2.2.3 等差數列的前 n 項和（二）【學習目標】1進一步熟練掌握等差數列的通項公式和前 的最值問題.3理解 an與 Sn的關系，能根據 Sn求 an.If問題導學-知識點一數列中 an與 Sn的關系思考 1 已知數列an的前 n 項和 Sn= n2,怎樣求 ai, an?梳理 對任意數列an , Sn與 an的關系可以表示為_n=1，an=*I. n 2, n N .思考 2 在數列an中，已知 S= an2+bn+ c（a, b, c 為常數）,這個數列一定是等差數列嗎?知識點二等差數列前 n 項和的最值思考 我們已經知道當公差 dz0 時，等差數列前 n 項和是關于 n 的二次函數 S

2、n=切2+一d）n，類比二次函數的最值情況，等差數列的S 何時有最大值？何時有最小值?n 項和公式 2 會解等差數列前 n 項和梳理 等差數列前 n 項和的最值與Sn的單調性有關.（1）若 ai0, d0,則數列的前面若干項為正項（或 0），所以將這些項相加即得Sn的最大值. 若 ai0，則數列的前面若干項為負項（或 0），所以將這些項相加即得Sn的最小值.若 ai0, d0，則Sn是遞增數列，S1是Sn的最小值；若 ai0 , d2 時，an=Sn Sn-i求得 an,最后驗證 ai是否符合 an,若符合則統一用一個解析式表示.不符合則分段.跟蹤訓練 i 已知數列an的前 n 項和 Sn=

3、3n，求 an.類型二等差數列前 n 項和的最值例 2 已知等差數列 5,4, 3專，的前 n 項和為 Sn,求使得 Sn最大的序號 n 的值.反思與感悟 在等差數列中，求 Sn的最大（小）值，其思路是找出某一項，使這項及它前面的項皆取正（負）值或零，而它后面的各項皆取負（正）值，貝U從第 1 項起到該項的各項的和為最大（小）.由于 sn為關于 n 的二次函數，也可借助二次函數的圖象或性質求解.跟蹤訓練 2 在等差數列an中，an= 2n 14,試用兩種方法求該數列前 n 項和 Sn的最小值.類型三求等差數列前 n 項的絕對值之和例 3 若等差數列 an的首項 ai= 13，d = 4，記 T

4、n=|+ |an|，求 Tn.反思與感悟 求等差數列an前 n 項的絕對值之和，根據絕對值的意義，應首先分清這個數列的哪些項是負的，哪些項是非負的，然后再分段求出前n 項的絕對值之和.跟蹤訓練 3 已知數列an中，s=n2+ 10n，數列bn的每一項都有 bn=釦，求數列bn 的前 n項和 Tn的表達式.1 .已知數列an的前 n 項和 Sn= n2+ n,貝Va*=_.2 .已知數列 an為等差數列，它的前 n 項和為 Sn,若 Sn= (n+ 1)2+入貝 V 入的值是_3 .首項為正數的等差數列，前n 項和為 Sn,且 S3= S8,當 n=_時，Sn取到最大值.4 .已知數列an的前

5、n 項和 Sn= 3+ 2n，求an.規律與方法-11.因為 an= Sn Sni只有 n2 時才有意義，所以由 Sn求通項公式 為=f(n)時，要分 n= 1 和 n2 兩種情況分別計算，然后驗證兩種情況可否用統一解析式表示，若不能，則用分段函數 的形式表示.當堂訓練2 .求等差數列前 n 項和最值的方法：(1) 二次函數法：用求二次函數的最值方法來求其前n 項和的最值，但要注意 n N*，結合二次函數圖象的對稱性來確定 n 的值，更加直觀.工 an0 ,anW0,(2) 通項法：當 ai0, d0,當時，Sn取得最大值；當 ai0,當時,|an+1W 0|an+10Sn取得最小值.3.求等

6、差數列 an 前 n 項的絕對值之和，關鍵是找到數列an的正負項的分界點.答案精析問題導學知識點一思考 1 a1= Sr= 1;當 n2 時，an= Sn SnT=n2 (n 1)2= 2n 1,又 n= 1 時也適合上式，所以 an= 2n 1，n N*.梳理S13nSn-1思考 2 當 n= 1 時，a1= Si = a+ b+ c;當 n2 時，an= Sn Sn-1= (an?+ bn + c) a(n 1) + b(n 1) + c=2an a + b.a+ b + c(n = 1),an |*pan a+ b(n2, n N)只有當 c= 0 時，a1= a+ b + c 才滿足

7、an 2an a+ b,數列an才是等差數列.CM0 時，整個數列an不是等差數列，但從第二項起，以后各項依次構成等差數列.知識點二思考 由二次函數的性質可以得出：當a10 時，Sn先減后增，有最小值；當a10,d1 , n N ),21211當 n1 時，an= Sn Sn1= n + n (n 1) + ?(n 1) 2n 2,213當 n = 1 時，a1= S1 1 +1 2，也滿足式.二數列an的通項公式為 an 2n g(n + ?n + 1) (n 1) + ?(n 1) + 1 2n ?215當 n= 1 時，ai= Si= 1 +空+ 1 = 5 不符合式.5，n= 1,an

8、=1*2n 2，n2, n N .跟蹤訓練 1 解當 n = 1 時，a1= 0 = 3;當 n2 時，an= Sn Sn1= 3n 3n1= 2 3n1.當 n= 1 時，代入 an= 2 3n1,得 a1= 2 工 3.3,n= 1,.an= 2 3n1,n2, n N*.例 2 解 方法一由題意知，等差數列 5,47, 37,的公差為n n155152所以 S =5n+2 ( 4)= 1(n 3)+于是，當 n 取與亍最接近的整數即 7 或 8 時，Sn取最大值.方法二 an= a+ (n 1)d = 5+ (n 1)x440令 an= 7n + w0,解得 n8,且 a$= 0, a9

9、0.故前 n 項和是從第 9 項開始減小，而 Sy= S8,所以前 7 項或前 8 項和最大.跟蹤訓練 2 解/ an= 2n 14 ,a1= 12, d= 2.a1a2a6a7= 0a8a9 5, n N .跟蹤訓練 3 解 由 Sn= n?+ 10n，得 an= Sn Sn1= 11 2n(n2, n N ).驗證 a1= 9 也符合上式.二 an= 11 2n, n N .當 nW5 時，an0 ,此時 Tn= Sn= n2+ 10n；當 n5 時，an5, n N .當堂訓練1 . 2n 2. 13.5 或 64.解 當 n = 1 時，a1= S1= 3+ 2 = 5.當 n2 時，Sn1=