1、T4并矢及其運算規則1.4.1并矢的導出及其表達式（+ A+ A）設有一矢量函數A=/!+/1十兒乙現取它的梯度 "=(冷+卻+診6A,94, _,3兒,八=莎”“ +莎” y+h +玄嚴+鬻必+誓'話+警2+警=瞥+鬻"訓"屠" +丨莎"莎y +藥?？梢娝玫降倪@種矢量有3個分量，但每一個分最又都是通常的一個有3個分量的矢量，因 而共有9個分量，這種有9個分a的矢fi稱為并矢，它與一個二階張就等價。并矢是兩個矢©的形式組合，這種組合并不帯有任何矢疑運算含意。并矢D定義為D = AB(1-55)式 A稱為前項稱為后項，它們的相

2、互位宣不能隨童改變。并矢本身與矢§函數不同，它沒有任何物理解釋,但是當并矢作用在另一個矢ft函數上9時,其結果就可以是有意義的。采用并矢符號，并賦于它一定的運算規則，可以使許多物理問題的數學表示式非常簡 潔，運算也可以簡化。以一個旋轉剛體的角動量矩為例。-個質量分布均勻的剛體，當它以角速度3作旋轉 (如圖1-5所示)時,其中一體積元dV對任意一點0的角動量矩dHo為圖1-5體積元對任意一 點o的角動量矩d/fo = r X fidVy V式中卩為質量密度=3Xf因而得總的角動量矩為(1-56)(1-57)(1-58)H嚴(r X V )pdV對一剛體而言e與尸有關，但3與無關。 根據

3、矢S恒等式4 X X C) = C) - C(4 »)/(, J 廠匕r(r . ct>)fidV因為3與；無關，可以把它提出枳分號外以簡化表達式。對上式中第一項可以宜接將3提 岀來，而對第二項則要先把r(r w>寫成3("或(”)3的形式，而Or)正是一種并矢的 形式，這樣就可以將式<1-57)改寫成Hq = q、3hMrrlodVV可將式(1-56)寫為式中9=i是一并矢，了稱為恒等并矢或單位并矢。在電磁理論中，一個任意的偶極源在一個選定的參考坐標系中有3個分量，而每一個偶 極矩分量在空間中都產生一個具有3個分量的電場和磁場.任意偶扱源所產生的總電磁場

4、 應當是這3個分疑作用的矢量和，此時引入并矢格林函數就可以簡潔地表示出任意的偶極 源所產生的電磁場，關于并矢格林函數的具休形式將在第6章6. 5節中介紹.根據式(1-55)的定義，若有兩個矢量A = ylA + 4並 +. B =+ Bu + 時;式中松心血和尿鎚，疏分別為前矢繪A和培矢呈所在正交坐標系中的單位矢it，在非 直角坐標系中，這兩組單位矢1：不一定相等。將A和B的表示式代入并矢3的定義式 (l-55)n，求得5= AB =應由皿島 4月啟衛2璐+ &皿屈 + AiBzU.ui+ .鐵瓦應2曲；+月/島列+ 民"圍+人2民僉血+ A/禹劃=6血】硏 + DhUjU)

5、 + DU3«I + Dg 強屈 + Z>3 業與(1-59)十D前崗+ 2播必；十0皿闔=(DM】+ 込十6心)&； + (D曲 + D就込 + DjWJ »2 + ( DM + D血 + £),3«j)M3-/?,« + 4 電 + 4 函也可以寫成 10Q= 胡 + DM + 久閔)+ 呢(2同-DM； + DM)+ «3( Dj 島 + DM； + £)3點)=a,Di + uM + 心列(1-60)從式59)和式(1-60)可以看出，若把矢傲代數中的標量積法則應用到并矢中來，則有Dj ,Z)3 = 3

6、 ttj£>；=Df Dy H 心3 D在直角坐標系中= U； U? = «； Um =61)因為D工邛,0工列，0工；,所以一個并矢和一個矢疑的標積是不滿足交換律的，即 A 3工5A通常稱A-S為前標積,5-4為后標積，以示區別。如有一矢量C = Gf + CJ + C,z現取它與并矢D的后標積，即得F= 3 . C = <£>hX + D” + I>3ii)x + (Pui + D折)j+ (DM 十 D+ D,z)zJ - (C,x + C+ C,z)=f DC + DQ + DQf 十(SC + DG + DG”+ (DQi + D

7、»C$)2 = Fji + Fj + Fji由上述結果可知這一標積運算可用矩陣的運算來表示即©Il Dti D|Fz=2)D22 SsGQ3)D32 Dma顯然，若取前標積F=C - D則所得結果可用矩陣*示為(卜 62)F；"Qu 21GF；=Diz Dz! D«GQ譏aSC、(1-63) 11 即師斥積的變換矩陣后標積的變換矩陣的轉a矩陣。14. 2并矢的運算規則關矢的運算規則如下，(1)并矢的和與差仍為并矢，新并矢的各分畫是原兩并矢對應分量的和與差，它符合結 合律與交換律。并矢的數乘(1-64)C方=5c相當于用數c乘以并矢各矩陣元素.(3) 并矢

8、與矢a的標積有前標積與后驚積兩種，其運算規則與矩陣運算規則相同，不符 合交換律-(4) 并矢與并矢的標積有單標積與雙標積兩種。設5和矽為兩個并矢它們是則單標積定義為D < b =< A!ff = A(B AM = <A AjAfT仍是一個并矢，并且不符合交換律。雙標積的定義是5,5 = 45 : A£ = (A /V)(B B ) 為一個標量，且符合交換律。(5) 并矢與矢繪的叉積有前叉積與后叉積兩種。前叉積的定義是C X 萬=C X = (C X AB(1-65)(166)Dxc = 4zrxc = Ai.B X C) 兩者仍為并矢，且不符合交換律。(6并矢與并矢

9、的叉積有單叉積與雙叉枳兩種。單叉積的定義是5 X 矽=A8 X 4 B* = AB X 4所得到的稱為三矢"雙叉積的定義是Sj矽= (4 XX67)(1-68)(1-69)仍為一個并矢(7) 并矢的散度V -3 =(V +(V為一個矢量函數，(8) 并矢的旋度V X 5 = (7 X Dj)x + (1-70)(1-71)仍為一個并矢.(9)并矢的巧= .g-(1-72)仍為一個并矢。1.4 3并矢的幾點性質并矢的幾點重要性質分述如T：(1>零并矢6對一切非零的向雖C,若式C 6= 0- C = 0成立，則6稱為零并矢，其9個分量皆為零。(2>轉置并矢若一并矢的矩陣是某原

10、并矢5的相應矩陣的轉置矩陣，則稱該并矢為原并矢的轉亙并矢，以符號0表示。顯然<1-73)C 6 = 5c(174)(3對稱并矢12 后叉積的定義是對一切非零向量G若有(1-75)c-5 = p c則稱3為對稱并矢。顯然，對稱并矢的轉置并矢就錚于原并矢。 （4反對稱并矢對一切非零矢量C,若有(1-76)則稱S為反對稱并矢（5）酉并矢若一并矢的矩陣為酉矩陣,其分*組成的行列式值為一，則稱其為酉并矢。（6恒等并矢若5為任意非零并矢，且有一個并矢7使等式2） /= /'D=-Z5成立，則？稱為恒等并矢。在直角坐標系中恒等并矢（也可稱為單位并矢）為J = XX + 芳 + «(1

11、-77)(478)（7）逆并矢若3為任意非零并矢，且有3萬=/則稱&為方的逆并矢，以表示。在結束本節之前，應當補充說明的是在矢量運算中有許多恒等式，這些恒等式經過適當 變換可以推廣到并矢中來以恒等式<1-79)AffXC=BCXACAXS為例,如果式中矢量C換為并矢E,則仍有類似的并矢恒等式。實際上只需先將上式中的矢 量C都移到各項的最后，即4BXC=eAXC = AX3*C再將上式的矢量C分別看成是并矢£的三個分量C. ,G，G 就可得出三個矢fi恒等式A B X-Ci = B A X Cj = A , B CBAXC3 = AXB*C3將上面三式分別乘以單位矢量g/2,亦,得A B X C|Uj = " B AA B X Cz&i = 一 B AA S X C3U3 =