1、一、旋轉真題與模擬題分類匯編（難題易錯題）1.如圖所示，正方形ABCD及等腰RS AEF有公共頂點A, Z EAF=90°,連接BE、DF.將由 AEF繞點 A旋轉，在旋轉過程中，BE、DF具有怎樣的數(shù)量關系和位置關系？結合圖給予證明：（2）將中的正方形ABCD變?yōu)榫匦蜛BCD,等腰RS AEF變?yōu)镽S AEF,且AD=kAB, AF=kAE,其他條件不變.（1）中的結論是否發(fā)生變化？結合圖說明理由：將（2）中的矩形ABCD變?yōu)槠叫兴倪呅蜛BCD,將RS AEF變?yōu)?AEF,且Z BAD=Z EAF=a,其他條件不變.（2）中的結論是否發(fā)生變化？結合圖，如果不變，直接 寫出結論：如果

2、變化，直接用k表示出線段BE、DF的數(shù)量關系，用a表示出直線BE、DF 形成的銳角【答案】（1） DF=8E且DFJ_8E,證明見解析：（2）數(shù)量關系改變，位置關系不變，即DF=kBE, DF±BE- （3）不改變.DF=kBE, p=1800-a【解析】【分析】（1）根據(jù)旋轉的過程中線段的長度不變，得到AF=AE,又N BAE與N DAF都與N BAF互 余，所以NBAE = NDAF,所以 FAD2 EAB,因此BE與DF相等，延長DF交BE于G, 根據(jù)全等三角形的對應角相等和四邊形的內角和等于360。求出N EGF = 90。，所以DF±BE；（2）等同（1）的方法，

3、因為矩形的鄰邊不相等，但根據(jù)題意，可以得到對應邊成比例， 所以FAD-AEAB,所以DF = kBE,同理，根據(jù)相似三角形的對應角相等和四邊形的內角和等于360°求出N EHF=90°,所以DFJ_BE：（3）與（2）的證明方法相同，但根據(jù)相似三角形的對應角相等和四邊形的內角和等于 360°求出N EAF+Z EHF = 180",所以 DF 與 BE 的夾角 p = 180° - a.【詳解】（1）DF與BE互相垂直且相等.證明：延長DF分別交AB、BE于點P、G在正方形ABCD和等腰直角 AEF中AD = AB, AF=AE,Z BAD =

4、 Z EAF=90°/. Z FAD = Z EAB FAD合 4 EAB/. Z AFD = Z AEB, DF = BE / Z AFD+Z AFG = 180°,/. Z AEG+Z AFG = 180%Z EAF=90°, , Z EGF = 180° - 90°=90% .DF±BE（2）數(shù)量關系改變，位置關系不變.DF = kBE, DF_LBE. 延長DF交EB于點H,AD = kAB, AF=kAEAD f AF f=K , = KAB AEAD AF 7F- AEZ BAD = Z EAF = aZ FAD = Z

5、EABFAD- 4 EABDF AF , = kBE AE , DF = kBEa FAD- 4 eab,Z AFD=Z AEB,Z AFD+Z AFH = 180", Z AEH+Z AFH = 180°, Z EAF=90%,.N EHF = 180°-90°=90% . DF±BE(3)不改變.DF = kBE, p = 1800 - a.延長DF交EB的延長線于點H,AD = kAB, AF=kAEAD t AF f=k ,=kAB AEAD AF. AB - AEZ BAD = Z EAF = aZ FAD = Z EABFAD- 4

6、 EABBE AE：.DF = kBE由a FAD- 4 EAB 得N AFD=Z AEBTN AFD+N AFH = 180°Z AEB+Z AFH = 180°丁四邊形AEHF的內角和為360% Z EAF+Z EHF = 180°: Z EAF = a, Z EHF = p/. a+p = 180°. 3 = 180° - a【點睛】本題(1)中主要利用三角形全等的判定和性質以及正方形的性質進行證明；(2) (3)利 用相似三角形的判定和性質證明，要解決本題，證明三角形全等和三角相似是解題的關 鍵，也是難點所在.2.如圖1,在RSADE中

7、，NDAE=90。，C是邊AE上任意一點(點C與點A、E不重 合)，以AC為一直角邊在由 ADE的外部作RSABC, Z BAC=90%連接BE、CD.(1)在圖1中，若AC=AB, AE=AD,現(xiàn)將圖1中的RS ADE繞著點A順時針旋轉銳角a, 得到圖2,那么線段BE. CD之間有怎樣的關系，寫出結論，并說明理由：(2)在圖1中，若CA=3, AB=5, AE=10, AD=6,將圖1中的ADE繞著點A順時針旋 轉銳角a，得到圖3,連接BD、CE.求證： ABE ACD；計算：BD2+CE2的值.【答案】（1）BE=CD, BE±CD.理由見角：（2）證明見解析：BDZ+CE?：。

8、.【解析】【分析】（1）結論：BE=CD, BELCD：只要證明 84所 CA。，即可解決問題：（2）根據(jù)兩邊成比例夾角相等即可證明ABE- ACD.由得到NAEB=NCD4再根據(jù)等量代換得到N OGE=90。，即0GJ_8E,根據(jù)勾股定理 得至IJ BD2+CE2=CB2+ED2,即可根據(jù)勾股定理計算.【詳解】（1）結論：BE=CD, BE±CD.理由：設8E與AC的交點為點F, 8E與8的交點為點G,如圖2.Z CAB=A EAD=90 ：. Z CAD=A BAE.AB = AC在a CAD 和a BAE 中，7 /BAE = ACAD ,， CAD BAE, ：. CD;BE

9、, AE = ADZ ACD=Z. ABE.: Z BFA=Z CFG, Z 8E4+Z 48F=90°, /. Z CFG+N ACD=90 ：. Z CGF=90% /. BE±CD.(2)設4E與CD于點F, 8E與DC的延長線交于點G,如圖3.Z CABB=N EAD=90 ：. Z GAD二N BAE.AE ADCA=3, 48=5, AD=6, AE=109 ：. =2, /. ABE- ACDxAB AC: ABE- 4 ACD. ：. Z AEB=A CDA., NAFD=N EFG, N AFD+N CDA=90°, /. Z EfG+Z AEB

10、=90 ：. Z DGE=90 ' DGLBE,：.Z AGD=A BGD=90% /. CE2CG2EG2. BD2=BG2WG ：. BD2+CE2=CG2EG2+BG2WG2.CG2BG2=CB2, EG2WG2=ED ：. BD2CE2=CB2ED2=CA2AB2AD2AD2=170.【點暗】本題是幾何綜合變換綜合題，主要考查了圖形的旋轉變換、全等三角形的判定與性質、相 似三角形的判定與性質、勾股定理的綜合運用，運用類比，在變化中發(fā)現(xiàn)規(guī)律是解決問題 的關鍵.3.在正方形ABCD中，連接BD.（1）如圖1, AE_LBD于E.直接寫出NBAE的度數(shù).（2）如圖1,在（1）的條件下

11、，將4AEB以A旋轉中心，沿逆時針方向旋轉30。后得到 ABF, AB，與BD交于M, AE'的延長線與BD交于N.依題意補全圖1:用等式表示線段BM、DN和MN之間的數(shù)量關系，并證明.（3）如圖2, E、F是邊BC、CD上的點， CEF周長是正方形ABCD周長的一半，AE、AF 分別與BD交于M、N,寫出判斷線段BM、DN、MN之間數(shù)量關系的思路.（不必寫出完【答案】（1）45。： （2）補圖見解析：BM、DN和MN之間的數(shù)量關系是BM2+MD2=MN2,證明見解析：（3）答案見解析.【解析】（1）利用等腰直角三角形的性質即可；（2）依題意畫出如圖1所示的圖形，根據(jù)性質和正方形的性質

12、，判斷線段的關系，再利用 勾股定理得到FB2+BM2=FM2,再判斷出FM=MN即可：（3）利用4CEF周長是正方形ABCD周長的一半，判斷出EF=EG,再利用（2）證明即可.解：（1）.BD是正方形ABCD的對角線.NABD=NADB=45。,; AE±BD, /. Z ABE=Z BAE=45%（2）依題意補全圖形，如圖1所示，BM、DN和MN之間的數(shù)量關系是BM2+MD2=MN2,將 AND繞點D順時針旋轉90。，得到AFB,/. Z ADB=Z FBA> N BAF=N DAN, DN=BF, AF=AN,二,在正方形 ABCD 中，AE±BD, Z ADB=

13、Z ABD=45", , Z FBM=Z FBA+Z ABD=Z ADB+Z ABD=90%在RS BFM中，根據(jù)勾股定理得,FB2+BM2=FM2,旋轉 ANE 得到 ABiEi，/. Z EiABi=45°, /. Z BABi+Z DAN=90° - 45°=45%Z BAF=DAN, Z BABZ BAF=45°, /. Z FAM=45% /. Z FAM=Z E】AB,AM=AM, AF=AN,. AFM ANM, /. FM=MN, / fb2+bm2=fm2, DN2+BM2=MN2,圖2將 ADF繞點A順時針旋轉90°

14、;得到 ABG,.DF=GB,正方形ABCD的周長為4AB, CEF周長為EF+EC+CF,a CEF 周長是正方形 ABCD 周長的一半，.4AB=2 （EF+EC+CF） ,2AB=EF+EC+CFEC=AB-BE, CF=AB - DF, 2AB = EF+AB - BE+AB - DF, /. EF=DF+BE, ,.,DF=GB,EF=GB+BE=GE,由旋轉得到 AD二AG=AB,TAM=AM, AEG" AEF, Z EAG=Z EAF=45% 和（2）的一樣，得到 DN2+BM2=MN2.“點睛”此題是四邊形綜合題，主要考查了正方形的性質、旋轉的性質，三角形的全等，判

15、 斷出SAFN合 ANM,得到FM=MM）,是解題的關鍵.4.把兩個直角邊長均為6的等腰直角三角板ABC和EFG疊放在一起（如圖），使三角 板EFG的直角頂點G與三角板ABC的斜邊中點0重合.現(xiàn)將三角板EFG繞0點順時針旋 轉（旋轉角a滿足條件：0°VaV90。），四邊形CHGK是旋轉過程中兩三角板的重疊部分 （如圖）.（1）探究：在上述旋轉過程中，BH與CK的數(shù)量關系以及四邊形CHGK的面積的變化情況 （直接寫出探究的結果，不必寫探究及推理過程）：（2）利用（1）中你得到的結論，解決下面問題：連接HK,在上述旋轉過程中，是否存在 某一位置，使GKH的面積恰好等于 ABC面積的言？若

16、存在，求出此時BH的長度；若 不存在，說明理由.【答案】BH=CK;（2）存在，使仆GKH的面積恰好等于aABC面積的云的位置，此時BH 的長度為3士企.【解析】（1）先由ASA證出ACGa BGH,再根據(jù)全等三角形的性質得出BH=CK,根據(jù)全等得出 四邊形CKGH的面積等于三角形ACB而積一半：（2）根據(jù)而積公式得出Sa ghk=S閃邊形0&或*"2.3乂+9,根據(jù)4 GKH的面積恰好等于 2 ABC面積的3,代入得出方程1x23x+9=2x 1x6x6,求出即可. 12212 2解：（1） BH與CK的數(shù)量關系：BH=CK,理由是: 連接03由直角三角形斜邊上中線性質得出

17、0C=BG, AC=BC, 0 為 AB 中點，Z ACB二90。，/. Z B=Z ACG=45 COJLAB./. Z CGB=90°=Z KGH,都減去N CGH得：Z BGH=Z CGK,CGK 和a BGH 中'/KCG =/B CG=BG ,Zkgc=Zbgh A CG心 A BGH (ASA),/. CK=BH,即 BH=CK：四邊形CHGK的面積的變化情況：四邊形CHGK的而積不變，始終等于四邊形CQGZ的而 積，即等于 ACB面積的一半，等于9：(2)假設存在使 GKH的面積恰好等于 ABC面積的三的位置.12設BH=x,由題意及(1)中結論可得，CK=BH

18、=x, CH=CB - BH=6 - x,11 ,Sa chk= CHxCK=3x - x2t 22Sa ghk=S 四邊% ckgh - Sa cxh=9 - ( 3x - x2 ) = x2 - 3x+9,22V GKH的面積恰好等于 ABC面積的J, 12I 25 1 x2 - 3x+9= X x6x6f212 2解得 =3+痣，w=3遍(經(jīng)檢驗，均符合題意).存在使 GKH的面積恰好等于 ABC而積的 ' 的位置，此時x的值為3 土前“點睛”本題考查了旋轉的性質，三角形的而積，全等三角形的性質和判定等知識點，此題 有一定的難度，但是一道比較好的題目.5.如圖1,在RS ABC中

19、，Z ACB=90°, E是邊AC上任意一點(點E與點A, C不重 合)，以CE為一直角邊作RS ECD, Z ECD=90°,連接BE, AD.(1)若 CA=CB, CE=CD猜想線段BE, AD之間的數(shù)量關系及所在直線的位置關系，直接寫出結論：現(xiàn)將圖1中的RSECD繞著點C順時針旋轉銳角a,得到圖2,請判斷中的結論是否 仍然成立，若成立，請證明：若不成立，請說明理由：(2)若CA=8,CB=6, CE=3, CD=4, RS ECD繞著點C順時針轉銳角a,如圖3,連接BD, AE,計算W +g的值.【答案】（1）BE=AD, BE±AD：見解析：（2） 12

20、5.【解析】試題分析：根據(jù)三角形全等的判定與性質得出BE=AD, BE±AD：設BE與AC的交點為點F, BE與AD的交點為點G,根據(jù)NACB=NECD=90°得出NACDNBCE,然后結合AC=BC,CD=CE 得出 ACD合口 BCE,則 AD=BE, N CAD;N CBF,根據(jù)N BFC=N AFG,N BFC+Z CBE=90°得出N AFG+N CAD=90從而說明垂直；首先根據(jù)題意得出 ACDsBCE,然后說明NAGE=NBGD=90。，最后根據(jù)直角三角形的勾股定理將所求的線 段轉化成已知的線段得出答案.試題解析：（1）解：BE=AD, BE

21、7;ADBE=AD. BE_LAD仍然成立證明：設BE與AC的交點為點F, BE與AD的交點為點G,如圖1.Z ACB=Z ECD=90% /. Z ACD=Z BCE AC=BC CD=CE :& ACD合,BCE/. AD=BE Z CAD=Z CBF : Z BFC=Z AFG Z BFC+Z CBE=90° Z AFG+Z CAD=90°/. Z AGF=90° A BE±AD（2）證明：設BE與AC的交點為點F, BE的延長線與AD的交點為點G,如圖2.Z ACB=Z ECD=90°, /. Z ACD=Z BCE 丁 AC=

22、8, BC=6, CE=3, CD=4 /. ACD & BCE/. Z CAD=Z CBE Z BFC=Z AFG Z BFC+Z CBE=90" ?. Z AFG+Z CAD=90°/. Z AGF=90° /. BE±AD Z AGE=Z BGD=90°.AE2 = AG2 + EG2 BD2 = BG2 + DG2 . BD2 + AE2 = AG2 + EG2 + BG2 + DG2 , .AG2 A- BG2 = AB2 EG2 + DG2 = ED2 ，.BD2 + AE2 = AB1 + ED2 = CA2 + CB2

23、+ CD2 + CE2 = 125考點：三角形全等與相似、勾股定理.6.如圖所示，在 ABC中，D、E分別是AB、AC上的點，DEII BC,如圖，然后將 ADE繞A點順時針旋轉一定角度，得到圖，然后將BD、CE分別延長至M、N,使DM= ：bd, en= = ce,得到圖，請解答下列問題：若AB=AC,請?zhí)骄肯铝袛?shù)量關系：在圖中，BD與CE的數(shù)量關系是;在圖中，猜想AM與AN的數(shù)量關系、Z MAN與N BAC的數(shù)量關系，并證明你的猜 想：若AB = k-AC(k>l),按上述操作方法，得到圖，請繼續(xù)探究：AM與AN的數(shù)量關 系、ZMAN與NBAC的數(shù)量關系，直接寫出你的猜想，不必證【答

24、案】(1)BD=CE：AM=AN, N MAN=N BAC 理由如下：.在圖中,DE/BC, AB=AC/. AD="AE."AB = AC,乙 BAD = Z.CAE,在aABD與 ACE中a ABD合 ACE.BD=CE, Z ACE=Z ABD.在aDAM與A EAN中，1 1DM=2BD, EN=2CE, BD=CE, /. DM=EN, 丁 N AEN=N ACE+N CAE,Z ADM=Z ABD+Z BAD, A Z AEN=Z ADM.又 AE=AD, ADMW AEN./. AM=AN, Z DAM=Z EAN./. Z MAN=Z DAE=Z BAC.A

25、M二AN, Z MAN=Z BAC.2 2) AM=kAN, Z MAN=Z BAC.【解析】(1)根據(jù)題意和旋轉的性質可知 AEC二 ADB,所以BD=CE：根據(jù)題意可知N CAE=BAD, AB=AC, AD二AE,所以得到 BAD合 CAE,在 ABM和 ACN 中，DM=BD, EN=-CE,可證 ABM合 a ACN,所以 AM=AN, ElPz MAN=Z BAC.（2）直接類比（1）中結果可知AM=HAN, Z MAN=Z BAC.7.我們定義:如果一個三角形一條邊上的高等于這條邊，那么這個三角形叫做"等高底"三角形，這條邊叫做這個三角形的“等底”。（1）概念

26、理解：如圖1,在AA5C中,AC = 6 ,BC = 3.NAC8 = 30。,試判斷AA3C是否是“等高底"三角形，請說明理由.（2）問題探究：如圖2, AA3C是“等高底三角形,8C是"等底”，作AA3C關于3c所在直線的對稱圖形得AC到A42C,連結A4'交直線BC于點D ,若點8是4 = 3-3,0=1 + 2i的重心，求的值.BC（3）應用拓展:如圖3,已知/?兒與之間的距離為2."等高底”AA8C的"等底"在直線4上，點A在 直線6上，有一邊的長是BC的點倍將AA8C繞點C按順時針方向旋轉45。得到 AA'8'

27、;C, AC所在直線交于點。.求CD的值.(H2)V13【答案】AC（l）證明見解析；（2）BC 2（3）co的值為【解析】分析：（1）過點/H乍4D_L直線CB于點D,可以得到八。=8C=3,即可得到結論：（2）根據(jù)兇8c是“等高底”三角形，8c是"等底"，得至IJAD=8C,再由A/T8c與M8C關于 直線8c對稱，得到N4DC=90°,由重心的性質，得至lj 8c=28。,設8D=x,則4D=8C=2x.CD=3x ,由勾股定理得AC=JBx,即可得到結論；（3）分兩種情況討論即可：當A8=J8C時，再分兩種情況討論：當4C=JJ 8c時，再分兩種情況討論即

28、可.詳解：（1）是.理由如下：如圖1，過點A作AOJ_直線CB于點D,，MDC為直角三角形，Z ADC=90°.1丁 NACB=300, 心6, AD=-AC=3,2/. AD=BC=39«P兇8c是“等高底三角形.（2）如圖2, -/ M8C是"等高底"三角形,8c是“等底2 .AD=8C,: A/T8c 與 M8C 關于直線 8c 對稱，/. AADC=90,點8是ZWVC的重心,BC=2BD.設 BD=x,貝lj AD=BC=2xt ：. CD=3x , 由勾股定理得4>jrix,AC _ yfl3x _ >/13 BC 2x 2（3）

29、當 48二 8c 時，I .如圖3,作AE_U于點E, DFJ_4C于點F.“等高底"B8C的"等底為8C, /i/2,人與/2之間的距離為2, AB= 72 8C,?. BC=AE=2. AB=2 ,：.8E=2, HP EC=4, /. AC= 2小.r LABC繞點C按順時針方向旋轉45。得到M' B' G AZ CDF=45°.設 DF=CF=x .一DF AE 1 nn: /x/2, /. Z ACE=Z DAF,：. =一,即 AF=2x.AF CE 222 jAC=3x= 25/5 ,可得 x=1逐,，CD= y/2 x= VFo .

30、 DJn.如圖4,此時兇8c是等腰直角三角形，. M8C繞點C按順時針方向旋轉45。得到MEC, BCD是等腰直角三角形， 8sAe=2JL當心女8c時，I .如圖5,此時48C是等腰直角三角形.,/ MBC繞點C按順時針方向旋轉45。得到A/T B'C, ACJJi, /. CD=AB=BC=2.吩IH5II .如圖6,作AEJJi于點&則4E=8C,：.AC= y/2 BC=y/2AE, .N4CE=45°，MBC繞點C按順時針方向旋轉45。得到LA' &C時, 點A在直線/】上，ACII/2,即直線AC與/2無交點.綜上所述：C。的值為:M，2&

31、amp; 2.點睛：本題是幾何變換-旋轉綜合題.考查了重心的性質，勾股定理，旋轉的性質以及閱讀 理解能力.解題的關鍵是對新概念“等高底三角形的理解.8.如圖，在RSA8C中，Z ACB=90 N 4=30。，點O為八8中點，點P為直線8c上的動 點（不與點8、點C重合），連接OC、OP,將線段OP繞點P順時針旋轉60。，得到線段 PQ，連接8Q.（1）如圖1,當點P在線段8c上時，請直接寫出線段8Q與CP的數(shù)量關系.（2）如圖2,當點P在C8延長線上時，（1）中結論是否成立？若成立，請加以證明；若 不成立，請說明理由：（3）如圖3,當點P在8c延長線上時，若N8PO=15。，8P=4,請求出8Q的長.A【答案】（1） BQ=CP； （2）成立：PC=8Q： （3） 4小-4 .【解析】試題分析：（1）結論：BQ=CP.如圖1中，作PHII 48交CO于H,可得 PCH是等邊三角形，只要證明仆POH號 QP8即可；（2）成立：PC=8Q.作PHII A8交CO的延長線于H.證明方法類似（1）:（3）如圖3中，作CEJLOP于E,在PE上取一點F,使得FP二FC,連接CF.設C£=CO=a,則FC=