1、 第三講 一元二次方程根與系數的關系現行初中數學教材主要要求學生掌握一元二次方程的概念、解法及應用，而一元二次方程的根的判斷式及根與系數的關系，在高中教材中的二次函數、不等式及解析幾何等章節有著許多應 用本節將對一元二次方程根的判別式、根與系數的關系進行闡述 一、一元二次方程的根的判斷式20)a?ax?bx?c?0 ( ，用配方法將其變形為：一元二次方程 2ac?bb42?)(x 2a2a420?4acb? 時，右端是正數因此，方程有兩個不相等的實數根：(1) 當 2ac4?b?b?x a2 b20?b?4ac?x? (2) 當時，右端是零因此，方程有兩個相等的實數根：1,22a20ac?b?

2、4 時，右端是負數因此，方程沒有實數根(3) 當22acacb?4b?4叫做一的取值情況來判定一元二次方程的根的情況因此，由于可以用把220)0 (a?ax?bx?c?ac?4?b 元二次方程的根的判別式，表示為：【例1】不解方程，判斷下列方程的實數根的個數： 2220?6xx?3)?4y?9?12y5(012x?3x? (1) (2) (3) 2?4?2?1?(?3)1?0 ， 原方程有兩個不相等的實數根 解：(1) 24y?12y?9?0 (2) 原方程可化為：2 ?(?12)?4?4?9?0 原方程有兩個相等的實數根 ， 2015?6x?5x (3) 原方程可化為：2)?4?5?15?6

3、? ?(?264?0， 原方程沒有實數根 說明：在求判斷式時，務必先把方程變形為一元二次方程的一般形式 20k?2x3?xxk 的范圍：，根據下列條件，分別求出的一元二次方程已知關于】2【例 (2) 方程有兩個相等的實數根方程有兩個不相等的實數根； (1) (4) 方程有實數根； 方程無實數根(3)2k?4?12?(?2)?4?3?k 解：11?k0k?k?4?124?12k?0(2) ； ； (1) 3311?k4?12?k?k?0?4?12k0 (3) ； (4) 33220?y?1?xy?2x?x?yxxyy 滿足、的值 【例3】已知實數，試求x 解：可以把所給方程看作為關于的方程，整理

4、得：220?y?x?y1x?(y?2) x 由于是實數，所以上述方程有實數根，因此：2220?3yy?4(y0?y?1)?(?y?2)? ，21?0?x1x?2x? 代入原方程得：0y?x?1, 綜上知： 二、一元二次方程的根與系數的關系20)a?c?0 (ax?bx 一元二次方程的兩個根為： aa?,xx? aa22 22b4bac?4ac?b?b?b?x?x?所以： ， 21aa2a2 22222cac4?4acac?4(?b)?(?b?bac?4?b?bb?x?x? 21222a2aa(2a)4a2ax?bx?c?0 (a?0)x,x，那么：的兩個根為 定理：如果一元二次方程 21 bc

5、x?x?,xx? 2121aa 說明：一元二次方程根與系數的關系由十六世紀的法國數學家韋達發現，所以通常把此定理?0 稱為”韋達定理”上述定理成立的前提是2xx,02007?2x?x? 是方程若的兩個根，試求下列各式的值：4【例】211122?(x?5)(x?5)|x?x|x?x (2) (1) ； ； (3) (4) 212121xx21分析：本題若直接用求根公式求出方程的兩根，再代入求值，將會出現復雜的計算這里，可以利用韋達定理來解答 x?x?2,xx?2007 由題意，根據根與系數的關系得：解：21122222x?x?(x?x)?2xx?(?2)?2(?2007)?4018 (1) 22

6、1112x?x11?2212? (2) xxxx?200720072211(x?5)(x?5)?xx?5(x?x)?25?2007?5(?2)?25?1972 (3) 212121 222?4(?2007)?2x?(?x?)2)?(x?x)2008?4x|x?x|?(x (4) 22122111說明：利用根與系數的關系求值，要熟練掌握以下等式變形： xx?112222212?2)xx?4xx(xx?xxx(x?)?(x?x)， 211122122112xxxx2112 222x4?x)x?|x?x|?(xx?xx(x?xxx?x)， 21112122221121333?3xx(x?(x?x)x

7、x)?x等等韋達定理體現了整體思想 21211212122k?1?(k?1)x?0?xxk的值的方程，根據下列條件，分別求出 【例5】已知關于 4|x|?xx,x滿足(2) 方程的兩實根 (1) 方程兩實根的積為5； 2121x?x?0?x?x，所以有兩種可能，一是，二是分析：(1) 由韋達定理即可求之；(2) 2121要分類討論 解：(1) 方程兩實根的積為5 1?22?(k?1)?4(k?1)?0? 3?44?k?k?, ? 12?2?1?k5xx 12?4k?4時，方程兩實根的積為5 所以，當 x?|x| 得知：(2) 由213x?x0x?0?k； 時，所以方程有兩相等實數根，故 當 2

8、112?x?x?x?x?0?k?1?0?k?10x?，由于當 時， 221113?k0?k?1不合題意，舍去，故 23|x|?xxx,?k綜上可得，滿足時，方程的兩實根 21212說明：根據一元二次方程兩實根滿足的條件，求待定字母的值，務必要注意方程有兩實根的?0條件，即所求的字母應滿足 2xx,01?kx?k?4kx?4 是一元二次方程的兩個實數根【例6】已知213?)?2x2x?x)(x(kk的值；使求出若不存 (1) 是否存在實數成立？若存在， 21212在，請您說明理由 xx21?2k的整數值的值為整數的實數(2) 求使 xx123?2x)x?x)(x?(2k成立 假設存在實數，使解：

9、(1) 2211224kx?4kx?k?1?0的兩個實數根 一元二次方程 4k?0?k?0， ?2?(?4k)?4?4k(k?1)?16k?0?2x,x0?14kx?k4kx? 是一元二次方程的兩個實數根 又21x?x?1?21? ?1k?xx? 214k?222(2x?x)(x?2x)?2(x?x)?5xx?2(x?x)?9xx 221111212221k?939?k?k?0，但 5k243(2x?x)(x?2x)?k，使不存在實數成立 21122222)?xx(xxxx?4k4211122?2?2?4?4? (2) xxxxxxk?1k?1211122k?1?1,?2,?4k?k10， 要

10、使其值是整數，只需，注意到整除，故能被4 xx21?2?2,?3,?5k要使 的值為整數的實數 的整數值為 xx12說明：(1) 存在性問題的題型，通常是先假設存在，然后推導其值，若能求出，則說明存在，否則即不存在 4為整數的分析方法 本題綜合性較強，要學會對(2) 1?k 習 練 A 組 201?2x?(1?k)xk( ) 1一元二次方程的取值范圍是有兩個不相等的實數根，則k?2,且k?1k?2,且k?12kk?2? D B AC 112?xx,0?3?2x?6x的值為是方程的兩個根，則( 2若) 21xx21192?2 CD A B 22x的方程的長分別是關于OA、OB的邊長為5，兩條對角

11、線交于O點，且已知菱形3ABCD22?3m?0m?1)xx?(2m等于( 的根，則) 5或?3?5或353? C A D B22tax?bx?c?0 (a?0)?b?4ac和完全平方式4若的根，則判別式是一元二次方程2)bat?M?(2的關系是( ) ?M?M?M D大小關系不能確定 A C B b?1a?1220?8b?5?0,a?8a?5?b?ba,b?a(，則代數式若實數5，且滿足的值為 a?1b?1) 2或?202或2020?2 B ACD2(b?c)x?(c?a)x?(a?b)?0a,b,c之間的關系是 6如果方程_ 的兩根相等，則207?8x?2x的兩個根，則這個直角三角7已知一個

12、直角三角形的兩條直角邊的長恰是方程 _ 形的斜邊長是 20?3?k(?1)x?k2x?k 若方程_ 的兩根之差為1，則的值是8220?qxx?x?px?q0?p1?1,x?xxx,x的兩9是方程的兩實根，的方程是關于設2121pq = _ = _ ，實根，則29,?c?abb6a?cac,a,bb = _ ，= _ ，= _ ，則滿足已知實數10236?10xx?x取什么實數，其值都不可能等于，小明得出如下結論：無論11對于二次三項式 您是否同意他的看法？請您說明理由101m2mnx?0x?(m?2n)x0?n有兩個相等的的正實數根，求的值的方程 ，關于12若 4n2x?(4m?1)x?2m?

13、1?0x13已知關于 的一元二次方程 (1) 求證：不論為任何實數，方程總有兩個不相等的實數根； 111?xx,m的值，求 ，且滿足(2) 若方程的兩根為 21xx221122k?1?k?1)x?0x?(x的兩根是一個矩形兩邊的長的方程 14已知關于 4k取何值時，方程存在兩個正實數根？ (1) 5k的值當矩形的對角線長是 (2) 時，求 B 組 20?13)x?k?(k1)x?(2k?xx,x 1已知關于有兩個不相等的實數根的方程21k 的取值范圍； (1) 求kk的值；如果不存在， (2) 是否存在實數，使方程的兩實根互為相反數？如果存在，求出 請您說明理由20?x?mx?3xx的方程112已知關于的方程求證：關于的兩個實數根的平方和等于22?6m?m4?0(k?3)xkmx?有實數根 220?k1?x(2k?1)x?x,xxx,x 的兩個實數根，且13若是關于的方程都大于2211k 的取值范圍； 求實數(1) x11?k的值(2) ，求若 x22 第三講 一元二次方程根與系數的關系習題答