1、 約數與倍數 課前預習 因數與倍數 一天，因數和倍數走到了一起。倍數傲慢地對因數說：“哎，哥們，見了我怎么也不下拜呀？” “我為什么要拜你，你算老幾呀？”因數氣憤地回答。 ”“我是老大呀。 “你是老大？為什么” “你說，一個數的個數有多少個呀？” ”“這我知道，一個數的因數有無數個。“這就對嘛，一個數的因數的個數就那么可憐的幾個。而一個數的倍數有無只見倍數慢條斯理地說： 你的家庭成員這么少，而我的家庭是這樣的龐大。你說，你不應該拜我嗎？”數個.“是的，你的家庭是龐大的，可是，你知道嗎？因為你的家庭的龐大，你知道你是老幾嗎？我們的家你們這些倍數還成立嗎？”再說，離開我們這些因數，庭成員是有限的，

2、可是，我們都知道我們自己的位置。 因數理直氣壯地回答。“對，其實我們是密不可分的好伙伴，我們誰都離不開誰。剛才是只見倍數撓著耳朵，想了想，說： ”我不對，我向你道歉了。在自然數中，我們誰離開了誰都是不存在的。沒有“沒有關系，沒有關系，你知道自己錯了就好。 倍數，我是誰的因數呢？同樣，沒有因數，你們又是誰的倍數呢？讓我們共同攜手，緊密團結在一起，永 ”因數誠懇地說。遠做好兄弟！ 因數和倍數兩位好伙伴的手緊緊地握在了一起。 知識框架 一、 約數的概念與最大公約數 0被排除在約數與倍數之外 求最大公約數的方法 1 ：先分解質因數，然后把相同的因數連乘起來分解質因數法22 ；例如：，所以73?2?25

3、2213(231,252)?7?11?3?723112218 ；先找出所有共有的約數，然后相乘例如：短除法：，所以63?(12,18)?2?69323每一次都用除數和余數相除，能夠整除的那個余數，就是所求的最大公約數用輾轉輾轉相除法：相除法求兩個數的最大公約數的步驟如下：先用小的一個數除大的一個數，得第一個余數；再用第一個余數除小的一個數，得第二個余數；又用第二個余數除第一個余數，得第三個余數；這樣逐次用后一個余數，(如果最后的除數是1去除前一個余數，直到余數是0為止那么，最后一個除數就是所求的最大公約數 那么原來的兩個數是互質的)；的最大公約數：；例如，求600和1515301315?285

4、?600?23151600?315?2851515 151515和600的最大公約數是；所以0?15230?159285?30? 最大公約數的性質 2 幾個數都除以它們的最大公約數，所得的幾個商是互質數； 幾個數的公約數，都是這幾個數的最大公約數的約數； 幾個數都乘以一個自然數，所得的積的最大公約數等于這幾個數的最大公約數乘以nn 求一組分數的最大公約數 3；求出各個分數的分子a先把帶分數化成假分數，其他分數不變；求出各個分數的分母的最小公倍數b b；即為所求的最大公約數 a 二、倍數的概念與最小公倍數 1. 求最小公倍數的方法 分解質因數的方法；?22222772?7231,2522?311

5、 ，所以例如：；72252?3113231?7? 短除法求最小公倍數；21812?2?3?3?2?18,1236； ，所以 例如：69332a?b ?a,b (a,b)2. 最小公倍數的性質 兩個數的任意公倍數都是它們最小公倍數的倍數兩個互質的數的最小公倍數是這兩個數的乘積 兩個數具有倍數關系，則它們的最大公約數是其中較小的數，最小公倍數是較大的數 3. 求一組分數的最小公倍數方法步驟 b先將各個分數化為假分數；求出各個分數分子的最小公倍數；求出各個分數分母的最大公約數；ba a353,515即為所求例如： ?, 412(4,12)4?1,441? 注意：兩個最簡分數的最大公約數不能是整數，最

6、小公倍數可以是整數.例如：,?4? ?2,323?三、最大公約數與最小公倍數的常用性質 1 兩個自然數分別除以它們的最大公約數，所得的商互質。 如果為、的最大公約數，且，那么互質，所以、的最小公倍數為，mabamb、bA?ma?BBAABm所以最大公約數與最小公倍數有如下一些基本關系： ，即兩個數的最大公約數與最小公倍數之積等于這兩個數的積； mab?m?B?ma?mbA?最大公約數是、及最小公倍數的約數 BABAA?B?2 兩個數的最大公約和最小公倍的乘積等于這兩個數的乘積。 即，此性質比較簡單，學生比較容易掌握。 b?,ba(a,b)?a3 對于任意3個連續的自然數，如果三個連續數的奇偶性

7、為 a)奇偶奇，那么這三個數的乘積等于這三個數的最小公倍數 例如：，210就是567的最小公倍數 2105?6?7?b)偶奇偶，那么這三個數的乘積等于這三個數最小公倍數的2倍 例如：，而6,7,8的最小公倍數為 168?76?8?3362336性質（3）不是一個常見考點，但是也比較有助于學生理解最小公倍數與數字乘積之間的大小關系，即“幾個數最小公倍數一定不會比他們的乘積大”。 四、求約數個數與所有約數的和 求任一整數約數的個數 1一個整數的約數的個數是在對其嚴格分解質因數后，將每個質因數的指數(次數)加1后所得的乘積。 32，所以它的約數有(3+1)×(2+1) ×(1+1

8、)=4×3嚴格分解質因數之后為:如1400×2=24個。75?2?(包括1和1400本身) 約數個數的計算公式是本講的一個重點和難點，授課時應重點講解，公式的推導過程是建立在開篇講過的數字“唯一分解定理”形式基礎之上，結合乘法原理推導出來的，不是很復雜，建議給學生推導并要求其掌握。難點在于公式的逆推，有相當一部分常考的偏難題型考察的就是對這個公式的逆用，即先告訴 。一個數有多少個約數，然后再結合其他幾個條件將原數“還原構造”出來，或者是“構造出可能的最值” 求任一整數的所有約數的和 2一個整數的所有約數的和是在對其嚴格分解質因數后，將它的每個質因數依次從1加至這個質因數的最

9、高次冪求和，然后再將這些得到的和相乘，乘積便是這個合數的所有約數的和。 33，所以21000如：所有約數的和為 7?21000?2?3?52323 74880?)(15?57)(1?2?2?25)(1?3)(1?此公式沒有第一個公式常用，推導過程相對復雜，需要許多步提取公因式，建議幫助學生找規律性的記憶即可。 重難點 重點：、分解質因數法是一個數論重點方法，本講另一個授課重點在于讓孩子對這個方法能夠熟練并且靈1 活運用。、本講中的知識點并不難理解，對于約數、最大公約數；倍數、最小公倍數的定義我們在學校的課2本上都已經學習過，所以重點在于一些性質的應用，完全平方數在考試中經常出現，所以對于平方差

10、公式 .還有一些主要性質一定要記住 難點： 1、在對質數和合數的基本認識，在這個基礎之上能夠會與之前的一些知識點結合運用。、核心目標是讓孩子對數字的本質結構有一個深入的認識，即所謂的整數唯一分解定理，教師可以2然后幫學生做一個找規律式的不完全歸納，讓學生自己初在課前讓學生練習幾個兩位或三位整數的分解，?.? 的結構”步領悟“原來任何一個數字都可以表示為 例題精講 3飲料，每個人飲用一瓶A瓶；平均每】一次會餐供有三種飲料【例1.餐后統計，三種飲料共用了652 .問參加會餐的人數是多少人？飲料人飲用一瓶飲料，每人飲用一瓶B4C 【鞏固】一張長方形紙，長2703厘米，寬1113厘米.要把它截成若干個

11、同樣大小的正方形，紙張不能有剩余且正方形的邊長要盡可能大.問：這樣的正方形的邊長是多少厘米？ 【例2】把一張長1米3分米5厘米、寬1米5厘米的紙裁成同樣大小的正方形紙塊，而沒有剩余，問：能裁成最大的正方形紙塊的邊長是多少？共可裁成幾塊？ 【鞏固】一個房間長450厘米，寬330厘米現計劃用方磚鋪地，問需要用邊長最大為多少厘米的方磚多少塊(整塊)，才能正好把房間地面鋪滿？ 【例3】現有三個自然數，它們的和是1111，這樣的三個自然數的公約數中，最大的可以是多少？ 19這九個數碼可以組成362880個沒有重復數字的九位數，求這些數的最大公約數 【鞏固】用 【例4】兩個自然數的和是50，它們的最大公約

12、數是5，試求這兩個數的差 111得優，得良，得中，其余的得差，已知參加考試的學生不滿【鞏固】一次考試，參加的學生中有50 273 人，那么得差的學生有多少人？ ，105，甲、丙兩數的最小公倍數是126，】【例5甲、乙兩數的最小公倍數是90乙、丙兩數的最小公倍數是 ? 那么甲數是多少 240【例6】已知兩個自然數的積為，最小公倍數為60，求這兩個數 ，求這兩個數的和是多少？，最小公倍數是【鞏固】已知兩數的最大公約數是21126 ? 的約數有多少個】數【例7360?這些約數的和是多少 【鞏固】數的約數個數是多少？它們的和是多少？它們的積呢?160 【例8】求在到中，恰好有個約數的所有自然數. 10

13、1001 【鞏固】在到中，恰好有個約數的數有多少個？ 61001 【例9】如圖，鼴鼠和老鼠分別從長157米的小路兩端A、B開始向另一端挖洞。老鼠對鼴鼠說：“你挖完后，我再挖。”這樣一來，由于老鼠原來要挖的一些洞恰好也是鼴鼠要挖的洞，所以老鼠可以少挖多少個洞？ 【鞏固】有一些小朋友排成一行，從左面第一人開始每隔2人發一個蘋果；從右面第一人開始每隔4人發一個桔子，結果有10個小朋友蘋果和桔子都拿到.那么這些小朋友最多有多少人？ 【例10】已知正整數a、b之差為120，它們的最小公倍數是其最大公約數的105倍，那么a、b中較大的數是多少？ 設這，求這兩個自然數114，它們的最小公倍數與最大公約數的差

14、為54已知兩個自然數的和為【鞏固】 【例11】恰有8個約數的兩位數有_個 【鞏固】能被2145整除且恰有2145個約數的數有 個 ?，則 B個約數，個約數，已知【例12】A數有7B數有12且A、的最小公倍數1728AB?,?B 【鞏固】如果一個自然數的2004倍恰有2004個約數，這個自然數自己最少有多少個約數？ 課堂檢測 1、 一個兩位數有6個約數，且這個數最小的3個約數之和為10，那么此數為幾？ 111得優，得良，得中，其余的得差，已知參加考試的學生不滿1002、一次考試，參加的學生中有人， 473 那么得差的學生有多少人？ 3、有甲、乙、丙三個人在操場跑道上步行，甲每分鐘走80米，乙每分

15、鐘走120米，丙每分鐘走70米已知操場跑道周長為400米，如果三個人同時同向從同一地點出發，問幾分鐘后，三個人可以首次相聚？ 4、已知兩個自然數的最大公約數為4，最小公倍數為120，求這兩個數（） 5、在三位數中，恰好有9個約數的數有多少個？ 6、1001的倍數中，共有 個數恰有1001個約數 7、A,B兩數都僅含有質因數3和5,它們的最大公約數是75.已知數A有12個約數，數B有10個約數，那么A,B兩數的和等于多少? 復習總結 1、質數與合數:一個數除了1和它本身，不再有別的約數，這個數叫做質數（也叫做素數）。一個數除了1和它本身，還有別的約數，這個數叫做合數。要特別記住：1不是質數，也不

16、是合數。 2、質因數與分解質因數如果一個質數是某個數的約數，那么就說這個質數是這個數的質因數。把一個合數用質因數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。 3、了解最大公約數與最小公倍數的常用性質，能夠求任一整數的所有約數的和，能夠求任一整數約數的個數。 家庭作業 1、 把20個梨和25個蘋果平均分給小朋友，分完后梨剩下2個，而蘋果還缺2個，一共最多有多少個小朋友？ 2、 已知兩個自然數的最大公約數為4，最小公倍數為120，求這兩個數 66620個面上，并且使得相對兩個面個，然后把這個數分別寫在正方體木塊的 3、從以內的質數中選出的數的和都相等.將這樣的三個木塊擲在地上，向上的三個面的三個數之和可能有多少種不同的值？ 4、 馬鵬和李虎計算甲、乙兩個兩位數的乘積，馬鵬把甲數的