1、分類號 O151 單位代碼 10642 密 級 公開 學 號200502013009 重慶文理學院學士學位論文    矩陣的逆及其應用論文作者： 吳明艷指導教師： 龍述德學科專業： 數學與應用數學研究方向： 代數學提交論文日期： 2009 年 4 月 28 日 論文答辯日期： 2009年 5 月 10 日 學位授予單位：重慶文理學院     中 國 · 重 慶2009年 4月數學與統計學院畢業論文（設計） 目錄目 錄中文摘要II英文摘要III1引言11.1 選題的目的和意義11.2 國內外研究現狀11.3 本文主要研究的內容22矩陣的逆及其求解

2、方法22.1 矩陣的逆的概念及其性質22.2 求解逆矩陣的方法32.2.1 由定義求逆矩陣32.2.2 初等變換法32.2.3 伴隨矩陣法62.2.4 分塊矩陣法82.2.5 利用降價法（解線性方程組法）求逆122.2.6 次對角型矩陣逆的求法143矩陣乘法可交換的應用174結論21參考文獻22致謝23附 124I2005級數學與應用數學畢業論文（設計） 矩陣的逆及其應用數學與應用數學(師范類)四班 吳明艷 指導老師:龍述德摘要:本文主要研究了矩陣逆的各種求解方法及其在編碼理論中的應用.本文主要分為兩個部分,第一部分首先給出逆矩陣的定義和性質，然后總結并證明了求解矩陣的逆的六種求法，并指出每種

3、方法的優缺點,第二部分通過舉例說明逆矩陣在編碼理論中的應用.關鍵詞：逆;初等變化;伴隨矩陣IIIMatrix Inverse and Its ApplicationMajor: Mathematics and Applied Mathematics(Normal) Class: 4 Author: Wu Mingyan Supervisor: Long ShuDe Abstract: This article mainly researches on the different methods of solving the inversion of matrix and its applica

4、tion in coding theory.It is consists of two parts.In the first part ,it defines the inverse matrix and puts forward its property at first.Then,it summarizes and certifies the six methods of solving the inversion of matrix.Finally,it puts forwards the advantages and disadvantages of each method.In th

5、e second part,it illustrates the application of the vertical matrices in coding theory by examples. Key words: Inversion;Elementwry transportation;Adjoint matrix1 引言1.1 選題的目的和意義矩陣是數學中的一個重要的基本概念，是代數學的一個主要研究對象，也是數學研究和應用的一個重要工具.矩陣的應用范圍非常的廣泛，比如編碼理論、數理統計、理論物理、固態物理、結構計算、分子軌道理論及數學圖像處理等方面.在很多的矩陣模型中，基本都要求求出它

6、們的逆，這也說明矩陣的逆是矩陣的一個重要性質.為了更好的了解和掌握求解矩陣的逆的方法及技巧，并且對它作進一步的研究，本文擬把計算矩陣逆的各種方法進行總結，然后進一步系統化.力求對求可逆矩陣的逆提出一些新方法，最后對它在其它方面的應用進行研究.1.2 國內外研究現狀（文獻綜述） 線性代數是代數學的一大分支，而矩陣就是線性代數中最重要的內容之一.矩陣在十九世紀受到很大的注意,而且寫了成百上千篇關于這個課題的文章.線性代數學科和矩陣理論是伴隨著線性系統方程系數研究而引入和發展的.最早利用矩陣概念的是拉格朗日（ Lagrange ） 在 1700 年后的雙線性型工作中體現的. 在剛學高等代數理論時，對

7、于矩陣A，如果存在矩陣B，使得AB=BA=E，則A是可逆的，且B就是A的逆矩陣.矩陣A可逆的充要條件是A是滿秩的，其行列式不為零，這時的矩陣A和B都是方陣.但在實際應用中，我們要研究的矩陣往往不全是方陣，它們的逆實際上也是存在并可計算的，崔永新,張紹英在矩陣之逆的推廣及應用中關于不是方陣的矩陣的逆給出了很多種求解的方法.求矩陣A的逆矩陣一般來說有四種方法：第一種利用定義去求：對n級可逆矩陣A，若存在n級方陣B，使AB=E或BA=E，那么；第二種：先求出矩陣的伴隨矩陣，再利用公式：求得；第三種方法是通過對（A，E）作初等行變換或是對作初等列變換來求.還有一種是對一些較特殊的矩陣（其中A，B均是可

8、逆矩陣）利用分塊矩陣來求.文獻10給出一種同時利用行和列的初等變換求逆矩陣的方法，以達到簡便、快速求解的目的.三對角矩陣及塊三對角矩陣在數學、物理和工程的很多方面中都有重要的應用.三對角矩陣是一種特殊的帶型矩陣，所以到目前為止，研究塊三對角矩陣求逆的研究并不多見.文獻3和文獻8定義了三對角矩陣的概念，然后刻劃了一類三對角矩陣的逆矩陣的形式.討論了對稱和非對稱塊三對角矩陣的求逆方法.首先由塊三對角矩陣的塊LU和UL分解給出了兩個絞形塊分解，基于這些塊分解及塊三對角矩陣逆矩陣的特殊結構，建立了一個計算塊三對角矩陣的逆的比較簡單的算法.分塊矩陣的Drazin逆問題已經逐漸成為矩陣論研究中一個很活躍的

9、領域，不僅是因為它自身有很高的理論價值，更重要的是它在數理統計，系統理論，有限馬爾可夫過程，差分方程組，人口增長性和最優化控制等方面都有其廣泛的實際應用背景.對此問題的解答至今仍然局限在某些特殊條件下，文獻6在新的特殊情況下探究此類塊矩陣逆的一種表示方法和它存在的必要性.文獻4研究了可逆分塊矩陣在各種不同條件下逆矩陣的存在性，給出了復雜可逆矩陣簡單的有效的求解公式.文獻2利用矩陣的分塊乘法給出了求逆矩陣的一種方法-遞推法，此方法利用n階可逆矩陣的n-1階矩陣塊的逆來遞推得到原矩陣的逆.文獻5指明循環矩陣的特點，循環矩陣的線性運算及乘積都是循環矩陣，并且乘法還是滿足交換率，循環矩陣的逆矩陣也是循

10、環矩陣.由于n階矩陣A的逆矩陣的元素是由A的(n-1)階子式所組成，文獻13通過矩陣A的任何m階子矩陣和逆矩陣的某個（n-m）階子矩陣之間有一種更一般的關系，推出逆矩陣更一般的形式.計算技術的快速發展不斷的改變著數學的面貌.一些以前難以求解的問題，現在可以依靠計算機得到解決.這不僅擴大了數學的應用，也改變了人們對數學求解的觀念.文獻15討論了范疇論中態射的一些性質，并利用這些性質給出了分塊矩陣（，）的滿秩分解式和（，）的廣義逆的表達式.目前矩陣在生物、醫學、經濟、金融、環境科學及工程技術領域得到了越來越廣泛的應用，因此有關矩陣的有效計算問題引起大家的普遍關注，所以研究矩陣逆有非常大的意義.特別

11、是把每種方法最適合使用的范圍給出來，那樣會節約很多時間和精力.1.3 本文主要研究的內容提出矩陣逆的定義，論述矩陣存在逆的條件和一般性質.通過搜集大量的資料、整理、模擬、分析歸納文獻等方法研究求解矩陣逆的最簡方法并對其進行總結和系統化，并對其應用進行研究.2 矩陣的逆及其求解方法2.1 矩陣的逆的概念及其性質定義115 當矩陣所形成的方程,稱為矩陣方程,如.其中為線性方程組的系數矩陣，為線性方程組的未知矩陣.而為線性方程組的右端常數項矩陣(也稱常數矩陣).定義215 對于級可逆方陣,如果存在矩陣，使得AB=BA=E，則就是的可逆矩陣，記為：.這時的矩陣和必須是方陣.性質1 若可逆,則是唯一的.

12、 證明 設矩陣和都是矩陣的逆矩陣, .性質2 若可逆,則也可逆,并且.性質3 若階方陣與都可逆,則也可逆,且.證明 所以 推廣2 性質4 若可逆,則也可逆,且.性質5 若可逆,則.性質6 我們把滿足的方陣稱為非奇異的,否則就稱為奇異的.性質7 設是非奇的上（下）三角矩陣，則也是上（下）三角矩陣.定理2 方陣可逆的充要條件為是非奇異的,即.2.2 求解逆矩陣的方法2.2.1 由定義求逆矩陣用定義求矩陣的逆，適合每個可逆矩陣.但是對于一些高階矩陣來說，這種方法的計算量太大，具體的實用性不大.一般用在解比較簡單矩陣的逆和證明題中.例 1 設階矩陣滿足方程,證明可逆.并求出它的逆矩陣.證 由，可得,即

13、，由定義可知，可逆且.2.2.2 初等變換法定義115 由單位矩陣經過一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣.顯然，初等矩陣都是方陣，每個初等變換都有一個與之相應的初等矩陣.引理15 對一個矩陣作一次初等行變換就相當于在的左邊乘上相應的初等矩陣；對作一初等列變換就相當于的右邊乘上相應的的初等矩陣.證明 我們只看行變換的情形，列變換的情形可以同樣證明.令（）為任意一個矩陣，為的航向量.由矩陣的分塊乘法：特別，令，得上面行，下面 ，這相當于把的行與行行互換.令,得行，這相當于用乘的行.令,得上面行，下面行，這相當于把的行的倍加到行.定理115 級矩陣為可逆的充要條件是它能表成一些初等矩陣的乘積： (1

14、)推論115 兩個矩陣，等價的充要條件為，存在可逆的 級矩陣與可逆的級矩陣使例1 設,求.解于是,.2.2.2.1 改進的初等變換定理312 如果是可逆矩陣，且則 證明 矩陣可逆（其中是一系列初等矩陣），簡記.有即 對于矩陣，同樣施以一系列的初等行、列變換得因此 具體步驟：(1)作一個階的矩陣；(2)對該矩陣施以一系列的行，列初等變換將塊化成，整個的矩陣化成；(3)作積.例2 設，求.解通過對初等變換進行改進，對于一些特殊高階矩陣可以迅速求逆.也為計算機進行數據處理提供了理論依據，可以同時修改原矩陣的行列獲取其逆矩陣，減少存儲，適于求高階矩陣.但需注意的是：這種方法在運算時，每次變換都是在行變

15、換后再對變換過的列進行列變換，或者在列變換后的行進行.2.2.3 伴隨矩陣法定義115 設是矩陣中元素的代數余子式，矩陣稱為的伴隨矩陣.由行列式按一行（列）展開的公式立即得出： . （1）如果，那么又（1）得. （2）定理115 矩陣是可逆的充 要條件是非退化，而.證明 當，由（2）可知可逆，且.反過來，如果可逆，那么有使.兩邊取行列式，得 （3）因而，即非退化.例1 求矩陣 的逆矩陣.解 且 ，注意到.同理可驗證.于是.初等變換和伴隨矩陣這兩種求法截然不同,各具特色,現比較分析如下:一、從邏輯性方面看用伴隨矩陣的方法人們較易理解,用初等變換的方法相對較難理解.這是因為用伴隨矩陣的方法層次分明

16、,邏輯推理性強,更符合人們的思維方式.相比之下,用初等變換的方法沒有什么層次,邏輯推理性不強.因而這兩種方法都學完后,人們普遍覺得用伴隨矩陣的方法比用初等變換的方法容易.二、從計算量方面看用伴隨矩陣的方法計算量明顯比用初等變換的方法計算量大.因為首先要計算出方陣 的行列式 的值;其次還要求出伴隨矩陣,這個步驟的計算量是比較大的.對4 階方陣就要計算個代數余子式,而 階方陣則需要計算個代數余求出逆矩陣.而用初等變換的方法，對于常見的4、5階方陣，通常只需5-8個步驟就可以求出.三、從正確率方面看用初等變換的方法要好于用伴隨矩陣的方法.因為用伴隨矩陣的方法需要計算的中間量較多,任何一個步驟出錯都會

17、導致最后的結果錯誤.2.2.4 分塊矩陣法引理17 如果方陣、可逆，那么分塊矩陣可逆，且其逆矩陣為.引理27 如果方陣、可逆，那么分塊矩陣可逆，且其逆矩陣為.定理110 設方陣、可逆，那么分塊矩陣可逆，且其逆矩陣為.定理210 設方陣、可逆，那么分塊矩陣可逆，且其逆矩陣為.定理310 設方陣、可逆，那么分塊矩陣可逆，且其逆矩陣為.定理410 設方陣、可逆，那么分塊矩陣可逆，且其逆矩陣為.2.2.4.1可逆分塊矩陣的逆矩陣的求法定理54 設分塊矩陣可逆，且其子塊方陣B可逆，那么存在，且方塊矩陣T的逆矩陣為證明 由題設知分塊矩陣可逆，且方陣B可逆.因為且上式的右端仍可逆，故存在，又因為可逆，且由定

18、理4可知.所以有 上述定理也可以用待定法證明之，現證明如下：證明 設可逆分塊矩陣的逆矩陣為由可逆矩陣的定義和性質知：,即=由矩陣相等的定義知： (1)由上式得 (2)把（2）帶入得 (3)把（3）式代入（2）式得 (4)由得 (5)把（5）代入得 (6)把（6）代入（5）得 (7)由此即得分塊矩陣的逆矩陣為類似地，可證明下面三個結果：定理64 設分塊矩陣可逆,且其子塊方陣D可逆,那么存在，且分塊矩陣T的逆矩陣為定理74 設分塊矩陣可逆,且其子塊方陣C可逆,那么存在,且分塊矩陣的逆陣為定理84 設分塊可逆,且其子塊方陣A可逆,那么存在,且分塊矩陣 T的逆矩陣為:利用定理8來解分塊矩陣的一般步驟：

19、(1) 對矩陣分塊;(2) 作矩陣利用初等變換將、化成零陣；(3) 取變換的結果為和；(4) 計算，.例1 設，其中解故2.2.5 利用降價法（解線性方程組法）求逆定理8 設階方陣,其中分別是、階可逆矩陣，是階矩陣，是階矩陣，當可逆時，P可逆.且有下面式子成立： .證明 令.其中為同型矩陣(）,且分別是那、階單位矩陣.如能求得，則存在矩陣,使得，故為可逆矩陣，且將上矩陣等式左端乘出來，與右端比較，得. (1) . (2). (3) . (4)以、分別左乘（2）（3）式得. (5) . (6)將、分別代入（1）（4）式得. 記. 記.當、可逆時，有 . (7) . (8)再將和分別代入（5）（6

20、）式得 . (9) . (10)故.注 上式是有實用價值的求逆公式，可以應用到任何階（奇數階或是偶數階）可逆矩陣的求逆問題中，通常它使階可逆矩陣的求逆問題轉化為一些階可逆陣的求逆問題，而使階可逆陣的求逆問題轉化成一些階和一些階可逆矩陣的求逆問題，從而使計算難度降低，因而我們稱這種求逆陣的方法為“降階法”.下面以階的矩陣求逆為例. 例1 已知.求證可逆，并求其逆.解 令,顯然，.而 , .故可求得 ， .從而 .故 .2.2.6 次對角型矩陣逆的求法命題18 當時，次對角矩陣可逆，且.命題28 若矩陣都可逆，矩陣可逆，且.命題38 設矩陣，若，則.且可逆且僅當可逆.證明 將矩陣依次實行交換兩行兩

21、列初等變換可化為，這相當于存在若干個型初等矩陣使得： （1）易知矩陣可逆當且僅當可逆，而，所以可逆當且僅當可逆，若，由命題2可知.由于初等矩陣是可逆的，可逆矩陣的乘積仍可逆，故由（1）得.若可逆，得,即 （2）由（2）知通過對實施交換兩行和兩列初等變換得到的，而對施行的這些初等變換正是（1）式對施行的初等變換，只是初等變換的先后順序恰恰相反，故. 例1 判斷矩陣是否可逆，若可逆，求出其逆. 解 由于，易知，由命題3知：.由命題2和命題3可以推出更一般的情況：設，在中有若干個形如的矩陣，則的逆可通過部分分塊矩陣的逆來得到.例2 設由于，故知.3 矩陣逆的應用 在這里我們先介紹一種特殊的運算.在這

22、一運算中我們只用0和1作為信號復合，具體如下：0+0=0，0+1=1+0=1，1+1=0， （1）0*0=0，0*1=1*0=0，1*1=1. （2） 在等式（1），（2）中我們可以發現除了1+1=0外一切都是很自然也就是說與通常的運算一致.因此，在這里我們不難看出加法與減法的運算是相同的.換句話說我們將要進行的是模二的矩陣運算.談到矩陣我們自然想到與它聯系的一些概念如矩陣的秩，行列式及它的逆矩陣.在下面我們給出一個例子.例 設 ，它的行列式，而它的逆矩陣.我們知道矩陣的每行或每列都可以看成向量.在這里我們也給出兩個向量的之間的距離的概念.假設與是兩個元向量，那么它們間的距離是即歐氏距離.在此

23、我們給出一種新的距離的概念，它與我們的通常的距離定義有所不同.一、海明距離 通信的根本任務是遠距離傳遞信息，因而如何準確地傳輸數字信息是數字通信的一個重要組成部分.在本文中，假定信息是用0和1兩個符號的字符表進行編碼的，事實上字符可以是個.假設我們有兩個向量=001110, =100110.那么它們間對應位置上出現的不同的數字的個數定義為海明距離.具體的數學的定義給定如下：1、定義17 若和是兩個0和1組成的元組，設則它們的Hamming距離是 （1）如在上例中.Hamming距離是衡量接受信息中含錯內容的一個良好方法.2、信號與信息信息是系統傳輸、交換、存儲和處理的對象.在信息論中信息和消息

24、是緊密相聯的兩個不同概念.在通信中消息一般是用一串長度固定的符號序列來表示的.假定信息是用含有不同的符號字母表進行編碼的，編碼就是把字符轉變成數碼如：00000 ，00000 A00001 . 00001 B00002? 00002 Z11010 ; 11010一個碼指的是的一個非空真子集.3、奇偶校驗法設 假設我們的消息是由0和1編碼的一個五元組的序列，該字右乘矩陣，這時得到的是一個長為6的碼字，如00110M=001100,11100M=111001 （2） 這時，我們通常通道發送長為6的碼字，由于矩陣M的形式，我們易看出其中的第六個數字是前五個數字的和.那么接受者如何知道收到的信息就是發

25、送者所發送的呢？這里第六個字符應該是前五個字符的和，所以這六個字符的和是（前五個字符的和）+（前五個字符的和）=0.如：信息11001要傳送，經轉換成碼字為110011，即用它右乘矩陣M，假設收到的是100011，則我們可以知道這是不是所發送的那條信息，因為1+0+0+0+1+1+10.這種簡單的方法稱為奇偶校驗.一般的信息系統的模型二、 一般的信息系統的模型 Messageaource Receovermessage Noise Decoded MessageEncoder codevords Channelreceived Decoder vector在上面的傳送信息過程的這個模型中有三部

26、分用到矩陣的理論，分別在編碼（encoding），糾錯（error correction）,譯碼（decoding）.具體如下：1、編碼過程編碼的目的在于檢測或糾正傳送中的錯誤，提高信息在傳輸中的可靠性. 我們將信源集的信息通常轉換成一串長為那的字，其中,是字符表.然后見消息左乘一個的秩為的矩陣,這時可以得到一個長為的碼字.由于這里我們把信息轉換為長度為的字，因此，一共有個可能的消息.2、解碼過程假設我們收到信息是，將轉換成為另一個碼字，設為,但是這個并不是那條從信源集發送的。我們注意到與的差數就是出現的1的個數.三、糾錯與檢錯定義17 一個非平凡碼的極小距離是 定理117 如果碼的極小距離為

27、，則它能檢錯接受字中直到個的錯.定理217 設為碼的極小距離，則它能糾正接受字中直到小于個錯誤. 在前面我們談到的奇偶檢錯的這種方法當然不能用來糾正錯誤而只能檢錯.因此下面剩下的文章中我們通過一個例子來說明糾錯的方法.在該問題中我們假設消息表示成數碼的長度為4，設，這時用它左乘矩陣從而得到一個長為7的碼字，其中給定如下：則有其中在所有可能的長為7的字有，并且它的極小距離為3，因此據定理1，定理2可以推出，任何奇或偶位置上看可以檢錯，而且任何錯都可以糾錯.這意味著假設我們收到的一個字含有一個位置上的錯誤，那么一定可以找到一個最近的碼字來替換這個所收到的碼字.下面我們找出一個矩陣，使其具有性質.我

28、們知道一個碼字具有形式，如果在它的右邊乘矩陣，得.由此可見一個長為7的字，如果不是碼字則有.設，矩陣H的秩為3，且 現在，我們假設一個碼字被發送，并且只有一個位置上的錯誤，我們將看如何執行這個糾錯過程。取1100為一個消息，經轉換成碼字為1100001.在傳達過程中將一個位置上的元被改變，假設為=1110001，它乘矩陣得,而它們的乘積剛好就是矩陣的第三行.由此可知中的第三個位置上元出現了錯誤.這個當然不是偶然的，應為一個碼字乘矩陣為0.4 結論 通過對矩陣逆的存在性、性質、具體計算方法及其應用的研究，本文把計算方法總結如下：第一種利用定義去求:對級可逆矩陣，若存在級方陣，使或，那么；第二種方

29、法是通過對（）作初等行變換或是對作初等列變換來求；第三種方法是先求出矩陣的伴隨矩陣,再利用公式：求得；第四種方法是分塊矩陣法.分別討論了方陣，其任意兩個方陣可逆，則矩陣可逆；同時若已知分塊矩陣可逆，且其中一個塊方陣可逆，那么分塊矩陣的逆都存在.第五種方法是利用降價法（解線性方程組法）求逆. 階方陣，當可逆時，可逆.第六種方法是次對角型矩陣逆的求法.每一種方法都有其優點，所以把每種方法最適合使用的范圍給出來，就可以節約很多時間和精力. 從逆矩陣在編碼理論中的應用可以看出其優點是非常突出的，因此有關矩陣的有效計算問題引起大家的普遍關注，所以研究矩陣逆有非常大的意義.參考文獻1 崔永新,張紹英. 矩

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