1、第卷 第期蘭 州 交 通 大學(xué)學(xué)報年月 文章編號：（ ）：一類奇異泛函微分方程邊值問題的正解李玉玉，（西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，甘肅 蘭州 ；甘肅交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院，甘肅 蘭州 ）摘 要：利用錐拉伸與錐壓縮不動點理論討論了一類具有限時滯二階奇異泛函微分方程三點邊值問題正解的存在 性，建立了一類奇異泛函微分方程邊值問題至少存在一個正解的充分性條件并推廣和改進了已有的結(jié)果關(guān)鍵詞：正解；不動點定理；泛函微分方程；三點邊值問題中圖分類號：文獻標志碼： ，（ ， ， ，； ， ，）： ， ， ： ； ； ； 由于在應(yīng)用數(shù)學(xué)、物理學(xué)等諸多領(lǐng)域的廣泛應(yīng) 用背景，非局部邊值問題已引起了人們的廣泛關(guān)注， 并且

2、取得了許多深刻的結(jié)果近年來，隨著泛函微分 方程理論的發(fā)展以及其在物理、力學(xué)、自動控制理 論、生物學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等眾多學(xué)科中的應(yīng)用，泛函微分 方程邊值問題成為關(guān)注的一個熱點本文利用錐 上的不動點理論考慮如下二階含參數(shù)的奇異泛函微 分方程三點邊值問題（）（）（，） ，（，）， 烄 （）（）， ，（） 烅 （）（）烆 正解的存在性 其中：為參數(shù)；正解（）是指 ，滿足式（）且當 ， 時（），又在，上不恒為的函數(shù) 為了方便，下面給出一些記號，對 ， ）， 記 ， 則在范數(shù) ， （）下構(gòu)成空間 記（） ， ，令：（）（ ），其中： ， ，則 當時， 退化為 ，此時邊值問題（）退化為一般的常微分方程邊值問題，其

3、正解的存在性已經(jīng)被許多學(xué)者做過研究 ? 若（，）（）， 所研究的三，（） ，則邊值問題（）即為馬 點邊值問題，（） （）（） ，（） ， （） （）（） 收稿日期：學(xué)報網(wǎng)址： ： 作者簡介：李玉玉（），女，甘肅隴南人，講師，碩士生，主要研究方向為基礎(chǔ)數(shù)學(xué)：蘭 州 交 通 大 學(xué) 學(xué) 報第卷其中： （，）； ； （，）； （，），）運用錐上的不動點指數(shù)理論，該文獲得了當滿足超線性或次線性增長條件時，邊值問題（）的正解存在性當（）（ ，）時，邊值問題（）即為王等 所討論的如下滯后型泛函微分方程多點邊值問題，（） （）（，（ ） ， （，），烄 （）， ，（） 烅（）（）烆 其中：為參數(shù)，且滿足：（

4、）， （，） ，）連續(xù)， ， ， ） ，） × 是連續(xù)函數(shù)；，且存在常數(shù)（）（），使得運用錐拉伸與（），（）錐壓縮不動點定理 該文獲得了邊值問題 正解存在的充分條件本文通過構(gòu)造一個特殊的錐，利用函數(shù)的凹性，將文獻中對的限制放寬為，且去 掉了的要求，運用錐上的不動點定理，得到了 邊值問題（）正解存在的充分條件及參數(shù)的取值范圍，本文的結(jié)果推廣和改進了文獻， 中的相?關(guān)結(jié)果 預(yù)備工作本文做以下假設(shè)：（ ）， （）； （ ） ，）是連續(xù)函數(shù)， × （，） ，）連續(xù)，可在和處 奇異，滿足，且存在常數(shù)（ ）（） （， ），使得（） 在 ，中定義（），則 ， ，是空間，在 ，中構(gòu)造一個

5、錐如下：，（）， ，在 上為凹函數(shù) 容易驗證邊值問題（）等價于下面的積分方程，烄（，）（）（，）（，） （） 烅（）（，）， （），烆 （）其中：（，） （），； （），于是由（，）的定義及（），得：（，）， （，）；（，）（，），（） （，）（）（） 定義算子 ，如下： 烄（，）（）（，）（，） （） 烅（）（，）， （），烆（）由條件（）和（）易知在錐 中，是邊值 問題（）的解當且僅當是 的不動點引理 設(shè) 是 空間，如果 （，）是全連續(xù)算子， 且對任 意的有： ， 那么 是全連續(xù)算子引理 全連續(xù)，這里算子 由式（）定義證明 由凹函數(shù)的定義易知 ，下證 的全連續(xù)性對任意的自然數(shù)（），定義：（

6、）， ，烄 （）（） （）， ，烅（）， 烆則， ，）連續(xù)，且（） （）， （，），令： 烄（，）（）（，） （） 烅（，） （）（，）， （），烆（）首先證明 全連續(xù)，易知 由 的連續(xù)性可知是連續(xù)的 設(shè) 是 ，中 的有界子集，由 ?定理，只需證明在 ，上一致有界且等度連續(xù)即可顯然， ，在 中關(guān)于 ，一致有界，且存在常數(shù) 使得第期：李玉玉 一類奇異泛函微分方程邊值問題的正解 （，） ， ， （）又因為 在，上一致連續(xù)，從而（）在 ，上有界 再設(shè)， ，若 ，則 （）（） （， ）（，） （）（，） 若 ，則（）（）（）（）； 若 ，則（）（）（） （） （） （）（，） （，） （）（，）（）（

7、） 對于上述任一種情形，由 在 ，上一致連續(xù)，在， ，上一致連續(xù)，且在，上一致連× 續(xù)可知，對， ，當時， 有（）（），即等度連續(xù)，由此 全連續(xù)令，由于： ， （ ）（） ，從而（ ）（）對任 意的取， ，則烄（，）（） （）（，）， 烅 （）（），烆烄（，）（，）（） （）， ， 烅，烆烄（，）（ ）（） （）， 烅 ， ，烆（）因此由引理知全連續(xù) 證畢（ ）（） 引理存在常數(shù)（，），使得對（）（），即（）， ， 都有其中：（），（）（）；從而 ，（）若 ， ）（）（）， 則 ， （），），）證明令：， ，從而又可歸結(jié)為 的情形對 綜上，只 要 令：，就 有：有： ， ， （ ）（

8、）（），故由式（ ）得： ， ， ， （）（）（ ），證畢 ，引理令：為空間，為 中的 因為（）是凹函數(shù)且（） ，所以?，一個錐，為中有界開集且使得下面分種情況證明，；（）為全連續(xù)算子，若下列條件 ，（ ）（）之一成立：， ，）若則（）（），由的凹），（）（），；性可知，即 （），從而 （），）， ，（）（）； 則在）中至少有一個不動點（ ）若則（），由的凹 （）為方便起見，再給出幾個記號：，性可 知（）（）（）（）（ ） ，；（， 蘭 州 交 通 大 學(xué) 學(xué) 報第卷）（）；（，）（）； ， （，）（，）； ，（，）（，）； ， 主要結(jié)果定理 假設(shè)條件（），（）成立，又若成立條件：（ ）； （

9、） ，則對），邊值問題（）（ ，（）至少存在一個正解證明 ）由）知，（ ，（）存在一個常數(shù)，使得：（） （）（） （ ）因為，則存在使得： （，） （） ， （）于是對 ， 由式（），（）?（ ）及有：，（， ，）（）（，） ， ，（，）（）（）， ，（，）（）（）， 從而，（ ） 又由 知存在 使得：（，） （）， （ ）取，由式（），（ ）有： ，（，）（）（，） ，（，）（）（，）， ，（，）（）（）， ，（，）（）（）， ， ， ，于是，（ ） 結(jié)合式 （ ），（ ）及 引 理知在 ）中至少有一個不動點，且（ 由于在 （，）上是凹函數(shù)，于是（） ，（，），從而是邊值問題（）的一個正解 證畢定理 假設(shè)條件（），（）成立，又若成立條件： （ ）； （） ，則對）