1、第二章質點的運動一、基本概念1質點一一用來代替物體的有質量的點。（當物體的大小、形狀對所研究的問題的影響可以忽 略時，物體可作為質點。）2. 速度一一描述運動快慢的物理量，是位移對時間的變化率。3. 加速度描述速度變化快慢的物理量，是速度對時間的變化率。4. 變化率一一表示變化的快慢，不表示變化的大小。5. 注意勻加速直線運動、勻減速直線運動、勻變速直線運動的區別。二、勻變速直線運動公式1. 常用公式有以下四個vt =v0 ats 二 v0t 1 at2v； - v： = 2ass 二 V0_Vt t2 2以上四個公式中共有五個物理量：s、t、a、V。、vt，這五個物理量中只有三個是獨立的，

2、可以任意選定。只要其中三個物理量確定之后，另外兩個就唯一確定了。每個公式中只有其 中的四個物理量，當已知某三個而要求另一個時，往往選定一個公式就可以了。如果兩個勻 變速直線運動有三個物理量對應相等，那么另外的兩個物理量也一定對應相等。以上五個物理量中，除時間t夕卜，s、V0、vt、a均為矢量。一般以V0的方向為正方向，以t=0 時刻的位移為零，這時s、vt和a的正負就都有了確定的物理意義。2勻變速直線運動中幾個常用的結論 厶s=aT 2,即任意相鄰相等時間內的位移之差相等。可以推廣到sm-sn=（m-n）af vt =仝丄，某段時間的中間時刻的即時速度等于該段時間內的平均速度。2 22 2vs

3、2v° 2必，某段位移的中間位置的即時速度公式（不等于該段位移內的平均速度）可以證明，無論勻加速還是勻減速，都有vt : vs。2 23. 初速度為零（或末速度為零）的勻變速直線運動做勻變速直線運動的物體，如果初速度為零，或者末速度為零，那么公式都可簡化為:.1 .22vv = gt ， s =-at ， v = 2as ， s = -t2 2以上各式都是單項式，因此可以方便地找到各物理量間的比例關系。4. 初速為零的勻變速直線運動 前1秒、前2秒、前3秒內的位移之比為1 ： 4：9 ： 第1秒、第2秒、第3秒內的位移之比為1 ： 3 ：5 ： 前1米、前2米、前3米所用的時間之比為

4、1 :2 : 3 : 第1米、第2米、第3米所用的時間之比為1 ： ,2 -1 ：（、32 ）： 對末速為零的勻變速直線運動，可以相應的運用這些規律。5. 種典型的運動經常會遇到這樣的問題：物體由靜止開始先做勻加速直線運動，緊接著又做勻減速直線運動ai、Si、tia2、S2、t2C到靜止。用右圖描述該過程，可以得出以下結論: sj,tj,sd v QV 上a a2例1.兩木塊自左向右運動，現用高速攝影機在同一底片上多次曝光，記錄下木塊每次曝光 時的位置，如圖所示，連續兩次曝光的時間間隔是相等的，由圖可知ti t2 t3t4t5t6t7i 口m 口 i口 | 口 |口丨qI I I I丨I I丨

5、丨丨I I I丨丨I I丨丨I I I I丨I I l門口 口 口 口tit2t3t4t5t6t7A. 在時刻t2以及時刻t5兩木塊速度相同B. 在時刻ti兩木塊速度相同C. 在時刻t3和時刻t4之間某瞬間兩木塊速度相同D. 在時刻t4和時刻t5之間某瞬時兩木塊速度相同解：首先由圖看出：上邊那個物體相鄰相等時間內的位移之差為恒量，可以判定其做勻變速 直線運動；下邊那個物體明顯地是做勻速運動。由于t2及t5時刻兩物體位置相同，說明這段 時間內它們的位移相等，因此其中間時刻的即時速度相等，這個中間時刻顯然在t3、t4之間, 因此本題選Co例2.在與x軸平行的勻強電場中，一帶電量q=i.0X i0-

6、8C質量m=2.5X i0-3kg的物體在光 滑水平面上沿著x軸作直線運動，其位移與時間的關系是x=0.i6t-0.02t2,式中x以m為單 位，t以s為單位。從開始運動到5s末物體所經過的路程為m,克服電場力所做的功為J。解：須注意：本題第一問要求的是路程；第二問求功，要用到的是位移。將x= 0.i6t 0.02t2和s二v0t iat2對照，可知該物體的初速度 V0=0.i6m/s,加速度大小2a=0.04m/s，方向跟速度方向相反。由V0=at可知在4s末物體速度減小到零，然后反向做勻 加速運動，末速度大小V5=0.04m/s前4s內位移大小s = vt = 0.32m，第5s內位移大小

7、 s"=V=0.02m，因此從開始運動到5s末物體所經過的路程為0.34m,而位移大小為0.30m, 克服電場力做的功W=mas5=3Xi0_5Jo例3.物體在恒力Fi作用下，從A點由靜止開始運動，經時間t到達B點。這時突然撤去Fi, 改為恒力F2作用，又經過時間2t物體回到A點。求Fi、F2大小之比。解:設物體到B點和返回A點時的速率分別為VA、VB,利用平均速度公式可以得到VA和VB 的關系。再利用加速度定義式，可以得到加速度大小之比，從而得到Fi、F2大小之比。畫出示意圖如右。設加速度大小分別為ai、a2,有：VAABvbs VbS Va -Vb3VbVa Vb 衣Vi,V2廣

8、 VAVB, ai,a2t 2 2t 22t2t'ai : a2=4 : 5,二 Fi : F2=4 : 5特別要注意速度的方向性。平均速度公式和加速度定義式中的速度都是矢量，要考慮方 向。本題中以返回A點時的速度方向為正，因此AB段的末速度為負。三、運動圖象i. s-t圖象。能讀出s、t、v的信息（斜率表示速度）。2. v-t圖象。能讀出s、t、v、a的信息（斜率表示加速度， 曲線下的面積表示位移）。可見v-t圖象提供的信息最多，-111 - 111.1. - II. -lli 應用也最廣。tA.p小球先到B.q小球先到C兩小球同時到D.無法確定解：可以利用v-t圖象（這里的V是速率

9、，曲線下的面積表示路程S）定性 地進行比較。在同一個v-t圖象中做出p、q的速率圖線，顯然開始時q 的加速度較大，斜率較大；由于機械能守恒，末速率相同，即曲線末端 在同一水平圖線上。為使路程相同（曲線和橫軸所圍的面積相同），顯然 q用的時間較少。例5.兩支完全相同的光滑直角彎管（如圖所示）現有兩只相同小球a和 a同時從管口由靜止滑下，問誰先從下端的出口掉出？（假設通過拐角處 時無機械能損失）解：首先由機械能守恒可以確定拐角處V1> V2，而兩小球到達出口時的 速率V相等。又由題薏可知兩球經歷的總路程S相等。由牛頓第二定律，t121112V211a小球的加速度大小a=gsina，小球a第一

10、階段的加速度 跟小球/第二階段的加速度大小相同（設為a1）；小球a 第二階段的加速度跟小球d第一階段的加速度大小相同（設為a£,根據圖中管的傾斜程度，顯然有a1> a2。根 據這些物理量大小的分析，在同一個v-t圖象中兩球速 度曲線下所圍的面積應該相同，且末狀態速度大小也相 同（縱坐標相同）。開始時a球曲線的斜率大。由于兩球 兩階段加速度對應相等，如果同時到達（經歷時間為t1）V例4. 一個固定在水平面上的光滑物塊，其左側面是斜面 AB,右側面是曲面AC。已知AB和AC的長度相同。兩個 小球p、q同時從A點分別沿AB和AC由靜止開始下滑， 比較它們到達水平面所用的時間則必然有S

11、1>S2,顯然不合理。考慮到兩球末速度大小相 等（圖中Vm）, 球a：的速度圖象只能如藍線所示。因此有t1< t2,即a球先到四、運動的合成與分解1運動的性質和軌跡物體運動的性質由加速度決定（加速度得零時物體靜止或做勻速運動；加速度恒定時物 體做勻變速運動；加速度變化時物體做變加速運動）。物體運動的軌跡（直線還是曲線）則由物體的速度和加速度的方向關系決定（速度與加 速度方向在同一條直線上時物體做直線運動；速度和加速度方向成角度時物體做曲線運動）a兩個互成角度的直線運動的合運動是直線運動還是曲線運動？ 決定于它們的合速度和合加速度方向是否共線（如圖所示）。常見的類型有： a=0：勻速

12、直線運動或靜止。（2）a恒定：性質為勻變速運動，分為：v、a同向，勻加速直線運動；v、a反向，勻減速直線運動；v、a成角度，勻變速曲線運動（軌跡在v、a之間，和速度v的方向相切，方 向逐漸向a的方向接近，但不可能達到。）（3）a變化：性質為變加速運動。如簡諧運動，加速度大小、方向都隨時間變化。2過河問題如右圖所示，若用V1表示水速，V2表示船速，貝U：vvi過河時間僅由V2的垂直于岸的分量V丄決定，即t _2，與V1無關，/"v丄所以當V2丄岸時，過河所用時間最短，最短時間為t=9也與V1無關V2過河路程由實際運動軌跡的方向決定，當V1VV2時，最短路程 為d ；當V1>V2時

13、，最短路程程為vid （如右圖所示）。V3. 連帶運動問題指物拉繩（桿）或繩（桿）拉物問題。由于高中研究的繩都是不可伸長的，桿都是不可 伸長和壓縮的，即繩或桿的長度不會改變，所以解題原則是：把物體的實際速度分解為垂直 于繩（桿）和平行于繩（桿）兩個分量，根據沿繩（桿）方向的分速度大小相同求解。 例6.如圖所示，汽車甲以速度vi拉汽車乙前進，乙的速度為，V2，甲、乙都在水平面上運動，求Vi : V2V1解：甲、乙沿繩的速度分別為V1和V2COSU，兩者應該相等， 所以有 V1 ： V2=COSa : 1 例7.兩根光滑的桿互相垂直地固定在一起。上面分別穿有一個小球。 小球a、b間用一細直棒相連如

14、圖。當細直棒與豎直桿夾角為a時，求 兩小球實際速度之比Va : Vb 解：a、b沿桿的分速度分別為Vacosa和vbsina-Va Vb= ta na : 1五、平拋運動當物體初速度水平且僅受重力作用時的運動，被稱為平拋運動。其軌跡為拋物線，性質 為勻變速運動。平拋運動可分解為水平方向的勻速運動和豎直方向的自由落體運動這兩個分 運動。廣義地說，當物體所受的合外力恒定且與初速度垂直時，做類平拋運動。dABCD1E1方格問題 平拋小球的閃光照片如圖。例8.已知方格邊長a和閃光照相的頻閃間隔T,求：V。、g、Vc 解：水平方向：V。哼 豎直方向：冷二gT2,. g卡2a二 V° ,Vy謂,

15、"2； 41先求C點的水平分速度vx和豎直分速度vy，再求合速度vc：2臨界問題典型例題是在排球運動中，為了使從某一位置和某一高度水平扣出的球既不觸網、又不 出界，扣球速度的取值范圍應是多少？例9.已知網高H,半場長L,扣球點高h,扣球點離網水平距離 s、求：水平扣球速度v的取值范圍。解：假設運動員用速度Vmax扣球時，球剛好不會出界，用速度Vmin 扣球時，球剛好不觸網，從圖中數量關系可得：*s于Lg2(h -H)Vmaxs/ is)2h；Vmin=s/ 2(h-H)實際扣球速度應在這兩個值之間3.個有用的推論平拋物體任意時刻瞬時時速度方向的反向延長線與初速度延 長線的交點到拋出點

16、的距離都等于水平位移的一半。證明：設時間t內物體的水平位移為s,豎直位移為h，則末速度的水平分量Vx=V0=s/t,而豎直分量Vy=2h/t, tan:，歲=弐， 所Vxs以有s例10.從傾角為B =30°的斜面頂端以初動能E=6J向下坡方向平 拋出一個小球，則小球落到斜面上時的動能E，為J解：以拋出點和落地點連線為對角線畫出矩形ABCD,可以證明末 速度vt的反向延長線必然交AB于其中點O,由圖中可知AD :AO=2 : 3，由相似形可知vt : V0= .7 : 3，因此很容易可以得出結論：E/=14JL本題也能用解析法求解。列出豎直分運動和水平分運動的方程，注意到傾角和下落高度

17、 和射程的關系，有：h=s=V0h tan 二 s4曲線運動的一般研究方法gt或h=Vy 同樣可求得 Vt : V0=V7 :為,E/=14J丿 s=V0 ttan 二 s研究曲線運動的一般方法就是正交分解。將復雜的曲線運動分解為兩個互相垂直方向上 的直線運動。一般以初速度或合外力的方向為坐標軸進行分解。例11.如圖所示，在豎直平面的xoy坐標系內，oy表示豎直向上方向。該平面內存在沿x軸正 向的勻強電場。一個帶電小球從坐標原點沿oy方向豎直向上拋出，初動能為4J，不計空氣阻力。它達到的最高點位置如圖 中M點所示。求：小球在M點時的動能曰。在圖上標出小球落回x軸時的位置N。小球到達N點時的動能

18、E2。解：在豎直方向小球只受重力，從0M速度由V0減小到0;在水平方向小球只受電場力， 速度由0增大到V1，由圖知這兩個分運動平均速度大小之比為2 : 3，因此V0 : V1=2 : 3,所 以小球在M點時的動能E1=9JL由豎直分運動知，O-M和M-N經歷的時間相同，因此水平位移大小之比為1 : 3，故N 點的橫坐標為12。小球到達N點時的豎直分速度為V0,水平分速度為2vi,由此可得此時動能E2=40J。六、勻速圓周運動1勻速圓周運動的特點V方向時刻在變），而且是變加速運動/ a方向時刻在變）。2. 描述勻速圓周運動的物理量描述勻速圓周運動的物理量有線速度V、角速度、周期T、頻率f、轉速n向心加速 度a等等sv ,- t2 二r 2 二,n 二v lv它們之間的關系是:2V2v = r, ar v:r凡是直接用皮帶傳動（包括鏈條傳動、摩擦傳動）的兩個輪子，兩輪邊緣上各點的線速 度大小相等；凡是同一個輪軸上（各個輪都繞同一