1、.平面向量的概念及運算一【課標要求】（1）平面向量的實際背景及基本概念通過力和力的分析等實例，了解向量的實際背景，理解平面向量和向量相等的含義，理解向量的幾何表示；（2）向量的線性運算通過實例，掌握向量加、減法的運算，并理解其幾何意義；通過實例，掌握向量數乘的運算，并理解其幾何意義，以及兩個向量共線的含義；了解向量的線性運算性質及其幾何意義（3）平面向量的基本定理及坐標表示了解平面向量的基本定理及其意義；掌握平面向量的正交分解及其坐標表示；會用坐標表示平面向量的加、減與數乘運算； 理解用坐標表示的平面向量共線的條件二【命題走向】本講內容屬于平面向量的基礎性內容，與平面向量的數量積比較出題量較小

2、。以選擇題、填空題考察本章的基本概念和性質，重點考察向量的概念、向量的幾何表示、向量的加減法、實數與向量的積、兩個向量共線的充要條件、向量的坐標運算等。此類題難度不大，分值59分。預測2010年高考：（1）題型可能為1道選擇題或1道填空題；（2）出題的知識點可能為以平面圖形為載體表達平面向量、借助基向量表達交點位置或借助向量的坐標形式表達共線等問題。三【要點精講】1向量的概念向量既有大小又有方向的量。向量一般用來表示，或用有向線段的起點與終點的大寫字母表示，如：幾何表示法，；坐標表示法。向量的大小即向量的模（長度），記作|即向量的大小，記作|。向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小零向量長度

3、為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行零向量0。由于的方向是任意的，且規定平行于任何向量，故在有關向量平行（共線）的問題中務必看清楚是否有“非零向量”這個條件。（注意與0的區別）單位向量模為1個單位長度的向量，向量為單位向量1。平行向量（共線向量）方向相同或相反的非零向量。任意一組平行向量都可以移到同一直線上，方向相同或相反的向量，稱為平行向量，記作。由于向量可以進行任意的平移(即自由向量)，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量。數學中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個要素，起點可以任意選取，現在必須區分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要

4、理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的相等向量長度相等且方向相同的向量相等向量經過平移后總可以重合，記為。大小相等，方向相同。2向量的運算（1）向量加法求兩個向量和的運算叫做向量的加法設，則+=。規定：（1）；（2）向量加法滿足交換律與結合律；向量加法的“三角形法則”與“平行四邊形法則”（1）用平行四邊形法則時，兩個已知向量是要共始點的，和向量是始點與已知向量的始點重合的那條對角線，而差向量是另一條對角線，方向是從減向量指向被減向量。（2） 三角形法則的特點是“首尾相接”，由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點的有向線段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點指向被減向量的

5、終點當兩個向量的起點公共時，用平行四邊形法則；當兩向量是首尾連接時，用三角形法則。向量加法的三角形法則可推廣至多個向量相加： ，但這時必須“首尾相連”。（2）向量的減法 相反向量：與長度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量記作,零向量的相反向量仍是零向量。關于相反向量有： （i）=； (ii) +()=()+=；(iii)若、是互為相反向量，則=,=,+=。向量減法向量加上的相反向量叫做與的差，記作：求兩個向量差的運算，叫做向量的減法作圖法：可以表示為從的終點指向的終點的向量（、有共同起點）。（3）實數與向量的積實數與向量的積是一個向量，記作，它的長度與方向規定如下：（）；（）當時，的方向與的

6、方向相同；當時，的方向與的方向相反；當時，方向是任意的。數乘向量滿足交換律、結合律與分配律3兩個向量共線定理：向量與非零向量共線有且只有一個實數，使得=。4平面向量的基本定理如果是一個平面內的兩個不共線向量，那么對這一平面內的任一向量，有且只有一對實數使：其中不共線的向量叫做表示這一平面內所有向量的一組基底5平面向量的坐標表示（1）平面向量的坐標表示：在直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量作為基底由平面向量的基本定理知，該平面內的任一向量可表示成，由于與數對(x,y)是一一對應的，因此把(x,y)叫做向量的坐標，記作=(x,y)，其中x叫作在x軸上的坐標，y叫做在y軸上的坐標

7、。規定：（1）相等的向量坐標相同，坐標相同的向量是相等的向量；（2）向量的坐標與表示該向量的有向線段的始點、終點的具體位置無關，只與其相對位置有關系。（2）平面向量的坐標運算：若，則；若，則；若=(x,y)，則=(x, y)；若，則。6向量的數量積（1）兩個非零向量的夾角已知非零向量a與a，作，則AA（）叫與的夾角；說明：（1）當時，與同向；（2）當時，與反向；（3）當時，與垂直，記；（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的，范圍0°q180°。（2）數量積的概念已知兩個非零向量與，它們的夾角為，則·=·cos叫做與的數量積（或內積）。規定；向

8、量的投影：cos=R，稱為向量在方向上的投影。投影的絕對值稱為射影；（3）數量積的幾何意義： ·等于的長度與在方向上的投影的乘積（4）向量數量積的性質向量的模與平方的關系：。乘法公式成立；平面向量數量積的運算律交換律成立：；對實數的結合律成立：；分配律成立：。向量的夾角：cos=。當且僅當兩個非零向量與同方向時，=00，當且僅當與反方向時=1800，同時與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題（5）兩個向量的數量積的坐標運算已知兩個向量，則·=。（6）垂直：如果與的夾角為900則稱與垂直，記作。兩個非零向量垂直的充要條件：·O，平面向量數量積的性質。（7）平面內兩點

9、間的距離公式設，則或。如果表示向量的有向線段的起點和終點的坐標分別為、，那么(平面內兩點間的距離公式) 2向量的應用（1）向量在幾何中的應用；（2）向量在物理中的應用。五【思維總結】數學教材是學習數學基礎知識、形成基本技能的“藍本”,能力是在知識傳授和學習過程中得到培養和發展的。新課程試卷中平面向量的有些問題與課本的例習題相同或相似，雖然只是個別小題，但它對學習具有指導意義，教學中重視教材的使用應有不可估量的作用。因此，學習階段要在掌握教材的基礎上把各個局部知識按照一定的觀點和方法組織成整體，形成知識體系。學習本章主要樹立數形轉化和結合的觀點，以數代形，以形觀數，用代數的運算處理幾何問題，特別是處理向量的相關位置關系，正確運用共線向量和平面向量的基本定理，計算向量的模、兩點的距離等。由于向量是一新的工具，它往往會與三角函數、數列、不等式、解幾等結合起來進行綜合考查，是知