1、FFT 是離散傅立葉變換的快速算法，可以將一個信號變換到頻域。有些信號在時域上是很難看出什么特征的， 但是如果變換到頻域之后， 就很容易看出特征了。 這就是很多信號分析采用 FFT變換的原因。另外， FFT 可以將一個信號的頻譜提取出來，這在頻譜分析方面也是經常用的。雖然很多人都知道FFT 是什么， 可以用來做什么，怎么去做， 但是卻不知道FFT之后的結果是什意思、如何決定要使用多少點來做FFT。現在就根據實際經驗來說說 FFT 結果的具體物理意義。 一個模擬信號， 經過 ADC采樣之后，就變成了數字信號。 采樣定理告訴我們， 采樣頻率要大于信號頻率的兩倍，這些我就不在此羅嗦了。采樣得到的數字

2、信號，就可以做FFT變換了。 N個采樣點，經過FFT之后，就可以得到N個點的 FFT結果。為了方便進行FFT 運算，通常 N取 2 的整數次方。假設采樣頻率為 Fs，信號頻率 F，采樣點數為 N。那么 FFT 之后結果就是一個為 N點的復數。 每一個點就對應著一個頻率點。這個點的模值，就是該頻率值下的幅度特性。具體跟原始信號的幅度有什么關系呢？假設原始信號的峰值為A，那么 FFT 的結果的每個點（除了第一個點直流分量之外）的模值就是 A 的 N/2 倍。而第一個點就是直流分量，它的模值就是直流分量的 N 倍。而每個點的相位呢， 就是在該頻率下的信號的相位。第一個點表示直流分量（即 0Hz），而

3、最后一個點 N 的再下一個點（實際上這個點是不存在的，這里是假設的第N+1個點， 也可以看做是將第一個點分做兩半分，另一半移到最后）則表示采樣頻率 Fs，這中間被 N-1 個點平均分成N 等份，每個點的頻率依次增加。例如某點n 所表示的頻率為：Fn=(n-1)*Fs/N 。由上面的公式可以看出，Fn 所能分辨到頻率為為Fs/N，如果采樣頻率 Fs為 1024Hz，采樣點數為1024 點，則可以分辨到1Hz。 1024Hz 的采樣率采樣1024 點，剛好是 1 秒，也就是說，采樣1 秒時間的信號并做FFT，則結果可以分析到 1Hz，如果采樣 2 秒時間的信號并做 FFT，則結果可以分析到 0.5

4、Hz 。如果要提高頻率分辨力，則必須增加采樣點數，也即采樣時間。頻率分辨率和采樣時間是倒數關系。假設 FFT之后某點 n 用復數 a+bi 表示，那么這個復數的模就是An=根號 a*a+b*b ，相位就是 Pn=atan2(b,a) 。根據以上的結果，就可以計算出n 點（ n1，且 n<=N/2 ）對應的信號的表達式為： An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即 2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。對于 n=1 點的信號，是直流分量，幅度即為A1/N。由于 FFT結果的對稱性， 通常我們只使用前半部分的結果，即小于采樣頻率一半的結果。好了，說了半天，看著公式

5、也暈，下面以一個實際的信號來做說明。假設我們有一個信號，它含有2V 的直流分量，頻率為50Hz、相位為 -30 度、幅度為3V的交流信號，以及一個頻率為 75Hz、相位為 90 度、幅度為 1.5V 的交流信號。用數學表達式就是如下：S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)式中 cos 參數為弧度，所以對這個信號進行采樣，總共采樣知道，每兩個點之間的間距就是0Hz、 50Hz、 75Hz，應該分別在第-30 度和 90 度要分別換算成弧度。我們以256Hz 的采樣率256 點。按照我們上面的分析，Fn=(n-1)*F

6、s/N，我們可以1Hz，第 n 個點的頻率就是n-1 。我們的信號有3 個頻率：1 個點、第51 個點、第76 個點上出現峰值，其它各點應該接近0。實際情況如何呢？我們來看看FFT 的結果的模值如圖所示。圖1FFT 結果從圖中我們可以看到，在第 1 點、第 51 點、和第 76 點附近有比較大的值。 我們分別將這三個點附近的數據拿上來細看：1 點： 512+0i2 點： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i3 點： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i50 點： -6.2076E-13 - 2.1713E-12i51 點： 332.55 - 192i52 點： -1

7、.6707E-12 - 1.5241E-12i75 點： -2.2199E-13 -1.0076E-12i76 點： 3.4315E-12 + 192i77 點： -3.0263E-14 +7.5609E-13i很明顯， 1 點、 51 點、 76 點的值都比較大，它附近的點值都很小，可以認為是0，即在那些頻率點上的信號幅度為0。接著，我們來計算各點的幅度值。分別計算這三個點的模值，結果如下：1 點： 51251 點： 38476 點： 192按 照 公 式 ， 可 以 計 算 出 直 流 分 量 為 ： 512/N=512/256=2 ； 50Hz 信 號 的 幅 度 為 ：384/(N/2

8、)=384/(256/2)=3；75Hz 信號的幅度為192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可見，從頻譜分析出來的幅度是正確的。然后再來計算相位信息。直流信號沒有相位可言，不用管它。 先計算 50Hz 信號的相位，atan2(-192,332.55)=-0.5236,結果是弧度， 換算為角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再計 算75Hz信號的相位，atan2(192,3.4315E-12)=1.5708弧度，換算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可見，相位也是對的。根據FFT 結果以及上面的分析計算，我們就可以寫出信號的表達式了，它就

9、是我們開始提供的信號。總結：假設采樣頻率為 Fs，采樣點數為 N，做 FFT 之后，某一點 n（n 從 1 開始）表示的頻率為： Fn=(n-1)*Fs/N ；該點的模值除以 N/2 就是對應該頻率下的信號的幅度（對于直流信號是除以 N）；該點的相位即是對應該頻率下的信號的相位。相位的計算可用函數atan2(b,a)計算。atan2(b,a)是求坐標為(a,b)點的角度值， 范圍從-pi到pi。要精確到xHz，則需要采樣長度為1/x 秒的信號，并做FFT。要提高頻率分辨率，就需要增加采樣點數，這在一些實際的應用中是不現實的，需要在較短的時間內完成分析。解決這個問題的方法有頻率細分法，比較簡單的

10、方法是采樣比較短時間的信號，然后在后面補充一定數量的0，使其長度達到需要的點數，再做FFT，這在一定程度上能夠提高頻率分辨力。具體的頻率細分法可參考相關文獻。 附錄：本測試數據使用的matlab 程序 close all; %先關閉所有圖片Adc=2;%直流分量幅度A1=3;%頻率 F1 信號的幅度A2=1.5; % 頻率 F2 信號的幅度F1=50;%信號 1 頻率 (Hz)F2=75;%信號 2 頻率 (Hz)Fs=256; % 采樣頻率 (Hz)P1=-30; % 信號 1 相位 ( 度)P2=90;%信號相位 ( 度 )N=256;%采樣點數t=0:1/Fs:N/Fs; %采樣時刻%信

11、號S=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);%顯示原始信號plot(S);title('原始信號 ');figure;Y = fft(S,N); %做 FFT變換Ayy = (abs(Y); %取模plot(Ayy(1:N); %顯示原始的 FFT模值結果title('FFT模值 ');figure;Ayy=Ayy/(N/2);%換算成實際的幅度Ayy(1)=Ayy(1)/2;F=(1:N-1)*Fs/N; %換算成實際的頻率值plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2);%顯示換算后的FFT 模值結果title('幅度 - 頻率曲線圖 ');figure;Pyy=1:N/