1、第二節(jié) 二重積分的計算（一）內(nèi)容要點、在直角坐標系下二重積分的計算對 X 一型區(qū)域：（x, y）|a 三x 二b, （x）込 y *：2（x），有f(x,y)dxdy 二Db!-2(x)adX") f(x,y)dy(2.2)對 Y -型區(qū)域：（ x, y） |c _y _d, r（y） _x _ 2（y），有d 羽（y）JJf （x,y）dxdy = dy G（y）f （x,y）dx.（2.3）D二、交換二次積分次序的步驟b （p （x）（1） 對于給定的二重積分dx»（x）f（x,y）dy,先根據(jù)其積分限a _ x _ b, 1 （x） _ y _ 2（x）,畫出積分區(qū)域

2、 D （圖9-2-13）；（2） 根據(jù)積分區(qū)域的形狀，按新的次序確定積分區(qū)域D的積分限c _ y _d, '（y） _x 一 （y）,b賜（X）d M （y）（3）寫出結果 adx.；（x）f（x, y）dy 二 c dy （y）f（x,y）dx.三、利用對稱性和奇偶性化簡二重積分的計算利用被積函數(shù)的奇偶性及積分區(qū)域D的對稱性，常會大大化簡二重積分的計算在例5中我們就應用了對稱性來解決所給問題如同在處理關于原點對稱的區(qū)間上的奇（偶）函數(shù)的定積分一樣，在利用這一方法時，要同時兼顧到被積函數(shù)f （x, y）的奇偶性和積分區(qū)域D的對稱性兩方面例題選講在直角坐標系下二重積分的計算例1（ E01

3、）計算.xyd；，其中D是由直線y =1,x二2及目二x所圍成的閉區(qū)域D解一如圖，將積分區(qū)域視為X 型，11 xyd -=D2 24 1解二 將積分區(qū)域視為Y 型,Ilxyd二二D222 x2ihxydxdy 珂y 虧2dyy3y2y2例2計算 y：1 x2 _y2d匚,其中D是由直線y =x、x = 一1和y =1所圍成的閉區(qū)域D解 如圖,D既是X 型又是Y 型若視為X 型，則原積分1x2 _ y2 dy dx = _1(1 x2 _ y2)3/2 1 dx一3 (ixjdx-lf若視為Y 型，則x3 _1)dx2PI- D+-'ad2yy JrlLy2y-2dxy其中關于x的積分計

4、算比較麻煩，故合理選擇積分次序對重積分的計算非常重要例3( E02)計算二重積分i .ixyd二，其中D是由拋物線y? = x及直線y = x2所圍成D的閉區(qū)域解 如圖，D既是X 型，也是Y 型但易見選擇前者計算較麻煩，需將積分區(qū)域劃分為兩部分來計算，故選擇后者2_xxyd；=二 y2 xydx dy =-y 2 -1225dy L【y(y +2) -y dy22 Xy2 _4gy3 亠2y32例4 (E03)計算！)ey dxdy,其中d由y =x, y =1及y軸所圍D解 畫出區(qū)域D的圖形將D表成X 型區(qū)域，得D : 0 _x _1,x _ y _1,2 112ey dxdy dx ey

5、dy. 匚匚0xD2因ey dy的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示所以我們要變換積分次序.將D表成Y 型區(qū)域,得D :0乞y乞1,0乞x Zy,21 y 21211ey dxdy 二 °dy ° ey dx 二 °ey Dy°dy =治£=奔九()=扣1)2例5 ( E04)計算| yX | dxdy,其中D為一1空x乞1,°乞y乞1 D解 ！ y _ x2 | dxdy = (x2 _ y)dxdy 亠！!(y _ x2)dxdyDD1D21x2 2112Ldxf (x -y)dy +dx®-x )dy二 1x4dx 1 丄x2

6、lx4 dxH22215例6計算二重積分形.ex ydxdy,其中區(qū)域D是由x=0,x=1,y=0, y=1所圍成的矩DXefj Dydxdy =eydy =(ex 0)(ey 0) =(e 一1)2.解 如圖，因為D是矩形區(qū)域，且 ex'ex ey,所以例7 ( E05)求兩個底圓半徑都等于R的直交圓柱面所圍成的立體的體積.解 成的立體的體積.x2 - yR2及x2 zR2.利用立體關于坐標平面的對稱性只要算出它在第一卦限部分的體積Vi,然后再乘以8即可.如圖.易見所求立體在第一卦限部分可以看成是一個曲頂柱體，它的底為,0乞x乞R,】22D =( x, y)0 蘭y ER -x它的頂

7、是柱面z = . R2 x2d；=02-x dy dx 二R _ ru R2 上MR2_x2ydxo(R2 -x2)dx 二3,03故所求體積為V =8V1 =16R3/3.交換二次積分次序的步驟1 1 =例8交換二次積分 pdX p f (x, y)dy的積分次序.解 題設二次積分的積分限 ：0 _ x _1, 0 _ y _1 -X,可改寫為：0 _y_1,0_x_1_y,11 心11 _y所以 °dx ! f (x,y)dy = °dy ! f (x, y)dx.1 x例9(E06)交換二次積分o dx>2 f (x, y)dy的積分次序.解 題設二次積分的積分

8、限：0 _x_1,x2 _y _x,可改寫為：0 _y _1,y _x _ y,1x1* y所以dx? f(x,y)dy =dyj f(x, y)dx.0x0y例10 (E07)證明o dVeb(x-) f (x)dx = i (a - x)eb(x -) f (x)dx其中a、b均為常數(shù)，且a .0.證 等式左端二次積分的積分限：0蘭y蘭a,0蘭x蘭y可改寫為0蘭x蘭a,x蘭y蘭a所以f (x)dx.o dy ：eb(x_a) f (x)dx = ° dx % eb(x_a) f (x)dy = ° eb(x_a) f (x) ydy dx = ° (a _ x

9、)eb(x_a)例11( E08)交換二次積分12x _x222_x0dx 0 f(x,y)dy *dx0 f (x, y)dy的積分次序.解 題設二次積分的積分限0 蘭x 蘭1,0 Wy 蘭J2xX2JWxE2,0 蘭y 蘭2x可改寫為0yE1,1Jly2ExE2 y12今所以原式 dy一2 f(x,y)dx.""y例12交換二次積分f dx ，% 2axf (x, y)dy (a > 0)的積分次序 0'J2ax x2解 題設二次積分的積分限：0 _ x _ 2a, ： 2ax -x2 _ y _ . 2ax由y22a=x2ax -x 一x 二a 二 a2

10、 _y2a a _ a2 -y2原式二 0 dy !.y22aa 2af(X,y)dx0dya 宀2a 2af (x, y)dx £ dy y2 f (x, y)dx.2a例 13 計算積分I = 1 "dy 廣 yey/xdx + 1 dy 廣 yey/xdx.'1/4'1/21/2” yy解；.exdx不能用初等函數(shù)表示，.先改變積分次序.題設二次積分的積分限丄心,匕訪242_y蘭1,y蘭x蘭JV2可改寫為1蘭x蘭1 X?蘭y EX，所以2_x 31-=i dx 2exdy = 1 x(ee )dx e e.較I82利用對稱性和奇偶性化簡二重積分的計算例

11、14(E09)計算ny1 xf(x2y2)dxdy,其中積分區(qū)域D由曲線y = x2與y=1所D圍成解 令 g(x, y) =xyf (x2 y2),因為 D 關于 y 軸對稱，且 g(-x, y) =-g(x, y),故 11 xyf (x2 y2)dxdy =0DI1 1= ydxdy = d 2ydy.1xD1 (1 x4)dx ,25例 15 計算 I 二(xy 1)dxdy,其中 d ： 4x2 y2 _4.D解法一 先對y積分，積分區(qū)域D :”-1 蘭xW1廠2$1_x2 My 蘭21 _x2，解法1 /dx +心*X2 dx 二-？(132、3/2-x )14-1=2二.先對x積

12、分，積分區(qū)域D :2 _ y _ 2(xy 1)dx =2 二.解法三利用對稱性，I = xydxdy 亠Idxdy.DD因為積分域D關于x軸對稱，且函數(shù)f (x,y)二xy關于x是奇函數(shù)，所以.xydxdy二0.D又! dxdy =2 二.故 I =2二.D第三節(jié)二重積分的計算(2)內(nèi)容要點一、在極坐標系下二重積分的計算極坐標系下的面積微元d二二rdrdr，直角坐標與極坐標之間的轉換關系為x = r cos 工 y =rsin 從而就得到在直角坐標系與極坐標系下二重積分轉換公式11 f (x, y)dxdy 二f(rcosn,rsin Rrdrd j (3.1)DD二、二重積分的應用平面薄片

13、的重心平面薄片的轉動慣量三、在一般曲線坐標系中二重積分的計算 二重積分的一般換元分式例題選講在極坐標系下二重積分的計算2 2例1 (E01)計算 e4x y)d；，其中D是由圓x2 yR2所圍成的區(qū)域D解 如圖，在極坐標系下，積分區(qū)域D的積分限為0_2二，0豈r R,于是4x2 'y2)dc 二Rej2rdr=2 二ReGdrR 222.i- J2/2、/ 2 |R“一R2 e d(-r )=.(e|o) = .(1-e ).0例2計算二重積分| |2d'1+x2,其中D是由x2 y<1所確定的圓域.解 如圖(見系統(tǒng)演示)，區(qū)域D在極坐標下可表示為 0乞r乞1,02二,例

14、 3 (E02)確定的圓環(huán)域.2兀12珂尹(1廿)0d9“0711 In 2d 日=-ln 2 B> 2 22 二二: ln 2.0計算 SW'X2 y2)dxdy ,其中積分區(qū)域D是由1 _ x2 dvx2 y2解由對稱性，可只考慮第一象限部分 ，D=4D1,注意到被積函數(shù)也有對稱性，則有sin(二.x2y2)d x2 y2)dxdy=4 sW x2)：2#2 卄 Fsinurdxdy 二4 2drdr七 9 r例 4 (E03)2計算 2 dxdy,其中D是由曲線2 2x y = 2x所圍成的平面區(qū)域解積分區(qū)域D是以點(1,0)為圓心，以1為半徑的圓域，如圖.其邊界曲線的極坐

15、標方程為r =2cosn于是區(qū)域D的積分限為一二乞二0乞r2cos2 2所以2!與 dxdy d x22 t“r sin = iiD r2 cos2 二rdrd v邑A.o22cos vsi n2 v2 rdrcos Vnk12sin2 F v - 2_.(1 cos2v)drJ JL2一2例6計算! |(x2 - y2)dxdy ,其中D為由圓x2 y2 =2y, x2 y2 = 4y及直線Dx-$3y=0, y-3x=0所圍成的平面閉區(qū)域.解 y 一 . 3x=0 E322x y 4y: r = 4s i nx-'. 3y=0 6x2 y2 = 2 y r = 2s i n4sin

16、 -i所以(x2 y2)dxdy = %壬2前 J2 rdrD6 sin 71HJT_=60 魏sin4 日d日=15( V3)62例8 (E05)求曲線(x2y2)2=2a2(x2-y2)和x2 y2 _ a所圍成區(qū)域D的面積.解 根據(jù)對稱性有 D =4D在極坐標系下2 2 2x y ar 二a,(x2 +y2)2 =2a2(x2 -y2) r =a、；2co£T,+r =aJ2cos2日仆尹片.i兀)由丿，得父點A= a,r =aV 6/L故所求面積a 2cos2J二 dxdy =4 idxdy =4 irdrd 二 一4 6 dv rdr0'aDD1D1= 4a2 6

17、cosid t1J0I3丿例 9 (E06)求球體x2 y2 z2遼4a2被圓柱面x2 y2ax (a - 0)所截得的(含在圓柱面內(nèi)的部分)立體的體積 解如圖，由對稱性，有-y dxdy,其中D為半圓周y = . 2ax - x2,及x軸所圍成的閉區(qū)域 在極坐標中，積分區(qū)域 D:0二: 2,0乞r乞2acosv.22- -2a cos 二22V = 4 |4a2 -r 2rdrd v - 4。2 d 。 4a - r2 rdrD32 3a331o2(l - sinRdr32 3 仗 2、 =a 一一 3<2 3 丿重積分的應用例11 (E08) 求位于兩圓匸=2si nr和卜=4si nr之間的均勻薄片的重心(圖 9-3-13)解 如圖，因為閉區(qū)域 D對稱于y軸，故重心C(x,y)必位于y軸上，于是，_ _ 1x