1、-解工程問題的方法工程問題是研究工作量、工作效率和工作時間三者之間關(guān)系的問題。這三者之間的關(guān)系是：工作效率×工作時間= 工作量工作量÷工作時間= 工作效率工作量÷工作效率= 工作時間根據(jù)上面的數(shù)量關(guān)系，只要知道三者中的任意兩種量，就可求出第三種量。由于工作量的已知情況不同，工程問題可分為整數(shù)工程問題和分?jǐn)?shù)工程問題兩類。在整數(shù)工程問題中，工作量是已知的具體數(shù)量。解答這類問題時，只要按照上面介紹的數(shù)量關(guān)系計算就可解題，計算過程中一般不涉及分率。在分?jǐn)?shù)工程問題中，工作量是未知數(shù)量。解這類題時，也要根據(jù)上面介紹的數(shù)量關(guān)系計算，但在計算過程中要涉及到分率。一、工作總量是具體

2、數(shù)量的工程問題例 1 建筑工地需要 1200 噸水泥，用甲車隊運需要 15 天，用乙車隊運需要 10 天。兩隊合運需要多少天？（適于四年級程度）解：這是一道整數(shù)工程問題，題中給出了總工作量是具體的數(shù)量1200噸，還給出了甲、乙兩隊完成總工作量的具體時間。先根據(jù)“工作量÷工作時間= 工作效率”，分別求出甲、乙兩隊的工作效率。再根據(jù)兩隊工作效率的和及總工作量，利用公式“工作量÷工作效率= 工作時間”，求出兩隊合運需用多少天。-甲車隊每天運的噸數(shù)：（甲車隊工作效率）1200 ÷ 15=80 （噸）乙車隊每天運的噸數(shù)：（乙車隊工作效率）1200 ÷ 10=120

3、 （噸）兩個車隊一天共運的噸數(shù)：80+120=200（噸）兩個車隊合運需用的天數(shù)：1200 ÷ 200=6 （天）綜合算式：1200 ÷（ 1200 ÷ 15+1200 ÷ 10 ）=1200 ÷（ 80+120）=1200 ÷ 200=6 （天）答略。* 例 2 生產(chǎn) 350 個零件， 李師傅 14 小時可以完成。 如果李師傅和他的徒弟小王合作，則 10 小時可以完成。如果小王單獨做這批零件，需多少小時？（適于四年級程度）解：題中工作總量是具體的數(shù)量，李師傅完成工作總量的時間也是具體的。李師傅 1 小時可完成：-350 ÷

4、 14=25 （個）由“如果李師傅和他的徒弟小王合作， 則 10 小時可以完成”可知，李師傅和徒弟小王每小時完成：350 ÷ 10=35 （個）小王單獨工作一小時可完成：35-25=10（個）小王單獨做這批零件需要：350 ÷ 10=35 （小時）綜合算式：350 ÷（ 350 ÷ 10- 350 ÷ 14 ）=350 ÷（ 35-25=350 ÷ 10=35 （小時）答略。* 例 3 把生產(chǎn) 2191打毛巾的任務(wù)，分配給甲、乙兩組。甲組每小時生產(chǎn)毛巾 128 打，乙組每小時生產(chǎn)毛巾 160 打。乙組生產(chǎn) 2 小時后，甲組也

5、開始生產(chǎn)。兩組同時完工時超產(chǎn) 1 打。乙組生產(chǎn)了多長時間？（適于四年級程度）解：兩組共同生產(chǎn)的總?cè)蝿?wù)是：2191- 160 × 2+1=1872 （打）-兩組共同生產(chǎn)的時間是：1872 ÷（ 160+128） =6.5 （小時）乙組生產(chǎn)的時間是：6.5+2=8.5（小時）綜合算式：（ 2191- 160 × 2+1 ）÷（ 160+128） +2=1872 ÷ 288+2=6.5+2=8.5 （小時）答略。1 、筑路隊疾患修筑一條長 2400 米的公路，甲隊單獨做需要 20 天完成，乙隊單獨需要 30 天完成。如果兩隊同時開工共同修筑，只需幾天

6、就可以完成？2 、甲、乙兩個工程隊合修一條長 42 千米的水泥路，甲隊每天修 0.5 千米，比乙隊的 2 倍多 0.1 千米。（ 1 ）乙隊每天修多少千米？-（ 2 ）兩隊合修多少天可以修完？3 、紅星服裝廠計劃生產(chǎn)2800套夏季學(xué)生服，已經(jīng)生產(chǎn)了5 天，每天生產(chǎn) 80 套，剩下的 20 天完成， 平均每天要生產(chǎn)多少套？4 、王師傅加工一種零件，由原來的每個用12 分鐘降低到每個 8 分鐘，原來每天加工 300 個，現(xiàn)在每天加工多少個？-5 、用兩臺機器生產(chǎn)108 個齒輪。第一臺4.5 小時能生產(chǎn) 18 個，第二臺 1.6 小時能生產(chǎn) 8 個。兩臺機器一同生產(chǎn)一段時間以后， 還剩 45 個。兩

7、臺機器一同生產(chǎn)了多少小時？綜合算式：答略。二、工作總量不是具體數(shù)量的工程問題工程問題方法總結(jié)一：基本數(shù)量關(guān)系：工效×時間= 工作總量二：基本特點：設(shè)工作總量為“1 ”，工效 =1/ 時間三：基本方法：算術(shù)方法、比例方法、方程方法。四：基本思想：分做合想、合做分想。五：類型與方法：一：分做合想:1. 合想 ,2. 假設(shè)法 ,3. 巧抓變化 (比例 ),4.-假設(shè)法。二：等量代換：方程組的解法代入法，加減法。三：按勞分配思路：每人每天工效每人工作量按比例分配四：休息請假：方法： 1. 分想：劃分工作量。2. 假設(shè)法：假設(shè)不休息。五：休息與周期：1. 已知條件的順序：先工效，再周期，先周期

8、，再天數(shù)。2. 天數(shù)：近似天數(shù)，準(zhǔn)確天數(shù)。3. 列表確定工作天數(shù)。六：交替與周期：估算周期，注意順序！七：注水與周期：1. 順序， 2. 池中原來是否有水，3. 注滿或溢出。八：工效變化。九：比例： 1. 分比與連比， 2. 歸一思想， 3. 正反比例的運用， 4. 假設(shè)法思想 (周期 )。十：牛吃草問題：1. 新生草量， 2. 原有草量， 3. 解決問題。工程問題.當(dāng)知道了兩者工作效率之比，從比例角度考慮問題，也需時間是因此，在下面例題的講述中，不完全采用通常教科書中“把工作量設(shè)為整體1”的做法，而偏重于“整數(shù)化”或“從比例角度出發(fā)”，也許會使我們的解題思路更靈活一些.-兩個人的問題標(biāo)題上說

9、的“兩個人”，也可以是兩個組、兩個隊等等的兩個集體 .（一）兩個人的問題例 11 一件工作，由 A 做 20 天完成， B 做 15 天完成。（1）兩隊合做 5 天可以完成工程的幾分之幾？（ 2）兩隊合做 6 天，還剩下工程的幾分之幾？（3 ）兩隊合做幾天完成？解：（ 1） (11)57201512（2）1( 11 )63201510（3）1 ( 11 )6084(天)201577答：（ 1 ）兩隊合做5 天可以完成工程的7 。（2 ）兩隊12合做 6 天，還剩下工程的3 。（ 3 ）兩隊合做8 4 天107完成。【解析】此題是工作效率問題。 A 用 20天完成，總工程是“1 ”，所以甲隊的工

10、作效率是1201 ，乙對的工作效率是 1151 。2015問題（ 1 ）要求完成的工程量，用工作效率×工作時間；問題（ 2 ）要求剩余工程量，可先求出已做的工程量，用總工程量“1”減去已做工程量；問題（ 3 ）要求完成時間，用總工程量“1 ”÷總工效。-例 1.2 、一工作，甲做 9 天可以完成，乙做 6 天可以完成，現(xiàn)在甲、乙做了 3 天，余下的工作由乙繼續(xù)完成，乙需要做幾天可以完成全部工作？解：（ 1）1( 11) 31966（2 ）111(天)66答：乙需要做1 天可以完成全部工作。【解析】要解決此題，就要清楚此工程的過程，此工程是甲和乙完成一件工作，先是甲和乙一起做

11、，之后轉(zhuǎn)由乙單獨完成，求的是乙單獨完成剩下的工作時間。總工程是“1”，就可以知道：甲的工作效率是 1 91 ，9乙對的工作效率是161 。6求乙單獨完成剩下的工作時間，還需要知道乙的工作總量，乙的工作總量=1- 甲乙一起 3 天做的工作量。甲和乙 3 天的工作總量： 工作效率×工作時間工作總量11，() 396剩下：1(11)31966乙完成剩下的工作時間：利用工作總量÷工作效率工作時間111(天)66-練習(xí)一1 、 一項工程，甲隊單獨做24 天完成，乙隊單獨做16天完成。甲、乙兩隊合做，多少天可以完成？（適于六年級程度）解：把這項工程的工作總量看作 1 。甲隊單獨做 24

12、 天完成，做 1 天完成答略。2 、一項工程，由甲工程隊修建需要20 天，由乙工程隊修建需要30-解：把這項工程的工作總量看作1 ，由甲工程隊修建需要20 天，知甲工3 、一項工程，甲、乙合做5 天可以完成，甲單獨做15天可以完成。 乙單獨做多少天可以完成？（適于六年級程度）解：把這項工程的工作量看作 1 。甲、乙合做 5 天可以完成，甲、乙合需要多長的時間。=7.5 （天）-答：乙單獨做7.5 天可以完成。例 2.1 ：一件工作，甲做 9 天可以完成，乙做 6 天可以完成。現(xiàn)在甲先做了 3 天，余下的工作由乙繼續(xù)完成，乙需要做幾天可以完成全部工作？解一：把這件工作看作 1 ，甲每天可完成這件

13、工作的九分之一，做 3 天完成的 1/3 。乙每天可完成這件工作的六分之一， （ 1-1/3 ）÷ 1/6=4（天）答：乙需要做 4 天可完成全部工作.解二： 9 與 6 的最小公倍數(shù)是 18. 設(shè)全部工作量是 18 份 . 甲每天完成 2 份，乙每天完成 3 份 .乙完成余下工作所需時間是（18-2 × 3 ）÷3= 4（天.）解三：甲與乙的工作效率之比是6 9=2 3.甲做了 3 天，相當(dāng)于乙做了2 天. 乙完成余下工作所需時間是 6-2=4 （天） .-練習(xí)二1 、一項工程，甲獨做需15 天，乙獨做需12 天，現(xiàn)在甲乙合作若干天后，乙再接著做3 天，就完成了

14、全部工程，問甲乙合作了多少天？2 、一項工程，甲隊單獨做需20 天完成，如果甲乙合作12天可以完成，如果乙隊單獨做，多少天可以完成？例 3.1 ：一件工作，甲、乙兩人合作 30 天可以完成，共同做了 6 天后，甲離開了，由乙繼續(xù)做了 40 天才完成 . 如果這件工作由甲或乙單獨完成各需要多少天？解：共做了 6 天后，原來，甲做24 天，乙做24 天，-現(xiàn)在，甲做 0 天，乙做 40= （ 24+16 ）天 .這說明原來甲24 天做的工作，可由乙做16 天來代替 . 因此甲的工作效率如果乙獨做，所需時間是50 天如果甲獨做，所需時間是75 天答：甲或乙獨做所需時間分別是75 天和 50 天.練習(xí)

15、三1 、甲乙兩人合作生產(chǎn)一批零件，6 天可以完成任務(wù)，甲先1做 5 天，因有事外出，這時只完成任務(wù)的，如果接下來由4乙完成，還需要多少天？12 、一批零件，先由20 人生產(chǎn)了10 天完成任務(wù)的 4 ，余下的工程要提前10 天完成，還要增加多少人？-3 、甲乙二人合作一批零件需 20 天，甲比乙多做了這批零件的 1/9 ，甲單獨做需多少天完成？4 、一項工程， 甲乙兩隊需10 天完成，甲乙兩隊合作了幾天，因乙隊有事調(diào)離，由甲隊又干了 8 天，又知甲隊獨做需 20 天完成，問甲、乙兩隊合干了多少天？例 4.1 ： 一件工程，甲隊單獨做10 天完成，乙隊單獨做 30 天完成 . 現(xiàn)在兩隊合作，其間甲

16、隊休息了 2 天，乙隊休息了 8 天（不存在兩隊同一天休息） .問開始到完工共用了多少天時間？解一：甲隊單獨做8 天，乙隊單獨做2 天，共完成工作量余下的工作量是兩隊共同合作的，需要的天數(shù)是2+8+ 1= 11（天） .答：從開始到完工共用了11 天.解二：設(shè)全部工作量為30 份 .甲每天完成 3份，乙每天完成 1 份 .在甲隊單獨做 8 天，乙隊單獨做 2 天之后，還需兩隊合-作（ 30- 3 × 8- 1× 2 ）÷（3+1 ）= 1 （天） .解三：甲隊做 1 天相當(dāng)于乙隊做3 天.在甲隊單獨做8 天后，還余下（甲隊）10-8= 2（天）工作量 .相當(dāng)于乙隊

17、要做2× 3=6 （天）.乙隊單獨做 2 天后，還余下（乙隊）6-2=4 （天）工作量 .4=3+1 ，其中 3 天可由甲隊 1 天完成，因此兩隊只需再合作1 天 .解四：方法：分休合想（題中說甲乙兩隊沒有在一起休息，我們就假設(shè)他們在一起休息.) 甲隊每天工作量為 1/10 ，乙為 1/30 ，因為甲休息了 2 天，而乙休息了 8 天，因為 8>2 ，所以我們假設(shè)甲休息兩天時，乙也在休息。那么甲開始工作時，乙還要休息： 8-2=6( 天）那么這 6 天內(nèi)甲獨自完成了這項工程的1/10 ×6=6/1 0，剩下的工作量為1-6/10=4/10，而這剩下的 4/10為甲乙兩

18、人一起合作完成的工程量，所以，工程量的4/10需要甲乙合作：(4/10)÷ (1/10+1/30)=3 天 。所 以從 開始 到完 工共需 ：8+3=11(天）例 4.2 ：一項工程，甲隊單獨做20 天完成，乙隊單獨做 30 天完成 . 現(xiàn)在他們兩隊一起做，其間甲隊休息了3 天，乙隊休息了若干天 .從開始到完成共用了16 天 .問乙隊休息了多少天？解一：如果 16 天兩隊都不休息，可以完成的工作量是 （ 1÷ 20 ）× 16+ （ 1÷ 30 ）× 16=4/3由于兩隊休息期間未做的工作量是4/3-1=1/3-乙隊休息期間未做的工作量是1/3

19、-1/20 × 3=11/60乙隊休息的天數(shù)是 11/60 ÷ (1/30)=11/2 答：乙隊休息了 5 天半 .解二：設(shè)全部工作量為60 份 .甲每天完成 3份，乙每天完成2份.兩隊休息期間未做的工作量是（3+2 ）× 16- 60= 20 （份） .因此乙休息天數(shù)是（20- 3 × 3 ）÷ 2= 5.5（天.）解三：甲隊做 2 天，相當(dāng)于乙隊做 3 天 .甲隊休息 3 天，相當(dāng)于乙隊休息4.5 天.如果甲隊 16 天都不休息，只余下甲隊 4 天工作量，相當(dāng)于乙隊 6 天工作量， 乙休息天數(shù)是16-6-4.5=5.5 （天）.練習(xí)四1 、

20、一件工程，甲隊單獨做 10 天完成，乙隊單獨做 30 天完成 . 現(xiàn)在兩隊合作， 其間甲隊休息了 2 天，乙隊休息了 8 天（不存在兩隊同一天休息） . 問開始到完工共用了多少天時間？-2 、加工一批零件，甲單獨做20 天完成，乙單獨做30 天完成，現(xiàn)在兩人合作完成，中間甲休息了 2.5 天，乙休息了若干天（兩人沒有同事休息一天） ，這樣共用 14 天完工，問乙休息了多少天？3 、一件工作，甲單獨做需要 12 天完成，乙單獨做需要 10 天完成，現(xiàn)在甲乙合作 8 天完成任務(wù)，已知這段時間甲休息了 2 天看，那么乙休息了多少天？4 、一項工程，甲單獨做需要12天完成，乙單獨做需要8天完成，現(xiàn)在兩

21、人合作，中途休息了2 天，乙沒有休息，完成這件工程共用了多少天？-例題 5 一項工程， 甲、乙兩隊合作15 天完成， 若甲隊做 5天，乙隊做 3 天，只能完成工程的730 ，乙隊單獨完成全部工程需要幾天？1【思路導(dǎo)航】此題已知甲、乙兩隊的工作效率和是，只15要求出甲隊貨乙隊的工作效率，則問題可解，然而這正是本題的難點，用“組合法”將甲隊獨做 5 天，乙隊獨做 3 天，組合成甲、乙兩隊合作了 3天后，甲隊獨做2 天來考慮， 就可以711求出甲隊2 天的工作量 30 15×330，從而求出甲隊的工作效率。所以1711 ÷【（×3）÷（ 53）】153015

22、20 （天）答：乙隊單獨完成全部工程需要20天。練習(xí)五1 、師、徒二人合做一批零件，12 天可以完成。師傅先做了33 天，因事外出， 由徒弟接著做1 天，共完成任務(wù)的。20-如果這批零件由師傅單獨做，多少天可以完成？52 、某項工程，甲、乙合做1 天完成全部工程的24。如果這項工程由甲隊獨做2 天，再由乙隊獨做3 天，能完成13全部工程的。甲、乙兩隊單獨完成這項工程各需多少24天？3 、甲、乙兩隊合做， 20 天可完成一項工程。先由甲隊獨做88 天，再由乙隊獨做12 天，還剩這項工程的。甲、15乙兩隊獨做各需幾天完成？例題 6-一項工程，甲隊獨做 12 天可以完成。甲隊先做了3 天，再由乙隊做

23、 2 天，則能完成這項工程的1。現(xiàn)在甲、乙兩隊2合做若干天后，再由乙隊單獨做。做完后發(fā)現(xiàn)兩段所用時間相等。求兩段一共用了幾天？11【思路導(dǎo)航】 此題很容易先求乙隊的工作效率是：（2121×3 ）÷ 2 8 ；再由條件 “做完后發(fā)現(xiàn)兩段所用時間相等”的題意，可組合成由兩個乙隊和一個甲隊合做需若干天完成，即可求出相等的時間。（ 1） 乙隊每天完成這項工程的111（ 2 12 ×3）÷ 28（ 2） 兩段時間一共是111÷（×2+）× 26 （天）812答：兩段時間一共是6天。練習(xí)六1 、 一項工程，甲隊獨做15 天完成。若甲隊先

24、做5 天，4 天能完成這項工程的8乙隊再做15 。現(xiàn)由甲、乙兩隊合做若干天后，再由乙隊單獨做。做完后發(fā)現(xiàn)，兩段時間相等。這兩段時間一共是幾天？-2 、一項工程，甲、乙合做8 天完成。如果先讓甲獨做6天，再由乙獨做，完成任務(wù)時發(fā)現(xiàn)乙比甲多了3 天。乙獨做這項工程要幾天完成？3 、 某工作，甲單獨做要 12 天，乙單獨做要 18 天，丙單獨做要 24 天。這件工作先由甲做了若干天，再由乙接著做；乙做的天數(shù)是甲 3 倍，再由丙接著做， 丙做的天數(shù)是乙的 2 倍。終于完成了這一工作。問總共用了多少天？（二）、多人的工程問題例 1.一件工作，甲、乙兩人合作36 天完成，乙、丙兩人合作 45天完成，甲、丙

25、兩人合作要60 天完成，問甲一人獨-做需要多少天完成？解：(111 )21364560301 ( 11 )90 （天）30 451 (11) 60（天）30 601(11) 180（天）3036答：獨做完成，甲需 90 天，乙需 60 天，丙需 180 天。【解析】此題有別與以上 3 題，是要對工作效率更深刻的理解，尋找數(shù)學(xué)量之間的關(guān)系。1 、有一項工程，甲隊獨做需 8 天，乙隊獨做需 10 天，丙隊獨做需 20 天，現(xiàn)在由丙隊先獨做 9 天后，再由甲乙合作，問再需多少天可以完成？2 、一項工程，甲乙兩人合作8 天完成，乙丙兩人合作9 天完成，甲丙兩人合作18 天完成，如果丙一人來做，完成這項

26、工程需要多少天？-3 、一項工程，甲乙兩人合作8 天完成，乙丙兩人合作6 天完成，丙丁兩人合作12 天完成，那么甲丁兩人合作多少天可以完成？4 、一項工程，甲乙兩人合作6 天完成，乙丙兩人合作9天完成，甲丙兩人合作 15 天完成，現(xiàn)在甲乙丙三人合作需多少天？5 、生產(chǎn)一批零件， 甲乙兩人合作12 小時完成， 乙丙兩人合作 15 小時完成，甲丙兩人合作 20 小時完成，現(xiàn)在甲乙丙三人合作需多少小時？6 、某工程如果由甲乙丙合作18天完成，有乙丙丁隊合作15天完成，由甲乙丁隊合作12天完成，有甲丙丁隊合作20 天完成，由甲隊單獨做需要多少天完成？-例題 2。一項工作，甲、乙、丙3 人合做 6 小時

27、可以完成。如果甲工作 6 小時后，乙、丙合做2 小時，可以完成這項工作的23；如果甲、乙合做3 小時后，丙做6 小時，也可以完成這2項工作的 3 。如果由甲、丙合做，需幾小時完成？【思路導(dǎo)航】 將條件 “甲工作6 小時后， 乙、丙合做 2 小時，2可以完成這項工作的3 ”組合成“甲工作4 小時，甲、乙、丙合做2 小時可以完成這項工作2的”，則求出甲的工作效率。同理，運用“組3合法”再求出丙的工作效率。甲每小時完成這項工程的幾分之幾211（×2）÷（ 62）3612丙每小時完成這項工程的幾分之幾211（×3）÷（ 63）3618甲、丙合做需完成的時間為：1

28、111÷（ 12+18） 75（小時）1答：甲、丙合做完成需要75 小時。-練習(xí)二1 、一項工作，甲、乙、丙三人合做， 4 小時可以完成。如果甲做 4 小時后，乙、丙合做 2 小時，可以完成這項工13作的；如果甲、乙合做2 小時后，丙再做4 小時，1811可以完成這項工作的。這項工作如果由甲、丙合做需18幾小時完成？2 、一項工程，甲、乙合做6 天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。現(xiàn)在先由甲、乙、丙合做 3 天后，余下的乙再做 6 天則可以完成。乙獨做這項工程要幾天就可以完成？3 、一項工程，甲、乙兩隊合做10 天完成，乙、丙兩隊合做8 天完成。現(xiàn)在甲、乙、丙三隊合做4 天后，余下的工1程由乙隊獨做5 2 天完成。乙隊單獨做這項工程需多少天可以完成？4 、一件工作，甲、乙合做4 小時完成，乙、丙合做5 小時-完成。現(xiàn)在由甲、丙合做2 小時后，余下的由乙6 小時完成。乙獨做這件工作需幾小時