1、第十一節第十一節 冪級數冪級數內容內容: 冪級數冪級數求求冪冪級級數數的的收收斂斂域域. 1阿貝爾定理阿貝爾定理的端點的端點的情形及冪級數收斂域的情形及冪級數收斂域缺項缺項注意注意._ )3(2 121rxnnnnn的收斂半徑冪級數例例1nnnnnnnnxxn)3(2/)3(2) 1(lim :121112分析32x;, 3 132級數收斂時即當xx., 3 132級數發散時即當xx3r. 3:解答).(5,6) 3(0Cxxxannn點處則在點處條件收斂在若級數例例2.).(;).(;).(;).(斂散性不定發散絕對收斂條件收斂DCBA.:必是其收斂域的端點冪級數的條件收斂點注意,20 rx

2、annn的的收收斂斂半半徑徑設設冪冪級級數數解解當當知知 1nnnxa例例3 3 ).(30發發散散點點收收斂斂點點為為冪冪級級數數 nnnxa,1,5 ,4 ,3,2, 1 ,0 , 1,2中中試試指指出出點點ee 哪些點哪些點.22時時發發散散時時收收斂斂， xx ,2330時時收收斂斂當當故故 xxannn,23時時發發散散 x,)5 , 1(4 , 3 , 2為收斂點為收斂點于是于是 e.), 5()1 ,(, 0 , 1, 21為發散點為發散點 e._ ) 1( , 3 110的收斂區間為則冪級數的收斂半徑為設冪級數nnnnnnxnaxa例例4 4110 :nnnnnnxnaxa分析

3、 微分 3)(收斂半徑亦是 2x乘以11nnnxna11) 1(nnnxna)313(x 代換.(-2,4) :解答例例5 5 ,3110處處發發散散在在設設冪冪級級數數 xxannn解解 01133nnnax處處因因時時，又又當當12 x,12處處收收斂斂在在 x.,并并證證明明之之指指出出其其收收斂斂半半徑徑,21時時故故當當 x 011nnna,20發發散散 nnna .10發發散散 nnnxa 收收斂斂， 02nnna .1,2210收收斂斂時時故故 nnnxax.2 R收收斂斂半半徑徑為為例例6 6 試試寫寫出出的的收收斂斂域域為為若若,4 ,40 nnnxa解解.40收收斂斂已已知

4、知 nnna.,012并并說說明明理理由由的的收收斂斂域域 nnnxa時時，當當2 x,20121收收斂斂時時若若 nnnxax,4210矛矛盾盾處處收收斂斂在在推推得得 xxxannn .2,2012 的的收收斂斂域域為為故故nnnxa 012nnnxa,420收收斂斂 nnna,02也也收收斂斂則則 nnnxa .212的的收收斂斂域域求求級級數數 nnnax.)(,1 nnxu用用比比值值法法判判缺缺項項級級數數解解 xuxunnn1lim 時時，級級數數收收斂斂；即即時時),(,2222 aax例例7 7 nnnnnaxax222122lim 122 ax發發散散，時時，原原級級數數為

5、為當當, 1221 nax 22,22aa故故所所求求收收斂斂域域為為 . 12) 1( 02的收斂域求冪級數nnnx例例812) 1(/32) 1(lim :22)1(nxnxnnn解121limnnx11 ,11 , 111 , 0 xxx; , 02 11 級數收斂時即當xx., 0 2 11 級數發散時或即當xxx012) 1( , 2 2nnnx級數成為時當012) 1(nnn.,得其收斂由萊布尼茲判別法. , 121 , 00發散級數成為時當nnx. )0 , 2 冪級數的收斂域為2.冪級數的展開及及冪冪級級數數的的運運算算展展開開克克勞勞林林級級數數利利用用五五個個初初等等函函數

6、數的的麥麥xe11 ),( xx 2!21x ,!1 nxnx 11,12 nxxx)1,1( x ! )12()1(12nxnnxsin3x !33x !55xxcos41 !22x !44x ! )2()1(2nxnnmx)(5 1xm 2!2)1(xmm nxnnmmm!)1()1(),( x),( x)1,1( x)(ln2x 1x 221x 331x 11)1(nnxn 1, 1( x1 .1 )( 22處展開為泰勒級數在點將函數xexfxx例例9 92)1(1)( :xeexf解nnxne 201) 1( !1 ) 1(2xnnxne2 01) 1( !1 )(x).( )1ln(

7、)( 32慮端點上的斂散性不必考冪級數的展開為將函數xxxxxf例例1010)1ln()1ln()( :2xxxf解法一nnnnnnxnxn)() 1() 1(21111) 11 , 11(2xxnnnnnnxnxn21111) 1() 1(4332432xxxx) 11(xxxxf11ln)( :4解法二)1ln()1ln(4xxnnnnnnxnxn)() 1()() 1(11411) 11, 11(4xxnnnnxnxn114114332432xxxx) 11(x例例11.11)(2的冪級數為展開函數xxxxf311)(:xxxf解) 1()()1 (303xxxnn01303nnnnxx

8、431xxx) 1(x例例1212.arctan)(的的冪冪級級數數為為展展開開函函數數xxxxf212 22222122121211)()()(:xxxxxxxf 解解22222122122xxxx )()()()()(12202 xxxfnn)()()(0fxfxf dxxfx )( 0 xnnndxx00212)(1201212 nnnxn)()(11 x例例1313 的的冪冪展展成成將將xxxxf21ln 分析分析.,積積分分再再展展開開求求導導 )1ln(2xxxf 因因解解.,并并求求其其收收斂斂區區間間級級數數 2122111 xx 6426425314231211xxx 11

9、x而而,112x 積積分分得得 21lnxx ,上上式式為為交交錯錯級級數數時時當當1 x 121122642125310 nnnnun 753764253154231321xxxx, 0lim,1 nnnnuuu且且,1級級數數收收斂斂時時當當 x,由由萊萊布布尼尼茨茨判判別別法法知知 .1 , 1: 因因此此收收斂斂區區間間為為例例1414 ,0,21;0,cos12xxxxxf設設解解 xxxfcos112 0222111nnnnxx！ 12221nnnnx，！ 2321!2221nnnxnnxf故故 .的的冪冪級級數數展展開開為為將將xxf 3.求級數和的麥克勞林級數的麥克勞林級數或或

10、利用等比級數利用等比級數xxexcos,sin,.2) 1( , )3( 111的和并求收斂數項級數的收斂域及和函數求冪級數nnnnnnxn例例15153)3()3)(1(lim :1xxnxnnnn解; , 42 13 級數收斂時即當xx; ,) 1( , 21發散級數成為nnnx . , 4 2 13 級數發散時與即當xxx. , 4,1發散級數成為nnx).4 , 2( 冪級數的收斂域為)11(,)( 1ynyySnn令112)1(nnnn1)21(21nnn)21(21S9111)( nnnyyyS101)(nyndynyy1)(nnyyyyy12)1(yy例例1616.!12的收斂域

11、與和函數求冪級數nnxnn0!/)!1() 1(lim:22nnnnn解),(收斂域nnnnxnnxnn112)!1(!nnnnxnxnn11)!1(1)!1(11020!1!1nnnnxnxnxxxeex2)(x例例1717.2)!12()22() 1(120收斂域與和函數的求冪級數nnnxnn0)!32()!12()2)(22() 1()2)(42() 1(lim:12321nnxnxnnnnnn解),(收斂域1201)!12()22() 1()(nnnxnnxS令xxxsin2cos120)2()!12()22()1()(nnnxnnxS120120)2()!12()1()2()!12(

12、)12()1()(nnnnnnxnxnnxS)2sin()2()!2()1()2(20 xxnxnnn)2sin()2cos()2(xxx. 2) 1() 1( 02的和求級數nnnnn例例18180002)21()21)(1(2) 1() 1( :nnnnnnnnnnn解32)21(11)21( 0nn其中02) 1()( nnxnnxS設) 11() 1(22xxnnnn210 )( nnxnxdxxS則 200 )(nnxxxdxdxxSxx12xxxS1)(2) 11()1 (23xx220)21)(1(41)21)(1(nnnnnnnn)21(41S2742722322742) 1(

13、) 1(02nnnnn4. 求高階導數值 0nnnxaxf)(!)()(nfann0 一性知一性知利用冪級數展開式的唯利用冪級數展開式的唯例例1919).(,)ln()()(011nfxxxf求求展開式展開式的泰勒級數的泰勒級數利用函數利用函數 xxxf 111)ln()(:解解)()(11011 xxxnnnnnnnnnkkxk 1111)(nkknknf11)() 1(!)0(nkknknf11)() 1(!)0(?,lim01收收斂斂半半徑徑求求不不存存在在若若 nnnnnnxaaa解解 nnnnnnaa121221limlim11 .,61;,23為為偶偶數數為為奇奇數數nn.,lim

14、1比比值值法法失失效效不不存存在在nnnaa ？收收斂斂半半徑徑如如求求Rxnnnn 0212求收斂半徑的幾種方法求收斂半徑的幾種方法方法一方法一由由根根值值審審斂斂法法 )( 2212limlimxxunnnnnn ;,2冪冪級級數數收收斂斂時時當當 x,冪冪級級數數發發散散,2時時當當 x.2 R故故收收斂斂半半徑徑為為;,23,0原原級級數數收收斂斂收收斂斂時時當當由由比比較較法法知知 nnnx nnnnnnnxxx2321221 方法二方法二.,210原原級級數數發發散散發發散散時時當當 nnnx.2232100的的收收斂斂半半徑徑都都為為與與而而 nnnnnnxx.2也也是是因因此此

15、原原級級數數的的收收斂斂半半徑徑 0212nnnnx .12,20發發散散原原級級數數為為時時又又當當 nnx,2,原原級級數數發發散散時時當當因因此此 x ,2212200時時收收斂斂在在及及因因 xxxnnnnnnn方法三方法三. 2: R故故其其收收斂斂半半徑徑為為.2時時收收斂斂所所以以原原級級數數在在 x 0212nnnnx .!的的收收斂斂域域求求級級數數012 axannnn !limlimnaanaannnnnn22111 解解 ,;,lim110112aaannn ;,1 收收斂斂域域為為時時故故當當Ra.0,0,1處處收收斂斂級級數數僅僅在在時時當當 xRa備例1 ,310

16、處處條條件件收收斂斂在在設設 xxannn 013nnna知知,3,4處處則則在在設設 xR.4 R故故備例2解解.,并并說說明明理理由由試試確確定定其其收收斂斂半半徑徑 R.4.4不不可可能能大大于于下下證證故故有有RR .,矛矛盾盾必必絕絕對對收收斂斂,40條條件件收收斂斂 nnna 00413nnnnnnaa即即備例3 ,000時時收收斂斂當當若若 xbbxannn ,處處收收斂斂在在因因00 xbxannn解解 處處發發散散，在在又又bxbxannn20 .bR 所所求求收收斂斂半半徑徑,Rbx試試指指出出其其收收斂斂半半徑徑時時發發散散當當2 .并并證證明明之之,時時故故當當bbbx 0 絕絕對對收收斂斂。 0nnnbxa時時，故故當當bbbbx 2 發發散散， 0nnnbxa備例備例4 4 .2:,!02xxfxfnxxfnn 驗驗證證故故因因,01limlim21 nxuunnnn解解 內內收收斂斂。，在在 02