1、實用文檔n± u(n)=1.6479 垃0007不確定度與數據處理誤差與不確定度1 .誤差與不確定度的關系(1)誤差：測量結果與客觀真值之差x=x-A公認值一如物理常數等其中A稱為真值，一般不可能準確知道，常用約定真值代替：J標準值一更高精度儀器測量結果理論值一理論公式計算結果對一個測量過程，真值 A的最佳估計值是平均值 Xo在上述誤差公式中，由于 A不可知，顯然x也不可知，對誤差的最佳估計值是不確定度u(x)(2)不確定度：對誤差情況的定量估計，反映對被測量值不能肯定的程度。通常所說“誤差” 一般均為“不確定度”含義。不確定度分為 A B兩個分量，其中A類分量是可用統計方法估計的分

2、量，它的主要成分是隨機誤差2 .隨機誤差：多數隨機誤差服從正態分布。定量描述隨機誤差的物理量叫標準差。(1)標準差與標準偏差標準差 燈Jlim Z(Xi -A)1 .J k.真值A不可知，且測量次數 k為有限次用標準偏差S代替標準差Z(Xi-X)2S(x)=k-1實際上也不可知，于是：單次測量的標準偏差結果表述:Xi真值的估計值± S(x)(置信概率、68.3%)單次測量標準差最佳估計值S(x)的物理意義：在有限次測量中，每個測量值平均所具有的標準偏差。通常不嚴格區分標準差與標準偏差，統稱為標準差。(2)平均值的標準差真值的最佳估計值是平均值，故結果應表述為：X ± S(x

3、)(置信概率-68.3%)真值的最佳式平;總滁準差最佳估計值其中S(X) JZ(Xi -X)2平均值的標準偏差 k(k-1)(并不是只做一次測量)例1：某觀察量的n次獨立測量的結果是X, X2,，Xn。試用方差合成公式證明平均值的標準偏差是樣本標準偏差S(X)S(X) =-。n、X解：X =一L由題知X相互獨立，則根據方差合成公式有nu(X)u2(X1)u2(Xn)n利用樣本標準偏差白定義，可知u(X)=S(Xlu(X) =S(X)=S2(X)S2(X)ni=1,2, nnS2(X)= S(X) n . n3 .系統誤差與儀器誤差(限)(1)系統誤差：在同一被測量的多次測量過程中，保持恒定或以

4、可以預知方式變化的那一部分誤差稱為系統誤差。 已被確切掌握了其大小和符號的系統誤差，稱為可定系統誤差；對大小和符號不能確切掌握的系統誤差稱為未定系統誤 差。前者一般可以在測量過程中采取措施予以消除或在測量結果中進行修正；而后者一般難以作出修正，只能估計出它 的取值范圍。在物理實驗中，對未定系統誤差的估計常常利用儀器誤差限來進行簡化處理。(2)儀器誤差(限)：由國家技術標準或檢定規程規定的計量器具的允許誤差或允許基本誤差，經過適當簡化稱為儀器誤差限，用以代表常規使用中儀器示值和(作用在儀器上的)被測真值之間可能產生的最大誤差。常用儀器的儀器誤差(限)：長度測量儀器：游標卡尺的儀器誤差限按其分度值

5、估計；鋼板尺、螺旋測微計的儀器誤差限按其最小分度的1/2計算。 指針式儀表：A«= a%Nm式中M是電表的量程，a是準確度等級。數字儀表：儀=a%N<+b%|n 或儀=a%N：+n字式中a是數字式電表的準確度等級， NX是顯示的讀數，b是誤差的絕對項系數， M是儀表的?t度值，n代表儀器固定項誤 差，相當于最小量化單位的倍數。電阻箱：&i=Zai%R+R0式中R是殘余電阻，R是第i個度盤的示值，a是相應電阻度盤的準確度級別。直流電位差計：儀=a% (Ux 業)10式中a是電位差計的準確度級別，U是標度盤示值，U0是有效量程的基準值，規定為該量程中最大的10的整數哥。直流

6、電橋:儀=a%(RX +R0)10式中R是電橋標度盤示值，a是電橋的準確度級別， R是有效量程的基準值，意義同上。3 3) B類不確定度的處理儀、靈敏度誤差靈和估計誤差限估。其中靈敏在物理實驗中，B類不確定度的來源通常包括以下三種：儀器誤差 020 2度誤差可表不為靈=02 = 0.2SAn/AxB類不確定度與各種誤差限之間的關系為ub=: 。.34 .不確定度的合成(1)直接測量 X： Ua(x) , Ub(x)u(x) Ru2(x)為2 (x)(稱為合成不確定度)(2)間接測量y=f(x1, x2,，xn)其中x1, x2,，xn為相互獨立的直接測量量u(y)=；Z(£ )2u2

7、(xi)或嗎=|£(1)12(為)i 二xiy . i 為(3)最終結果表述形式：Nu(N)= (單位)結果有效數字的確定原則：不確定度u(N)只保留一位有效數字；測量結果N與不確定度u(N)小數位數對齊。所對應的=50 58例2:用分光計測棱鏡材料的折射率公式為n=2。已測得A=60力'±2',黃光(汞燈光源)Asin 一23',則黃光所對應的折射率n±j(n)= 1.6479 a0.0007。A 、60 0 50 58sin- sin； A、. A解： n =2- =2：=1.6479lnn=lnsin-lnsin.A. 60 022s

8、in sin 22dnnA5 11cos(dAd、)222A 、sin2cosA1dA2 2A sin 21 ,二2(ctgA 1 A 、-ctg)dA ctgd、222u(n) 1 A 、 A 2 21 1 2 A 、2/.、-=4(ctg ctg 2) u (A) 4ctg 2u ()60 0 50 582-ctg60 0、2/21809)(一')260 二1 + 24ctg60 0 50 582180)2 n=0.000426u(n) =n 幽=1.6479 0.000426 =0.0007實用文檔5.有效數字及其運算法則(1)有效數字：由若干位可靠數字加一位可疑數字構成。在不計

9、算不確定度的情況下，結果的有效數字由運算法則決定。(2)運算法則 加減法：以參加運算各量中有效數字最末一位位數最高的為準并與之取齊。N=A+BGD 則 u(N)= u1 2(A) u2(B) u2(C) u2(D)取決于u(A)、u(B)、u(C)、u(D)中位數最高者，最后結果與之對齊。 乘除法：以參加運算各量中有效數字最少的為準，結果的有效數字個數與該量相同。AB N -CD,則u(N)向(A) 1+a9)7+冰)7+中(口)1 Eg 1石后g取決于其中相對不確定度最大者，即有效數字個數最少者。混合四則運算按以上原則按部就班執行。例3：某物理量的計算公式為丫=k1 1.6d/H表示式中分母

10、的值具有 4位有效數字，正確測 H的方法是(d )。,其中k為常數，1.6為準確數，H= 16cmx d=0.1500cm。若使丫的(a)(c)解:用游標卡尺估讀到 cm千分位用米尺只讀到 mniu(d)1.6d 1.6 0.1500 八=0.015(b)16分母用米尺估讀到cm百分位 用米尺只讀到cm位1+16d/.015為4位有效數字H即H只需2位有效數字即可，故應選 (d) 特殊函數的有效數字：根據不確定度決定有效數字的原則，從不丟失有效位數的前提出發，通過微分關系傳播 處理。例4：tg452' =1.00116423解:令 y=tg x ,其中 x=45 2'最多可取幾

11、位有效數字？取.：x=1=0.00029(rad)601802cos 45 2M0.000294.00058即小數點后第四位產生誤差tg45 2 =1.0012 ,有五位有效數字。例5:二x bb一， ,e , 一,對實驗數據進行處理的計算結果如下表所示。S Sx=0.28144mmb=5.9325mmb' =0.7855mmS=27.65cmS' =75.90cmu(b)/b =0.025(b' )/b' =0.025(S) =0.5cm(S) =0.5cmx)=2.010 M10-4mm(b)=0.005mm(b' )=0.005mm(S) =0.0

12、5cm(S) =0.05cm雙棱鏡測波長的計算公式為O注：下標1代表來自方法誤差，下標 2代表來自儀器誤差。要求：(1)給出測量結果的正確表述(包括必要的計算公式)(2)定量討論各不確定度的分量中，哪些是主要的，哪些是次要的，哪些是可以忽略的？如果略去次要因素 和可以忽略項的貢獻，不確定度的計算將怎樣簡化？結果如何？解：(1)也亞二。281445.9325 0.7855 =5.86716 10Mmm(276.5 759.0)x 2b 2b S S S Sd' djx) db db dS=十-T -dS實用文檔22222暇+陶+黑黑、藁1 =0.0111其中U(Ax)=2.010父10&

13、quot; =0.000714 ；x 0.28144"(b)4(b)/J314(b)0.025ch”。=X=- =0.00722_2_2_2 4 2b 2b _273 b2,/3t ,U(b2 _ 產 I + 1U2(b)IU2(b).：2(b)/,30.0050 00024a' 一名."|L2b . "iW = = =0.0002432b 2b 2 5.9325,3U1 (b) _a(b” J3-1 M &(b)_°.025 _0 007222 2b'2b'2召b，2v3|U2(b) _& (b ) / 於0.0

14、05一-0 00184、2b'2b'2 X0.7855V3'U1(S)& (S) / <30.5一 S十S- S +S，l u.uury(27.65 +75.90) J3|U2(S) _a2(S)/v3-0.05-0 000279|S +S，S +S'(27.65 +75.90)V3-. 2.2. 2u(b) U1(b)U2(b)IL2b,: , I 2b,: . " |L 2b-u(S) 2 二 U1(S)_ 2 U2(S) 2S ' S'：|_S ' S'：" g SU1(S) Ai(S)/V

15、3 S +S' - S +S' u2(S) .：2(S) / ,3 S S S S='= 0.00279(27.65 75.90),30.05=0.000279(27.65 75.90) , 3U(S ) 2 _ U1(Si 2 U2 2 s s,:|_s ' s,:" ILs-S_ U( )=587 _7nm于是得U( )= 3=5.86716 10 H 0.0111=6.53 10-6mm_4避)_和_U1(S2 ,可以忽略的因S S S S(2)由前面的計算可知，不確定度主要來自U1 (b)和 U1(b) ,次要因素是 Ubj2b 2b2b素是3

16、、山®、粵和2。x 2b S S S SJ2. -2U1U1(b)=：1(b) =0.0102IL 2b . IL 2b .6b貝 U 有u( )=6nm± u( )=587 +6nm 比嚴格計算的結果稍小但相差無幾。二、數據處理方法1,列表法：按一定規律把數據列成表格。列表原則：(1)表格的標題欄中 注明物理量的名稱、符號和單位 ；(2)記錄原始數據(如記錄刻度數，而不是記錄長度)；(3)簡單處理結果(如算出長度)或函數關系；(4)參數和說明(如表格名稱、儀器規格、環境參數、常量以及公用單位等)2.作圖法：把實驗數據用自變量和因變量的關系作成曲線，以便反映它們之間的變化規

17、律或函數關系。作圖要點：(1)原始數據列表表示 見列表法；(2)用坐標紙作圖，圖紙大小以不損失有效數字和能包括所有點為最低要求，因此至少應保證坐標紙的最小分格 (通常為1mm以下的估計位與實驗數據中最后一位數字對應；(3)選好坐標軸并標明有關物理量的名稱(或符號)、單位和坐標分度值。其中分度比例一般取1、2、5、10較好，以便于換算和描點；(4)實驗數據點以+、X、 、 、等符號標出，一般不用細圓點“ ”標示實驗點；光滑連接曲線 并使實驗點勻稱實用文檔地分布于曲線兩側(起平均的作用)；(5)圖解法求直線斜率和截距時，應：在線上取點(不能使用實驗點)；所取兩點要相距足夠遠 (以提高精度)；在圖上

18、要注明所取點的坐標 。例6:拉伸法測彈性模量的載荷一一伸長曲線如圖所示，圖上至少有 不規范。它們是 坐標軸應標注物理量和單位 ，軸上缺少分度值 目標記標出 ， 曲線應光滑連接 ，計算點坐標標注不規范 。3.最小二乘法與一元線性回歸法(1)最小二乘法：對等精密度測量若存在一條最佳的擬合曲線，那么5處繪制錯誤或 實驗點應以醒各測量值與這條曲線上對應點之差的平方和應取極小值。例7:試用最小二乘原理推導直線方程y=kx中回歸系數k的計算公式。n解：根據最小二乘原理應有£ (yi -歐)=mini 1nnnn即 v (yi -kxi )2 =0 .二 2(yi -kxi)(-x ) =07.

19、Xi yi -kv x =0.k i 1i 1i Ji 1于是得、Xi yixy(2) 一元線性回歸法:由最小二乘原理，應有二 k 2x yi -(a bxi) Saia.二 kx yi -(a bx。2I ; b i m解之得2 xi設直線方程y=a+bx,其中自變量_k. _.一 2.' yi 一(a bxj =mini 1x的誤差可略=0k三 2yi (a+bxi)(1)=0k£2匹一(a +bxi)(為)=0kkak +bZ xi =£ yiiTiT：kkkax x bx x2 八 xiyi,i 1idi =1" xyi -ky xiyi，xj2

20、-kx x2“ xiyi ' xiyi yx2a =；272(“為)-Q x：xy - xy-22x - x=y -bxr物理意義r| =1|r| 兩 1r >0r <0r : 0(3)相關系數r：用于檢驗x和y之間是否存在線性關系。y = a +bx通過全部實驗點xi、yi之間線性相關強烈yi隨xi增加而增加yi隨xi增加而減小xyi之間無線性關系 t擬合直線為與x軸平行的直線例8:根據所給相關系數r作出實驗點分布草圖:實用文檔 r=0.9993 r=0.015(4)回歸法使用要點： 自變量x測量誤差可略，即應選擇測量精度較高的物理量作自變量； 因變量y為等精度測量 或近

21、似等精度測量，即 u(y。近似相等；作線性關系的檢驗：利用物理規律或作圖等其它方法確認線性關系的存在；或檢驗相關系數是否滿足| r | .1。例9:實驗線路及測量數據如下，用一元線性回歸法計算電壓表內阻R (寫出計算公式即可),E RR ()20.050.0100.0200.0300.0400.0V (V)2.802.722.602.382.202.04解：根據線路圖可彳導E = R + RV =里R RVRVV VulR1 |_°11, -°1L = b.005,0.00025 】計算R 1精度：R-2°.° 400.0可知R的精度較高VU(1/V)

22、u(V) 0.01 0.011"A” j-=- I, = 0.0036,0.005、1/V V 12.80 2.041111故將公式變形為-=R+- 令 -=y R三x并設直線方程y=a+bxVERVEV貝 U有a = b =-=-RV =亙EERVRVb4.逐差法(1)測量次數為偶數的逐差法r 一設自變量和因變量之間存在線性關系，并有一組實驗數據：3X1' ,xn,xn" x2n¥，yk,yn+，y2n隔n項逐差，可得到b1 =yn、-y1，bn = y2n yn取平均值xn 1 -七x2n - *n1 .n對于自變重x等間隔分布的情況，有 xn+ -x

23、i =Anx 于是 b=乙(yn+-yi)ni nx i =1求得 后，可由公式E yi =a+b£xi求出a yi -bZ xi(不要求計算不確定度)t (C)85.080.075.070.065.060.055.050.0R ()0.36220.35650.34990.34370.33800.33240.32700.3215例10:已知R=R(1+t),實驗數據如下，用逐差法求電阻溫度系數解：R=R+ R0t 并設 y=a+bx則有a= R0b= R0=a而利用逐差法可得:ba =一 a it =t i +4-1 i(c)R= Ri+4-R120.00.0242220.00.02

24、41320.00.0229420.0平均20.00.02220.0233 5于是有R 0.02335 =0.0011675.t20.011=1(% Rt) =1(2.7312 -0.0011675 540.0) =0.2626n80.0011675與=4.45 父10，(1/C)a 0.2626i12345平均N= n i +5- n500500500500500500d500=X+5-X (mm)0.161600.160500.15970 :0.158850.157850.159702d5002 0.15970500= 638.8(nm)u( ) u(d 500) 2 u(N) 2一二,d5

25、00_ N其中U(d500 ) = ：, Ua (d 500 ) ub (d500 )ua (d 500 ) 二% (di -d 500 )2 i 500=0.000648(mm)ub (d 500 )5 4 0.00005 :0.0000289(mm) 、311:邁克爾遜干涉儀實驗數據處理條紋吞吐n0100200300400M鏡位置X (mm)34.4830534.5158534.5483034.58060P 34.61300條紋吞吐n500600700800900M鏡位置X (mm)34.6446534.6763534.7080034.73945P 34.77085解法由逐差法可得u()=

26、 638.8.0.159700.000648 20.5 u(N)=ub(N) =- =0.289 -J30.2892，一 二2.6(nm) 5002u( )=639 二3(nm)解法二： 由逐差法可得i12345平均N'=(ni+5-ni )/5100100100100100100d100=(X+5-X) /5 (mm)0.0323200.0321000.0319400.0317700.0315700.031940=2"031940 =638.83)u(Z)Ru(d200)T + Lu(Nj fN100九 H d100 1! N'其中u(d100) ua(d100)

27、ub (d100 )ua (d100 ) =“ (di -d10。)25 40.00005 一= 0.000130(mm)ub(d100 )0.00000577(mm)5 3.1u(d100) T - F(N ) I2，d100_ N= 638.8(0.5u(N ) =5 (N ) = =0.0577、5V30.00013020.0577 22 2 ： 2.6(nm)0.03194021002u( )=639 :3(nm)(2)測量次數為奇數的逐差法 處理原則：去掉中間的數據。例12：重新處理邁克爾遜干涉儀實驗數據條紋吞吐n0100200300400M鏡位置X (mm)34.4830534.5158534.54830P 34.5806034.61300條紋吞吐n5006007008009001000M鏡位置X (mm)34.6446534.6763534.7080034.7394534.7708534.80280解：去掉中間的數據后為條紋吞吐n0100200300400M鏡位置X (mm)34.4830534.5158534.5483034.5806034.61300條紋吞吐n6007008009001000M鏡位置X (mm)34.6763534.7080034.73945P 34.7708534.80280由逐差法可得i12345平均N=ni+6- ni