1、第十八章平行四邊形 單元測試卷一、選擇題（每小題4分,共28分）1. 下列命題： 平行四邊形的對邊相等； 對角線相等的四邊形是矩形； 正方形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形； 一條對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形其中真命題的個數(shù)是（）A.1B.2C.3D.42. 如圖，在?ABCD中,AD=8,點E,F分別是BD,CD的中點，則EF等于A.2B.3C.43如圖，矩形紙片ABCD中,AB=4,BC=6,將ABC沿AC折疊，使點B落在點E處,CE交AD于點F則DF的長等于()Ec3575a. 3b 5C. 3D44如圖，四邊形ABCD是菱形,A（3,0）,B（0,4）,則點C的坐標(biāo)為（）A.(

2、-5,4)B.(-5,5)C.(-4,4)D.(-4,3)A. 鄰邊不等的平行四邊形B. 矩形EF匚C. 正方形D. 菱形6. 在矩形ABCD中,AB=2,AD=4,E為CD的中點,連接AE交BC的延長線于F點,P為BC上點，當(dāng)/ PAE=Z DAE時,AP的長為 （）A.41797. 如圖所示,E,F分別是正方形ABCD的邊CD,AD上的點,且CE=DF,AE,BF相交于點0,下列結(jié)論AE=BF;AE丄BF;A0=0E;SAOB =S四邊形DEOF中錯誤的有 （）F DA.1個B .2個C.3個D.4個二、填空題（每小題5分,共25分）8. AABC中，點D,E分別是AB,AC的中點,DE=

3、7,則BC=.9. 已知矩形的對角線AC與BD相交于點0,若A0=1,那么BD=10. 如圖 在?ABCD中,AE丄BC于點E,AF丄CD于點F若/ EAF=56°則/B=11. 如圖，在菱形ABCD中，/DAB=60 ,AB=2,則菱形ABCD的面積為12. 如圖所示，正方形ABCD的邊長為6,MBE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)在對角線AC上有一點P使PD+PE的和最小,則這個最小值為、解答題（共47分）13. （10分）如圖，在?ABCD中,DE丄AB,BF丄CD,垂足分別為E,F.求證:MDECBF.求證:四邊形BFDE為矩形.14. （12分）如圖,將矩形ABCD沿對

4、角線AC翻折，點B落在點F處,FC交AD于點E.（1）求證：AAFEBA CDE.若AB=4,BC=8,求圖中陰影部分的面積15. (12分)如圖,在平行四邊形ABCD中，邊AB的垂直平分線交AD于點E,交CB的延長線于 點F連接AF,BE.求證:mGEBGF.試判斷四邊形AFBE的形狀，并說明理由.16. (13分)我們給出如下定義：順次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫中點四邊形.(1)如圖1,在四邊形ABCD中，點E,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點.求證:中點四邊形 EFGH是平行四邊形.(2) 如圖2,點P是四邊形ABCD內(nèi)一點，且滿足PA=PB,PC=PD,/

5、APB= / CPD,點E,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點，猜想中點四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想.(3) 若改變中的條件，使/ APB= / CPD=90其他條件不變，直接寫出中點四邊形 EFGH的形 狀.(不必證明)國B2答案及解析一、選擇題（每小題4分,共28分）1.下列命題： 平行四邊形的對邊相等； 對角線相等的四邊形是矩形； 正方形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形； 一條對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形其中真命題的個數(shù)是（）A. 1B.2C.3D.4【解析】選C.平行四邊形的對邊相等，正確;對角線相等的平行四邊形是矩形，錯誤;正方形 既是軸對稱圖形，又是中心

6、對稱圖形，正確；一條對角線平分一組對角的平行四邊形是菱形， 正確,所以有3個真命題.2如圖，在?ABCD中,AD=8,點E,F分別是BD,CD的中點，則EF等于 （）A.2B.3C.4D.5【解析】選C.v四邊形ABCD是平行四邊形, BC=AD=8. v點E,F分別是BD,CD的中點,1小1-EF=2 BC=2 X 8=4.3如圖，矩形紙片ABCD中,AB=4,BC=6,將ABC沿AC折疊，使點B落在點E處,CE交AD于點F則DF的長等于（）L3575A 5B. 3C. 3D. 4【解題指南】根據(jù)折疊的性質(zhì)得到AE=AB, / E=Z B=90易證RtAAEF也RtACDF,即可得到結(jié)論 E

7、F=DF;易得 FC=FA,設(shè) FA=x,則 FC=x,FD=6-x,在RtCDF中利用勾股定理得到關(guān)于x的方程x2=42+(6-x)2,解方程求出x.【解析】選B.v矩形ABCD沿對角線AC對折，使MBC落在AAEC的位置, AE=AB, / E=Z B=90° ,又四邊形ABCD為矩形, AB=CD, AE=DC,而/AFE= / CFD,在 MEF 與CDF 中,(Z-AFE =厶 CFD,乙 E = £0AE = CD, AEF CDF(AAS), EF=DF.四邊形ABCD為矩形,AD=BC=6,CD=AB=4, Rt AAEF 也 RtACDF, FC=FA,設(shè)

8、 FA=x,則 FC=x,FD=6-x,在 Rt ACDF 中,CF2=CD2+DF2,即 x2=42+(6-x)2,解得 x=13 ,則 FD=6-x=5 .4如圖，四邊形ABCD是菱形,A(3,0),B(0,4),則點C的坐標(biāo)為()A.(-5,4)B.(-5,5)C.(-4,4)D.(-4,3)【解析】 選 A. t A(3,0),B(0,4),二 OA=3,OB=4, AB=i '=5,t四邊形ABCD是菱形, BC=AD=AB=5,二點 C 的坐標(biāo)為(-5,4).5順次連接矩形ABCD各邊中點，所得四邊形必定是 ()A. 鄰邊不等的平行四邊形B. 矩形C. 正方形D. 菱形【解

9、析】選D.如圖,E,F,G,H為矩形各邊的中點，連接AC,BD.根據(jù)三角形中1位線定理，得 EF/ AC,EF=2 AC,HG / AC,1 1hg=2 ac,eh=2 bd. EF/ HG,EF=HG,四邊形efgh為平行四邊形.又 AC=BD, EF=EH. 四邊形 EFGH 為菱形.6.在矩形ABCD中,AB=2,AD=4,E為CD的中點,連接AE交BC的延長線于F點,P為BC上點，當(dāng)/ PAE=Z DAE時,AP的長為 （）A.4B. 17C. 2D.5【解析】 選 B.v AD / BC, / DAE= / F,又/ PAE=Z DAE, a / PAE=Z F, PA=PF.v E

10、 為 DC 中點 J DE=CE.又AED= / FEC, ADE FCE, a CF=AD=4,設(shè) CP=x,PA=PF=x+4,BP=4x,在直角ABP 中,22+(4-x)2=(x+4)2,1解得：x=4 ,17a AP的長為17 .47如圖所示,E,F分別是正方形ABCD的邊CD,AD上的點，且CE=DF,AE,BF相交于點0,下列結(jié)論AE=BF;AE丄BF;A0=0E;S/A0B=S四邊形DE0F中，錯誤的有 ()A.1個B .2個C.3個D.4個【解析】選A. 四邊形ABCD是正方形，a CD=AD.v CE=DF,a DE=AF,又 t AD=AB, / BAF= / D, /

11、ADEBAF,a AE=BF,Sade =Sabaf ,/ DEA= / AFB, / EAD= / FBA,A SA0B=S 四邊形DE0F.v/ ABF+ / AFB= / DAE+ / DEA=90 ,a/ AFB+ / EAF=90 ,AE丄BF 一定成立.錯誤的結(jié)論是：AO=OE.二、填空題（每小題5分,共25分）8.MBC中，點D,E分別是AB,AC的中點,DE=7,則BC=.【解析】：D,E分別是ABC的邊AB和AC的中點, DE是AABC的中位線,v DE=7,aBC=2DE=14.答案:149已知矩形的對角線AC與BD相交于點O,若AO=1,那么BD=.【解析】在矩形ABCD

12、中,對角線AC與BD相交于點O,AO=1, AO=CO=BO=DO=1, BD=2.答案：210.如圖，在?ABCD中,AE丄BC于點E,AF丄CD于點F若/ EAF=56°則/B=【解析】：AE丄BC,AF丄CD, / AEC= / AFC=90 , 在四邊形 AECF 中,/ C=360 -Z EAF-/ AEC-Z AFC=360 -56 ° -90°-90° =124°,在?ABCD 中,Z B=180°-Z C=180 -1240 =56°答案：5611如圖，在菱形ABCD中,Z DAB=60 ,AB=2,則菱形A

13、BCD的面積為【解析】菱形 ABCD, AD=AB,OD=OB,OA=OC, v/ DAB=60，二 ABD 為等邊三角形，二BD=AB=2, a OD=1,在 RtAOD 中，根據(jù)勾股定理得:AO= AD2-OD2 = 3 ,二 AC=2 3，則 S 菱 形 ABCD=1 AC- BD=2 3 .答案2.312. 如圖所示，正方形ABCD的邊長為6,MBE是等邊三角形，點E在正方形ABCD內(nèi)在對角線AC上有一點P使PD+PE的和最小,則這個最小值為 【解析】設(shè)BE與AC交于點P連接BD,v點B與D關(guān)于AC對稱，a PD=PB,a pd+pe=pb+pe=be 最小.即P在AC與BE的交點上時

14、，PD+PE最小，為BE的長度;v正方形ABCD的邊長為6,a AB=6.又：厶ABE是等邊三角形，a BE=AB=6.故所求最小值為6.n0 /八C答案：6三、解答題（共47分）13. （10分）如圖，在?ABCD中,DE丄AB,BF丄CD,垂足分別為E,F.求證:mDECBF.求證:四邊形BFDE為矩形.【證明】（1）：DE丄AB,BF丄CD,/ AED= / CFB=90 ,四邊形ABCD為平行四邊形， AD=BC, / A= / C,P:釘在zADE 和 CBF 中1 - ADE CBF（AAS）.：四邊形ABCD為平行四邊形 J CD / AB,/ CDE+ / DEB=180 ,v

15、Z DEB=90 ,/ CDE=90 ,/ CDE= Z DEB= Z BFD=90 ,則四邊形BFDE為矩形.14. （12分）如圖,將矩形ABCD沿對角線AC翻折，點B落在點F處,FC交AD于點E.（1）求證：AAFEBA CDE.若AB=4,BC=8,求圖中陰影部分的面積【解析】（1）：四邊形ABCD是矩形，二AB=CD, / B= / D=90 .由折疊，得 AB=AF, / B= / F.a AF=CD, / F= / D.又/ AEF= / DEC,.AFE CDE.四邊形 ABCD 是矩形，.AD / BC.二/ CAE= / ACB.由折疊，得/ ACB= / ACE,AF=A

16、B=4,CF=BC=8./ CAE= / ACE. . AE=CE.設(shè) AE=x,則 CE=x,EF=8-x.在RtAAEF中,由勾股定理得 AE2=AF2+EF2.42+（8-x）2=x2.解得 x=5，即 AE=5. S 陰影=2 AE- AB= X 5X 4=10.15. （12分）如圖,在平行四邊形ABCD中，邊AB的垂直平分線交AD于點E,交CB的延長線于點F連接AF,BE.求證:mGEBGF.試判斷四邊形AFBE的形狀，并說明理由.【解題指南】(1)由平行四邊形的性質(zhì)得出 AD / BC,得出/ AEG= / BFG,由AAS證明AGEBGF即可.(2) 由全等三角形的性質(zhì)得出 A

17、E=BF, 由 AD / BC,證出四邊形AFBE是平行四邊形，再根據(jù)EF 丄AB,即可得出結(jié)論.【解析】：四邊形ABCD是平行四邊形， AD / BC,/ AEG= / BFG, EF垂直平分AB, AG=BG,(/-AEG =厶 BFGiAAGE = BGFt在zAGE 和ABGF 中,、 AGE BGF(AAS).四邊形AFBE是菱形.理由如下：: AGE BGF, AE=BF, AD / BC,四邊形AFBE是平行四邊形，又 EF 丄 AB,四邊形AFBE是菱形.16. (13分)我們給出如下定義：順次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫中點四邊形.如圖1,在四邊形ABCD中，點E,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點.求證沖點四邊形 EFGH是平行四邊形.(2) 如圖2,點P是四邊形ABCD內(nèi)一點，且滿足PA=PB,PC=PD,/ APB= / CPD,點E,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點，猜想中點四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想.(3) 若改變中的條件，使/ APB= / CPD=90其他條件不變，直接寫出中點四邊形 EFGH的形 狀.(不必證明)Ef 1E2【解析】（1）如圖1中，連接BD.點E,H分別為邊AB,DA的中點,1 EH / BD,EH=2 BD,點F,G分別為邊BC,CD