1、十七衎高中物理系統講義簡諧運動與彈簧問題總結- 1 -簡諧運動與彈簧問題簡諧運動與彈簧問題你需要知道并且熟記在心的幾個點：你需要知道并且熟記在心的幾個點：時間的對稱性時間的對稱性加速度的對稱性加速度的對稱性合外力的對稱性合外力的對稱性速度對稱性速度對稱性能量對稱性能量對稱性1.1. 巧用時間的對稱性巧用時間的對稱性例 1. 如圖 1 所示，一質點在平衡位置 O 點兩側做簡諧運動，在它從平衡位置 O 出發向最大位移 A 處運動過程中經 0.15s 第一次通過 M 點，再經 0.1s 第 2 次通過 M 點。則此后還要經多長時間第 3 次通過 M 點，該質點振動的頻率為多大？圖 1解析：由于質點從

2、 MA 和從 AM 的時間是對稱的，結合題設條件可知 MA 所需時間為0.05s，所以質點從平衡位置 OA 的時間為，又因為，所以質點的振動周期為T0.8s，頻率。根據時間的對稱性可知 MO 與 OM 所需時間相等為 0.15s，所以質點第 3 次通過 M 點所需時間為2.2. 巧用加速度的對稱性巧用加速度的對稱性例 2. 如圖 2 所示，小球從豎直立在地面上的輕彈簧的正上方某處自由下落，接觸彈簧后將彈簧壓縮，全過程中彈簧為彈性形變。試比較彈簧壓縮到最大時的加速度 a 和重力加速度 g 的大小。十七衎高中物理系統講義簡諧運動與彈簧問題總結- 2 -圖 2解析：小球和彈簧接觸后做簡諧運動，如圖

3、2 所示，點 B 為彈簧為原長時端點的位置。小球的重力與彈簧的彈力的大小相等的位置 O 為平衡位置。點 A 為彈簧被壓縮至最低點的位置（也就是小球做簡諧振動的最大位移處），點 A”為與 A 對稱的位移（也是最大位移處）。由對稱性可知，小球在點 A 和點 A”的加速度的大小相等，設為 a，小球在點 B 的加速度為 g，由圖點 B 在點 A”和點 O 之間，所以。例 3. 如圖 3 所示，質量為 m 的物體放在質量為 M 的平臺上，隨平臺在豎直方向上做簡諧運動，振幅為 A，運動到最高點時，物體 m 對平臺的壓力恰好為零，當 m 運動到最低點時，求 m 的加速度。圖 3解析：我們容易證明，物體 m

4、在豎直平面內做簡諧運動，由小球運動到最高點時對 M 的壓力為零，即知道物體 m 在運動到最高點時的加速度為 g，由簡諧運動的對稱性知道，物體m 運動到最低點時的加速度和最高點的加速度大小相等，方向相反，故小球運動到最低點時的加速度大小為 g，方向豎直向上。例 4. 如圖 4 所示，輕彈簧（勁度系數為 k）的下端固定在地面上，其上端和一質量為 M 的木板 B 相連接，在木板 B 上又放有一個質量為 m 的物塊 P。當系統上下振動時，欲使 P、B始終不分離，則輕彈簧的最大壓縮量為多大？圖 4解析：從簡諧運動的角度看，木板 B 和物塊 P 的總重力與彈簧彈力的合力充當回復力，即；從簡單連接體的角度看

5、，系統受到的合外力產生了系統的加速度 a，即，由以上兩式可解為。當 P 和 B 在平衡位置下方時，系統處于超重狀態，P 不可能和 B 分離，因此 P 和 B 分離的位置一定在上方最大位移處，且P 和 B 一起運動的最大加速度。由加速度的對稱性可知彈簧壓縮時最大加速度也為十七衎高中物理系統講義簡諧運動與彈簧問題總結- 3 -，所以輕彈簧的最大壓縮量應滿足關系式，即得。3.3. 巧用速度的對稱性巧用速度的對稱性例 5. 如圖 5 所示是一水平彈簧振子在 5s 內的振動圖象。從圖象中分析，在給定的時間內，以 0.5s 為起點的哪段時間內，彈力所做的功為零。圖 5解析：由速度的對稱性可知，圖 5 中與

6、 0.5s 具有相同速率的時刻為1.5s、2.5s、3.5s、4.5s。結合動能定理可知，從 0.5s 到以上時刻所對應的時間內彈力所做的功均為零。4.4. 巧用回復力的對稱性巧用回復力的對稱性例 6. 如圖 6 所示，在質量為 M 的無下底的木箱頂部用一輕彈簧懸掛質量均為的 A、B 兩物塊，箱子放在水平地面上，平衡后剪斷 A、B 間細線，此后 A 將做簡諧運動。當 A 運動到最高點時，木箱對地面的壓力為（）圖 6A. Mg B. C. D. 解析：剪斷細線后的瞬間，彈簧對 A 的彈力為，所以 A 受到向上的合外力（回復力）為 mg。當 A 運動到上方最大位移處時，由于簡諧運動的回復力的對稱性

7、，A 將受到豎直向下的合外力（回復力），其大小仍為 mg，也就是說，此時彈簧中沒有彈力，所以木箱對地面的壓力為 Mg。選項 A 正確。十七衎高中物理系統講義簡諧運動與彈簧問題總結- 4 -例 7. 如圖 7 所示，質量為 m 的木塊放在彈簧上端，在豎直方向上做簡諧運動，當振幅為A 時，物體對彈簧的壓力的最大值是物體重力的 1.5 倍，則物體對彈簧的最小壓力是_；欲使物體在彈簧振動中不離開彈簧，其振幅不能超過_。圖 7分析與解答：物體對彈簧壓力最大應是物體振動到最低點時，最小應是物體振動到最高點時。對物體進行受力分析，在最低點受兩個力：重力和彈簧彈力，根據題中信息可知這兩個力的合力大小為 0.5

8、mg，方向向上，充當回復力。根據力大小的對稱性可知，物體振動到最高點時，回復力大小也應為 0.5mg，方向向下，則物體在最高點所受彈簧的彈力應為0.5mg，方向向上，根據牛頓第三定律物體對彈簧的最小壓力為 0.5mg；物體脫離彈簧時應是彈簧恢復到自由伸長時，根據彈力 F可知，在原來的基礎上彈簧再伸長一個振幅A 就可恢復到原長，所以欲使物體不離開彈簧，其振幅不能超過 2A。例 8. 如圖 8，用質量不計的彈簧把質量為 3m 的木板 A 與質量為 m 的木板 B 連接組成如圖所示的裝置，B 板置于水平地面上，現用一豎直向下的力 F 向下壓木板 A，撤消 F 后，B 板恰好被提離地面，由此可知力 F

9、 的大小是（）圖 8A. 7mg B. 4mgC. 3mg D. 2mg解析：沒撤去力 F 時，物體 A 靜止，所受合力為零，把力 F 撤去，物體 A 受合力大小為F，方向向上，開始向上振動，所以最大回復力為 F，根據力大小的對稱性，A 振動到最高點時，回復力大小也為 F，對物體 A 在最高點進行受力分析：重力 3mg 和彈簧的彈力 F”，合力為 F。即；再對物體 B 進行受力分析，B 恰好被提離地面可得：，所以力 F 的大小為 4mg。選項 B 正確。5. 巧用能量的對稱性例 9. 如圖 91，原長為 30cm 的輕彈簧豎立于地面，下端固定于地面，質量為 m0.1kg的物體放到彈簧頂部，物體

10、靜止，平衡時彈簧長為 26cm。如果物體從距地面 130cm 處自由下落到彈簧上，當物體壓縮彈簧到距地面 22cm 時（不計空氣阻力，取 g10m/s2）有：十七衎高中物理系統講義簡諧運動與彈簧問題總結- 5 -圖 9-1 圖 9-2A. 物體的動能為 1J；B. 物塊的重力勢能為 1.08JC. 彈簧的彈性勢能為 0.08JD. 物塊的動能與重力勢能之和為 2.16J解析：由題設條件畫出示意圖 92，物體距地面 26cm 時的位置 O 即為物體做簡諧運動的平衡位置。根據動能的對稱性可知，物體距地面 22cm 時 A”位置的動能與距地面 30cm 時A 位置的動能相等。因此只需求出物體自由下落

11、到剛接觸彈簧時的動能即可。由機械能守恒定律得。物體從 A 到 A”的過程中彈性勢能的增加為，所以選項 A、C 正確。可見，熟練掌握并準確應用簡諧運動的對稱性，能使解題有理有據，簡捷明了，達到事半功倍的效果。彈簧振子的運動具有周期性和對稱性，因而很容易想到在振動過程中一些物理量的大小相等，方向相同，是周期性出現的；而經過半個周期后一些物理量則是大小相等，方向相反但是上面想法的逆命題是否成立的條件是：此彈簧振子的回復力和位移符合（x指離開平衡位置的位移） ；選擇開始計時的位置是振子的平衡位置或左、右kxF最大位移處，若開始計時不是選擇在這些位置，則結果就顯而易見是不成立的在這里就水平彈簧振子和豎直

12、彈簧在作簡諧運動過程中應用其特征談一談解題技巧，把復雜的問題變簡單化，從而消除學生的一種碰到彈簧問題就無從入手的一種恐懼心理一、彈簧振子及解題方法一、彈簧振子及解題方法在判斷彈簧振子的運動時間，運動速度及加速度等一些物理量時所取的起始位置很重要，在解題方法上除了應用其規律和周期性外，運用圖象法解，會使問題更簡單化例 1 一彈簧振子做簡諧運動，周期為 T，則正確的說法是（ ）十七衎高中物理系統講義簡諧運動與彈簧問題總結- 6 -A若 t 時刻和（tt）時刻振子運動位移的大小相等，方向相同，則t 一定等于T 的整數倍B若 t 時刻和（tt）時刻振子運動速度大小相等，方向相反，則t 一定等于的整數倍

13、2TC若tT，則在 t 時刻和（tt）時刻振子運動的加速度一度相等D若t，則在 t 時刻和（tt）時刻彈簧的長度一定相等2T解法一：如圖 1 為一個彈簧振子的示意圖，O 為平衡位置，B、C 為兩側最大位移處，D 是 C、O 間任意位置對于 A 選項，當振子由 D 運動到 B 再回到 D，振子兩次在 D 處位移大小、方向都相同，所經歷的時間顯然不為 T，A 選項錯對于 B 選項，當振子由 D 運動到 B 再回到 D，振子兩次在 D 處運動速度大小相等，方向相反，但經過的時間不是，可見選項 B 錯2T由于振子的運動具有周期性，顯然加速度也是如此，選項 C 正確對于選項 D，振子由 B 經過 O 運

14、動到 C 時，經過的時間為，但在 B、C 兩處彈簧長度不等，選項 D 錯正確答2T案選 C解法二：本題也可利用彈簧振子做簡諧運動的圖象來解如圖 2 所示，圖中 A 點與B、E、F、I 等點的振動位移大小相等，方向相同由圖可見，A 點與 E、I 等點對應的時刻差為 T 或 T 的整數倍；A 點與 B、F 等點對應的時刻差不為 T 或 T 的整數倍，因此選項A 不正確用同樣的方法很容易判斷出選項 B、D 也不正確故只有選項 C 正確說明：說明：比較兩時刻的振動情況或根據兩時刻的振動情況確定兩時刻間的時間間隔跟周期的關系時，借助振動圖象可以較方便而準確地作出判斷二、利用彈簧振子作簡諧運動過程中的位移

15、、能量變化特征來巧解題二、利用彈簧振子作簡諧運動過程中的位移、能量變化特征來巧解題BODC圖 1A圖 2BEFItCDGHOs十七衎高中物理系統講義簡諧運動與彈簧問題總結- 7 -例 2 物體 A 與滑塊 B 一起在光滑水平面上做簡諧振動，如圖所示，A、B 之間無相對滑動，已知輕質彈簧的勁度系數 k，A、B 的質量分別 m 和 M，則A、B（看成一個振子）的回復力由 提供，回復力跟位移的比為 ，物體 A 的回復力由 提供，其回復力跟位移的比為 ，若 A、B 之間的靜摩擦因數為，則 A、B 間無相對滑動的最大振幅為 解析：因水平面光滑，平衡位置在彈簧原長處（AB）作為整體，水平方向只受彈簧彈力，

16、故，由牛頓第二定律得：KxF，amMF)(xmMka對于 A 物體，水平方向只受 B 對 A 的靜摩擦力 Ff，故 Ff即為 A 的回復力由于 A、B間無相對滑動，所以任何時候 A 與 B 的位移 x 和加速度 a 都相同，故有和kxF，當時，xmMmkmaFfkmMmKmgFFffmaxmaxxx kgmMx)(max例 3 （2004 年石家莊市試題）如圖所示，一輕彈簧的左端固定在豎直墻上，右端與質量為 M 的滑塊相連，組成彈簧振子，在光滑的水平面上做簡諧運動當滑塊運動到右側最大位移處時，在滑塊上輕輕放上一木塊組成新振子，繼續做簡諧運動新振子的運動過程與原振子的運動過程相比（ ）A新振子的

17、最大速度比原振子的最大速度小B新振子的最大動能比原振子的最大動能小C新振子的振動周期比原振子的振動周期大D新振子的振幅比原振子的振幅小解析：滑塊振動到最大位移處加放木塊，相當于增大滑塊質量后從最大位移處由靜止釋放，振動過程中總能量不變，振動過程中仍能恰好到達該位置，即振幅不變，振子的最大彈性勢能不變由簡諧運動中機械能守恒，故振子的最大動能不變，但最大速度變小（因振子質量變大了） ，可見選項 A 對 BD 錯；又由周期隨振子質量增大而增大，故知選項C 正確注：注：若改為“當滑塊運動到平衡位置時，在滑塊上輕輕放上一木塊組成新振子” ，那由于碰撞使總機械能減小例 4 一根用絕緣材料制成的輕彈簧，勁度

18、系數為 k，一端固定，另一端與質量為BAEMm十七衎高中物理系統講義簡諧運動與彈簧問題總結- 8 -m、帶正電荷、電量為 q 的小球相連，靜止在光滑絕緣水平面上，當施加水平向右的勻強電場 E 后， （如圖所示）小球開始做簡諧運動，關于小球的運動有如下說法，正確的是 （填序號） 球的速度為零時，彈簧伸長qE/k；球做簡諧運動的振幅為qE/k；運動過程中，小球的機械能守恒；運動過程中，小球動能改變量、彈性勢能改變量、電勢能改變量的代數和為零解析：由水平面光滑施加水平向右的勻強電場 E，而 q 帶正電，故平衡位置在原長右邊，當qEkx0（設此時彈簧伸長 x0）時，此時球的速度最大，故錯彈簧原kEqx

19、 0長時速度為 0，故振幅，正確由簡諧運動的對稱性可知，彈簧最大伸長量kEqx 0為 2x0，又由于電場力做功，所以機械能不守恒，錯由動能定理，kkkEEEW12，故正確電場彈簧WWW例 5 如圖所示，在光滑的水平面上，有一絕緣的彈簧振子，小球帶負電，在振動過程中當彈簧壓縮到最短時，突然加上一個沿水平向左的恒定的勻強電場，此后（ ）A振子的振幅將增大B振子的振幅將減小C振子的振幅將不變D因不知電場強度的大小，所以不能確定振幅的變化解析：未加電場時，振子的平衡位置在彈簧原長處，振子的振幅大小為釋放處與彈簧原長處之間的距離加電場后，振子平衡位置右移，振幅大小等于釋放振子處與新的平衡位置間的距離，可

20、見加電場后振子的振幅將增大，即選項 A 對注：注：若改為“振動未過程中當彈簧伸長到最長時，突然加上一個沿水平向左的恒定的勻強電場”展開討論三、豎直彈簧振子作簡諧運動過程中應用其特征巧妙解題，從而使復雜問題簡單化三、豎直彈簧振子作簡諧運動過程中應用其特征巧妙解題，從而使復雜問題簡單化例 6 （2005 年海淀區試題）如圖所示，輕彈簧下端固定在水平地面上，彈簧位于豎直方向，另一端靜止于 B 點在 B 點正上方 A 處，有一質量為 m 的物塊，物塊從靜止開始自由下落物塊落在彈簧上，壓縮彈簧，到ABC十七衎高中物理系統講義簡諧運動與彈簧問題總結- 9 -達 C 點時，物塊的速度為零如果彈簧的形變始終未

21、超過彈性限度，不計空氣阻力，下列判斷正確的是（ ）A物塊在 B 點時動能最大B從 A 經 B 到 C，再由 C 經 B 到 A 的全過程中，物塊的加速度的最大值大于 gC從 A 經 B 到 C，再由 C 經 B 到 A 的全過程中，物塊做簡諧運動D如果將物塊從 B 點靜止釋放，物塊仍能到達 C 點解析：物塊與彈簧接觸后，在彈力等于重力之前仍向下做加速運動，故物塊在 B 點的速度、動能都未能達到最大，可見選項 A 錯；若將物塊從 B 處由靜止釋放，則此時加速度最大為 g，由振動的對稱性知，物塊下降到最低點時向上的加速度大小也為 g，今從 A 處釋放，到達 B 時已具有一定的初速度，故所能下降的最

22、低點肯定在由 B 釋放時所能達到的最低點之下，彈簧向上的彈力大于由 B 處釋放時的情況，此時的加速度大于 g，即選項 B正確，且也知 D 錯誤；另外，由于物塊在 A、B 間運動時受恒定的重力作用，不符合簡諧運動的動力學特征，故其振動不是簡諧運動，可見選項 C 錯誤答案：BkxF例 7 勁度系數為 k 的輕質彈簧，下端掛一個質量為 m 的小球，小球靜止時距地面高為 h，用力向下拉小球，使小球與地面接觸，而后從靜止放開小球（彈簧始終在彈性限度以內） ，則（ ）A球在運動過程中距地面的最大高度為 2hB球在上升過程中彈性勢能不斷減小C球距地面高度為 h 時，速度最大D球在運動過程中的最大加速度是 kh/m解析：首先證明其運動為簡諧運動，由平衡時 mgkx0（x0為彈簧伸長量）和下拉 h后彈力， （取豎直向下為正）回復力)(01hxkFmgFF1，符合簡諧運動條件，振幅為，由簡諧運動的khmghxk)(0hxhx00對稱性可知，A 正確球在上升過程中在彈簧恢復原長之前彈性勢能減小，但在彈簧原長時若小球還有向上速度，小球將繼續壓縮彈簧，故 B 只是一種可能，由于一開始為平衡位置，故 C 正確，由，故 D 正確maxmaF 例 8 如圖所示，質量為 m 的木塊放在彈簧上，與彈簧一起在豎直方向上做簡諧運動，當振幅為 A 時，物體對彈簧的最大壓力是物體重力的 1.5 倍，則物體對彈簧