1、三、復數中的方程問題【教學目標】1. 掌握判別式小于零的實系數一元二次方程的復數根的求法.2. 掌握一元二次方程根與系數的關系并能用于解決一些方程根的問題.3. 在解決問題的過程中體會轉化與分類討論的數學思想的應用.【教學重點】一元二次方程的根的討論.【教學難點】含字母系數的方程根的情況的討論,X3 1的根的應用.【教學過程】一.知識整理1.實系數一元二次方程的根的情況設方程ax2 bx c 0 ( a , b , c R且a 0 ),判別式 b 2 4ac(1)當厶 0時,方程有兩個不相等的實數根：b 、,b 4acb4acXI2a,X22a(2)當厶0時,方程有兩個相等的實數根：bxiX2

2、2a(3)當厶0時,方程有兩個共轆虛根：b<4acb 2 ibx 4ac b 2 iXl2a,X22a2.代數式a2 b2 (a ,b R )的因式分解利用丨Z I2zz,有a 2b2(a bi)( abi)3.復系數一元二次方程根與系數的關系設方程ax2 bx c 0 ( a , b , c C且a 0 )的兩個根為xi , X2 ,那么bxi X2 aCXI X2 一a4.方程x31的根方程31有三個根,1, X21V i ' X31i 假設記XX1222 2那么有性質:31(32 22 0.二例題解析【屬性】高三,復數,復數集中的因式分解,解做題,易,運算【題目】在復數范圍

3、內分解因式.(1) a4 b4 ；(2)丄 X2 x 3 .2【解答】(2 2)(2 2) <( )()( )( )ababa b a b a bia bi .31( X22x 6)(X 1)2 需)2225)(1P)7 iX< i解：(1)4a b(2)丄乂2 x21( 12 x【屬性】高三,復數,復數中的方程問題,解做題,易,運算【題目】(1) 假設3 2i是實系數方程2x2 bx c 0的根,求實數b與c；(2) 假設3 2i是方程2x2 bx c 4i 0的根,求實數b與c.【解答】(32i)(3 2i)b解；(1)由題意,3 2i是方程的另一根,那么2 ,(32i)(32

4、i)c2所以b12 , c 26 .(2)將3 2i代入方程得2(32i)2b(32i) c 4i 0 ,整理得,(10 3b c) (20 2b)i 0,所以10 3b c 010,解得20 2b 0c 20【屬性】高三,復數,復數中的方程問題,解做題,中,運算【題目】(1) X? X 1 0,求 x" X40X50 的值.2(2)假設 a1710 ,求 a17?的值.【解答】10,得 x_4£ i,所以爪 1,1 X x2(2)由a2 a1 0 ,得 a丄2當a-1i時,那么a(22-L-L,所以a】？-J-a】？2rza 17同理可得,當a丄Li時,也有所以 X30X

5、40X502 2/i,2L£ i ) , a31, a17()1722(2) 1 a17k1.0 ai?17【屬性】高三,復數,復數中的方程問題,證實題,中,邏輯思維【題冃】證實：在復數范圍內,方程 Izl(1 i)z (1 l)z$i為虛數單位無解.2【解答】證實：原方程化簡為lz|2 1i)z (1 i)z1 3i,設zx yi ( x , y R ),代入上述方程,得x2y2 2xi2yi 13i,所以 x?y21,消去y ,整理得2x2y38x212x 5 0 ,此方程的判斷式厶122 485160,故x無實數解.所以,原方程在復數范圍內無解.【屬性】高三,復數,復數中的方程

6、問題,解做題,難,分析問題解決問題【題目】關于x的二次方程x2 (2a l)x a 20有虛根,且此根的三次方是實數,求實數a的值.【解答】解法一：設方程的虛根為所以方程的虛根為 m(l爲),由根與系數的關系,2m(2a4m21),消去m ,得4a2 4a 1 a 2 ,4a 23a 1 0 ,解得a-L4解法二：設方程的虛根為那么另一虛根為Z2由于zi3 R 所以zi3zi3Z133Z2, zrZ2 )(Z12zi Z2 Z22 ) 0 ,由于ZI Z2 ,所以ZI2zi Z2Z22zi Z2 ,由根與系數的關系,(2a 1)2 a 2 , 4a3ani) 3為實數,得n JJm ,三課堂反

7、應【屬性】高三,復數,復數中的方程問題,填空題,易,運算【題目】假設3 2i是方程2x2 bx c 0 ( b , c R )的一個根,貝ij c 【解答】答案：26【屬性】高三,復數,復數中的方程問題,填空題,易,運算【題目】2 ai, b i是實系數一元二次方程x2 px q 0的兩根,那么 p q 【解答】答案：4 , 5【屬性】高三,復數,復數中的方程問題,填空題,易,運算【題目】假設 是方程*1的一個虛根,那么(12 )(12)【解答】答案：4【屬性】高三,復數,復數中的方程問題,填空題,中,運算【題目】在復數范圍內解方程：lz|2 (z £)i 3 (i為虛數單位)2 i

8、【解答】解：原方程化簡為Izl?(z z)i 1 i ,設 zx yi ( x , y R ),代入上述方程,得2 2x2 y21X12xy 2xi 11,所以2x1,解得yi2所以,原方程的解為 Z-4*1或z42222四.課堂小結1.實系數一元二次方程,在判別式小于零時,有一對共轆虛根(虛根成對)利用這一點,在己知一根的情況下,就可以知道另一根,再結合根與系數的關系,就使問題得到簡化.2.由于實系數一元二次方程在復數范圍必有兩根,因此在復數范圍內二次多項式的因式分解一定可以分到一次式的乘積.3.如果方程的系數含有虛數,那么不能用來判斷方程有無實根,共轆虛根定理也不成立,但根與虛數的關系仍成

9、立.這類題如果給出方程有實根的條件,可用復數相等的充要條件轉化為 實數方程組求解.所以說,復數問題實數化總是解決復數問題的根本策略.五.課后作業【屬性】高三,復數,復數集中的因式分解,填空題,易,運算【題目】在復數范圍內分解因式:(!) X22x 16(2) X22x cos1【解答】答案：(1)(x 1廬)(X 1 廬)(2) (x cos i sin )(x cos i sin )【屬性】高三,復數,復數中的方程問題,填空題,易,運算【題目】設一元二次方程2x 2 ax b 10 ( a , b R )的一個虛根是1 i,那么實數a , b.【解答】答案：4 , 3【屬性】高三,復數,復數

10、開平方問題,填空題,易,運算【題目】復數3 4i的平方根為.【解答】答案：2 i, 2 i【屬性】高三,復數,復數中的方程問題,解做題,易,運算【題目】方程x 2(4 i) x 4 ai 0 ( a R)有實根b ,且z a bi ,求z 【解答】解：z 2 2i.【屬性】高三,復數,復數中的方程問題,選擇題,中,運算【題目】方程z Izl 1 3i中z的解是()2 21 3B. _ ic. 4 3iD. 4 3i2 2【解答】答案：C【屬性】高三,復數,復數中的方程問題,解做題,中,邏輯思維【題目】2x0有無實數根,并給實數P滿足不等式10,試判斷方程z2 2z 5p 2出x 2證實.【屬性

11、】高三,復數,復數中的方程問題,解做題,中,運算【解答】解；由2 pT,所以丁 p 2 4,所以方程z 2 2z 5 p2 0的判別式24A 4 4(5p2)4( p 24) 0 ,所以原方程無褸根.【題目】在復數范圍內解方程 x363x2 2x 【解答】解：把原方程化為X31 3x22x5(x 1)(x2 x1)l)(3x 5),(x 1)( x 2 4x 6) 0,解得 xi1,X3rX 2i.【屬性】高三,復數,復數中的方程問題,解做題,難,分析問題解決問題【題目】關于x的方程x2 x m 0 ( m R )的兩根為、.(1) 假設丨I 3,求m的值；(2) 假設丨 丨丨丨3,求m的值.

12、【解答】解：(1)由于I卩 9 ,所以 I ()2419,11 4m I 9 ,5(2)當、 為實數,即1 4m0 , m 時,4(1 1 1I)2922 2 11 9()222 11 91 2m2 1ml 9 ,當 01m _時無解；當m 0時,m2當41 -、 為一對共覘虛數時,即m 時,由11 11 3 ,可知41丨3那么m丨I2 s .22或m 丿4綜上,m解得m1或 m 2 24【題目資源】【屬性】高三,復數,復數集中的因式分解,解做題,易,運算【題目】1.在復數范圍內分解因式(1)X416 ；(2)X22x(3)X38【解答】解：(1) X416 (x24)( x 24)(X2)(

13、 x 2)( x 2i)( x 2i).(2) 2 25 (I)2 22(12 )( 1 2)XXXXi xi .(3)383 23(2)(2 24) (2)(1 “)(1 g )XXXXXxxi xi2.假設實系數一元二次方程 x2 ax b 0有一個虛根為2i,那么a , b【解答】答案：0 , 4【屬性】高三,復數,復數中的方程問題,填空題,易,運算【題目】關于復數Z的方程I z I2 2zi 1 2i的解集是.【解答】答案： 1 ,1 2i 【屬性】高三,復數,復數中的方程問題,填空題,易,運算【題目】方程x2 kx 20有一個根是1 i,那么它的另一個根是 【解答】答案：1 i【屬性

14、】高三,復數,復數中的方程問題,填空題,易,運算【題目】a為實數,方程2x2 8x a 10的一個虛根的模是 <5 ,那么a【解答】答案：9【屬性】高三,復數,復數中的方程問題,選擇題,易,運算【題目】方程Z? Izl 0的復數解有A. 1個 B 2個C 3個 D.無數個【解答】答案：C【屬性】高三,復數,復數中的方程問題,解做題,易,運算【題目】方程30 ( a ,有一個根為 x ax bb R1(1)求 a ,b滿足的關系式；2假設此方程的另兩個根為虛數,求實數a的取值范圍.【解答】1.解：(1)由題意,la b 0 ,即a b(2)由(1) , b a 1,故方程變為 x3 ax

15、a 1 0 ,即(x '1) a( x 1) 0 ,(x l)(x2 x 1) a(x 1) 0 , (x 1)( x2 x 1 a) 0 ,0所以方程的另兩根就是方程X2 X 1 a的兩根,故公 0,即1 4(1 a) 0 , a所以,實數a的取值范圍是3 ,44【屬性】高三,復數,復數中的方程問題,解做題,易,運算【題目】方程x 2 4x k 0有一個虛數根為1 2i,求k的值.【解答】解：由X 2 4xk 0,得 kx2 4x,將 x 1 2i 代入,得 k 7 4i .【屬性】高三,復數,復數中的方程問題,填空題,中,運算【題目】設、是方程x 2 7 x m 0的兩個虛根,且丨

16、丨丨丨8 ,那么實數m.【解答】答案：16由題意,、 是共轆虛數,所以 2 1 18,1丨4,于是丨I216,即m 16.【屬性】高三,復數,復數中的方程問題,解做題,中,運算【題目】關于x的方程ax? (1 2i)x 2a(l i) 0有實根,求實數a的值.【解答】解：設方程實根為 X0 ,那么ax()2 (1 2i )X0 2a(l i)0 , 即(axo2 xo 2a) (2xo 2a)i 0 ,所以 axo2 xoxo a2a 0,所以xo0【屬性】高三,復數,復數中的方程問題,解做題,中,邏輯思維【題冃】假設虛數z滿足z3,求z2 2z 3的值.【解答】解：由,z3z3 23 ( z

17、 2)( z2 2z 4) 0 ,因Z為虛數,故z2所以z2 2z1.【屬性】高三,復數,復數中的方程問題,解做題,中,邏輯思維【題冃】在復數范圍內解關于X的方程X?5 1x16 0 .【解答】解：假設x為實數,那么原方程可化為(I x I 2)(1 x I 3)解得假設X為虛數,設Xbi(a bi) 2 5V a 2 b 260,所以a 2 b2 審a 2 b22ab 0b2(I b I 6)(1 b I 1)0 , b所以,原方程的解為 2 ,2,3,【屬性】高三,復數,復數中的方程問題,解做題,中,運算a 3 3a 0 ,解得a 0或a【題目】解關于Z的方程I Z I Z1 2i解：原方

18、程可化為Izl z 2 4i ,設z a bi ( a , b R ),那么原方程可化為4；a z'F2(a bi)2 4i x,a2 b2,解得a 3 , b 4 .b 4所以,原方程的解z 3 4i.【屬性】高三,復數,復數中的方程問題,解做題,中,運算【題目】方程 x2 (tan i )x ( 2i)0中,為銳角,假設實數a是方程的一個解,求與a的值.【解答】解：由題意,a 2(tani)a (2i) 0 , a2atan2(a l)i 0,所以“ 2a0tan2,解得a10a1 tan1所以,；,a 1.【屬性】高三,復數,復數中的方程問題,解做題,中,邏輯思維【題目】【屬性】

19、高三,復數,復數中的方程問題,解做題,難,邏輯思維復數w滿足w 4 (3 2w)i , z1 w2 1 ,求一個以z為根的實系數一元二次方程.w【解答】5所以 z 1 i 1 3 i ,解：由W4 (32w)i ,所以 w(l 2i)43i ,w 21 ,2 i故另一根為3 i ,設所作方程為x2 px q0 ,那么p(3 i)(3 i)6 ,q (3 i)(3i)10 ,所以所求方程為 x26x100【題目】關于x的實系數方程2x2 3ax a2 a 0至少有一個模為1的根,求實數a的值.【解答】解：當根X為實數時,9a28 (a 2a)0 , a28a 0 ,a8 或"0 .由丨

20、X 1 1X1當X1時,a 22a2 0 , a 無實數解；當x 1時,a 2 4a2 0 ,解得a2當根x為虛數時,8a0, 1 x 11 2XX1 ,即廠° 01, a a 2,解2得a 1或a 2 (舍去).綜上,a 1,或玄2 丿2或玄2 41 .【屬性】高三,復數,復數中的方程問題,解做題,難,邏輯思維【題目】假設z C ,關于x的一元二次方程 x2 zx 4 3i 0有實根,求復數z的模的最小值.【解答】解：zx x23i,當x 0時,此等式不成立,故x 0.所以,3z x -4 I z lx2 2 43-：x2 -25 82 X* x2*25 一 8 3y/2x2所以,

21、當X225 , x 活時,丨z I取最小值32 x2【屬性】高三,復數,復數中的方程問題,解做題,難,分析問題解決問題【題目】 ABC頂點為直角坐標分別為A( a , 4) , B(0 , b),c(C , 0)假設虛數x 2 ai0 )是實系數一元二次方程x2 ex 50的根,且A是鈍角,求b的取值范圍.【解答】0解：由,虛數x 2ai也是實系數一元二次方程 x 2ex 5的根,所以(2 ai) (2 ai)c(2 ai)(2 ai)5 ,解得;a 1 , c 4,那么 A、C的坐標為A(1,4),C4,0),所以更 (1 , b4),AC(3 ,4),因 A是鈍角,故忑XE134b 0 ,又當Ab