1、函數的平均變化率一、選擇題(共12小題，每小題5分，共60分)1 .函數 y=xcosx 的導數為，,，A. v' =2xcosx x2si nxB. y =2xcosx+x2sinxC. y=x2cosx 2xsinxD. y =xcosx x2sinx2.下列結論中正確的是,【】A.導數為零的點一定是極值點,【】B.如果在x0附近的左側f'(x) >0,右側f'(x) <0,那么f(%)是極大值C.如果在x0附近的左側f'(x) >0,右側f'(x) <0,那么f(xo)是極小值D.如果在x0附近的左側f'(x) &l

2、t;0,右側f'(x) >0 ,那么f(x0)是極大值一3二.3 .曲線y =cosx(0 Ex W)與坐標軸圍成的面積是,【2A.4 B.5C.3D.224 .函數 f(x)=3x4x9.函數f(x)=ax -b在區間(嗎0)內是減函數，則 a,b應滿足, x0,1的最大值是,【A.1B. /1 x8.設0<a<b,且f (x)=,則下列大小關系式成立的是，,C.0D.-125 .如果10N的力能使彈簧壓縮10cm,為在彈性限度內將彈簧從平衡位置拉到離平衡位置 6cm處，則克服彈力所做的功為,【】A . 0.28JB. 0.12JC. 0.26JD. 0.18Jb2

3、 二6 .給出以下命題：若fa f (x)dx>0,則f(x)>0；o |sinxdx =4；f(x)的原函數為aa TF(x),且F(x)是以T為周期的函數，則 f(x)dx= T f (x)dx ；其中正確命題的個數為，【A. 1B. 2C. 3D. 0327.若函數f(x)=x +x +mx+1是R上的單倜函數，則實數 m的取值范圍是,【1 111A. (3,二)B.(-二,3)C. 3，二)D.(-,-A.f (a)< f (ab)<f ( . ab)2c 上 ,a b ,C. f ( ab)< f (2)<f (a)a bB. f ()<f

4、(b)< f (. ab),a b ,D. f (b)< f (-)<f (- ab)A. a<0 且 b=0B. a>0且bw Rc. ac0 且 b#0D. a <0且bw R10. f(x)與g(x)是R定義在上的兩個可導函數，若f(x)與g(x)滿足f'(x) = g'(x),則f(x)與g(x)滿足【】,A. f(x)=g(x)B.f (x) -g(x) 為常數函數C . f (x) =g(x) =0D.f (x) +g(x)為常數函數11.(2007江蘇)已知二次函數f (x) = ax2 + bx + c的導數為f'(x

5、) , f '(0) > 0 ,對于任意實數 x ,有f (x)> 0,則 f1的最小值為，, f (0)A. 3B. 5212 . (2007江西理)設函數f(x)是R上以5為周期的可導偶函數，則曲線y= f(x)在x = 5處的切線的斜率為()A. -B. 0C.-55二、填空題(共4小題，每小題5分，共20分)13 . 10.曲線y=2x3 3x2共有 個極值.114 .已知 f(x)為一次函數，且 f (x) =x+2 f 0 f dt ,則 f (x) =1f (1 -2t) - f (1)15 .若 f (x) =e x,則 lim- =.3216.已知函數f(

6、x)=x+ax+bx+cftx =-2處取得極值，并且它的圖象與直線y = 3x + 3在點(1,0)處相切，則函數f(x)的表達式為 m2.、解答題(共74分)17.(本小題滿分10分)一物體沿直線以速度 v(t)=2t-3 (t的單位為：秒,v的單位為：米/秒)的速度作變速直線運動，求該物體從時刻t=0秒至日刻t=5秒間運動的路程？18.(本小題滿分12分)已知曲線y = x3 + x-2在點P0處的切線11平行直線4x y 1=0,且點 P0在第三象限求Po的坐標；若直線l _L 11 ,且l也過切點P0，求直線l的方程.3219 .(本小題滿分12分)已知函數f(x)=ax +(a1)

7、x +48(a 2)x+b的圖象關于原點成中心對稱,試判斷f(x)在區間Y,4上的單調性，并證明你的結論.20 .(本小題滿分 14 分)已知函數 f(x) =1n x (x=0),函數 g(x) = 1+af'(x)(x=0) f (x)當x 00時，求函數y = g(x)的表達式；若a >0,函數y = g(x)在(0,y)上的最小值是2，求a的值；2 7在的條件下，求直線y =2x + 7與函數y = g(x)的圖象所圍成圖形的面積.3 621 .(本小題滿分 12 分)設 a>0, f (x) =x T Tn2 x+2aln x(x >0).(I )令F(x)

8、 =xf (x),討論F(x)在(0, +8)內的單調性并求極值；(n)求證：當 x>1 時，恒有 x >ln2 x _2aln x +1 .22.(本小題滿分14分)已知函數 f(x) =ex-kx, x R(i)若k =e,試確定函數f(x)的單調區間；(n)若k >0,且對于任意xw R , f ( x) >0恒成立，試確定實數 k的取值范圍；n(出)設函數 F(x) = f(x) + f(x),求證：F(1)F(2)F(n) A(en41+2)2(nE N").導數及其應用章節測試題答案一、選擇題(60分) 15: ABCAD610: BCD B B

9、11 12: CB二、填空題(16分)13. 214. f (x) = x-12_.3215.(或一2e)16、f(x) = x +x 8x + 6e三、解答題(共74分)3 , _一.317.解：.當 0Wtw '時,v(t) =2t -30 0;當 Nwt W5 時,v(t) = 2t3>0.22，物體從時刻t=0秒至時刻t=5秒間運動的路程 3二59929S= f2(32t)dx +13(2t 3)dx= +(10 + )=一(米) 0244218 .解:由 y=x3+x 2,得 v' =3x2+1,由已知得3x2+1=4,解之得x=±1.當x=1時，y=

10、0;當x=1時，y= 4.又.點Po在第三象限，切點Po的坐標為(-1,-4).1;直線l _Lli，li的斜率為4,.直線l的斜率為 一,4.1過切點Po,點Po的坐標為(1,-4)1，直線 1 的萬程為 y+4 = (x+1)即 x+4y+17=0.419 .解：答f(x)在-4,4上是單調遞減函數.證明：二函數f(x)的圖象關于原點成中心對稱，則f(x)是奇函數所以a=1,b=0,于是f(x)=x3 -48x.2二 f (x) = 3x2 48, 當 x W (-4,4), f (x) < 0又函數f(x)在Y,4 上連續所以f(x)在-4,4上是單調遞減函數.20 .解: f(x

11、)=1nx:當 x >0時，f (x) =1nx ;當 x <0時，f (x) = 1n(x)1.11:當 x>0時，f(x)= ;當 xc0 時，f (x)=(1)=.x-xx:當x #0時，函數y = g(x) = x十亙.xa.由知當x0時,g(x) =x+a,x;當a A0,x0時，g(x)2ja當且僅當x = ja時取等號.x2y2=2函數y = g(x)在(0,收)上的最小值是2石 .依題意得2ja = 2：a = 1.27y 二x 由(36解得y -x 1 x，27 .直線y = x + 與函數y = g(x)的圖象所圍成圖形的面積 36? - 2, 7,117

12、S=b J(-x+-) (x+) dx=-1n32 136x 12421.本小題主要考查函數導數的概念與計算，利用導數研究函數的單調性、極值和證明不等式的方法，考 查綜合運用有關知識解決問題的能力.本小題滿分14分.21n x 2a(I)解：根據求導法則有f (x)=1-+, x>0,x x故 F (x) =x(x) = x -21n x +2a, x > 0 ,一2 x -2于是 F (x)=1 -2 =x, x>0,x x列表如下：x(0,2)2(2,+卻F'(x)0+F(x)極小值F(2)故知F(x)在(0,2)內是減函數，在(2, +OO)內是增函數，所以，在

13、x = 2處取得極小值F( 2 戶 2 2 1n 23. 2(n)證明：由 a2 0知，F(x)的極小值 F(2) =221n 2+2a >0.于是由上表知，對一切 xw(0,+8)，恒有F(x) =xf'(x) >0.從而當x>0時，恒有f (x)a0,故f(x)在(0,+8)內單調增加.所以當 x>1 時，f(x)>f(1) = 0,即 x11n2x+2a1nx>0.故當 x >1 時，恒有 x >1n2x -2a1n x +1 .22.本小題主要考查函數的單調性、極值、導數、不等式等基本知識，考查運用導數研究函數性質的方法，考查分類

14、討論、化歸以及數形結合等數學思想方法，考查分析問題、解決問題的能力.滿分14分.解：(I)由 k =e得 f (x) =ex -ex,所以 f '(x) =ex e.由f (x) >0得x>1 ,故f(x)的單調遞增區間是(1,十叼，由1(*)<0得*<1,故f (x)的單調遞減區間是(-°0,1).(n)由f(x) =f(x)可知f(x)是偶函數.于是f(x) >0對任意xw R成立等價于f (x) >0對任意x>0成立.由 f (x) = ex k = 0得 x = 1n k .當 k w(0,1時，f'(x)=ex -k

15、>1-k> 0(x > 0).此時f（x）在0,十a）上單調遞增.故f（x） > f（0） =1 >0 ,符合題意.當k乞（1, +對時，ink >0 .當x變化時f （x）, f （x）的變化情況如下表:x(0,in k)in k(in k, + °o)f (x)0+f(x)單調遞減極小值單調遞增由此可得，在0,+* 上，f(x)> f (in k) =k-kln k .依題意，k -kin k >0 ,又 k >1,.-, 1 <k <e.綜合，得，實數 k的取值范圍是0<k<e.(出) F(x) =

16、f(x) f (-x) =ex e),二 F(x1)F(&) =exi2 +*2)+ei2 +e'% >e-2 +e3%)+2 "”也十2 ,二 F(1)F (n)>en+ +2,F(2)F(n -1) en 1 2F(n)F(1) en 1 2.由此得，F(1)F(2) F(n)2 =F(1)F(n)F(2)F(n-1) F(n)F(1) (en1 2)n n故 F(1)F(2)F(n) A(en41+2)，n« N*.數學科學段測試（導數部分）一、選擇題（12小題，共36分）1、設曲線y=x2+x-2在點M處切線斜率為3,則點M的坐標為（）A

17、、（0, -2）B >（1,0） C 、（0, 0） D 、（1, 1）2、拋物線y=x2在點M （ 1 1）的切線的傾斜角是（）2 4A 30°B 、45°C 、60° D 、90°3、將半徑為R的球加熱，若球的半徑增加AR,則球體積的平均變化率為（）A2243A、 4nR2 AR + 4nRAR) +-n(AR) B 、32C、4二 R RD4、函數y=x3 3x在1, 2上的最小值為A 2B、-2C 02424二 R 4 二 R ： R r: ： R5、設函數f (x )的導函數為f x ),且f(x)=x2 +2x吁'(1 ),則f

18、'(0 )等于()A 0 B、4 C、-2D、26、已知曲線y=lx3在點P(2,8),則過P點的切線方程為()3 3A 3x12y_16=0B> 12x3y-16=0C、3x12y 16=0D 12x_3y 16=07、已知f(x) =x3+ ax2+(a+6)x + 1有極大值和極小值，則a的取值范圍為()A、 1<a<2 B、 3<a<6 C、a<1 或 a>2 D、a< 3 或 a>68、設函數f(x)在定義域內可導，y=f(x)的圖象如下圖所示，則導函數 y=f (x)可能為9、設函數f(x) ()A 1_1-1A kB、

19、0 ：二 kC、0 _ k 33310、函數y =xln x的單調遞減區間是A (e。+00)B、(-00, e) C11、方程x3-6x2+9x10=0的實根個數是A . 3 B . 2 C . 1 D(0, e)D().012、對于 R上可導的任意函數 ()f (x),且f (1)=0若滿足(1D k<3()、(e, +8)x 1) f' (x) >0,則必有= kx3+3(k 1)x2_k2+1在區間(0, 4)上是減函數，則k的取值范圍是A f(0)+f(2)<2f(1)C f(0)+f(2)>2f(1)B、f (0)+f(2)>2f(1)D、f

20、(0)+f(2)切(1)、填空題(4小題，共16分)13、【文】已知函數y=x3-3x,則它的單調遞增區間是TL13、【理】計算定積分：,(x+sinx)dx=14、 已知函數 y =ln sin x和 y =a2x的導函數分另IJ是 、 。15、【文】一質點在直線上從時刻t=0秒以速度v(t) = t2 -4t+3 (米/秒)運動，則該質點在時 亥Ut=3秒時運動的路程為 。丸15、【理】函數尸cosx*t與坐標軸圍成的圖像繞行轉一周所得旋轉體的體積16、【文】已知曲線y =x3+3x2+6x-10上一點P,則過曲線上P點的所有切線方程中，斜率最小的切線方程是 016、【理】曲線S: y=3

21、x-x3的過點A (2,-2)的切線的方程是 。三、解答題(4小題，共10+14+ 12+12=48分)17、【文】求曲線y =-fty=x2在它們交點處白兩條切線與x軸所圍成的三角形面積。 x17、【理】已知一物體運動的速度為v(t)=2t+1,求物體在tW0,8內運動的路程。18、已知 f (x) =x3 +3ax2+bx+a2(a >1)在時有極值 0。(1)求常數a,b的值； (2)求的單調區間。(3)方程f(x)=c在區間卜4,0上有三個不同的實根時實數c的范圍 柱，上部的形狀是側棱長為3m的正六棱錐(如右圖所示)。試問當帳篷的頂點。到底面中心oi 的距離為多少時，帳篷的體積最

22、大？19、請您設計一個帳篷。它下部的形狀是高為1m的正六棱1【注：V主體=S h, V錐體=-S h 1320、定義在定義域D內的函數y = f(x),若對任意的為，XzWD都有|f(xi) f(x2)0 ,則稱函數y= f(x)為“媽祖函數”，否則稱“非媽祖函數”.試問函數f(x) =x3-x + a(xw -1,1,) 是否為“媽祖函數”？如果是，請給出證明；如果不是，請說明理由 .莆田四中高二上數學科學段測試(導數部分)參考答案112: BBBBB BDDDCCC213:【文】(-0°,一1)和(1,")、【理】十1；14: y = cotx, y = 2a ln a

23、 ；-215:【文】0米、【理】二；16:【文】3x y+11 = 0、【理】y=-9x+16或y=-2。 417、【文】解：曲線y和y = x2在它們的交點坐標是(1,1),兩條切線方程分別是 y=-x+2 x和y=2x1,它們與x軸所圍成的三角形的面積是-0 , 10分417、【理】解：因為 S'(t) =(t2 +t),所以 S= f(2t+1)dt =S(8) S(0) =72。,10 分18、解：(1),由題知：,2 分聯立1、2有：(舍去)或,4分(2)當時，故方程有根或,6分x十0一0十極大值極小值由表可見，當時，有極小值0,故符合題意,8分由上表可知：的減函數區間為的增函數區間為或,10分(3)因為 f(*)=0, f(3)=4, f(_1) = _1, f(0)=4,由數形結合可得0<c<4。,1