1、專題 07 圓的綜合問題例 1如圖，點 A 是半圓上的一個三等分點，點 B 為弧 AD 的中點，P 是直徑 CD 上一動點，O 的半徑是 2，則 PAPB 的最小值為（）A2B 5C 3 1D22若 AD5，BD2，則DE  ；若直徑 AGBD 交 BD 于點 H，ACFC4，DF3，則cosF   

2、;；同類題型 1.1 如圖，O 是ABC 的外接圓，已知 AD 平分BAC 交O 于點 D，連結 CD，延長 AC，BD，相交于點 F現給出下列結論：25ACBDCF；FDAFCB；4148則正確的結論是（）ABCD同類題型 1.2一張圓形紙片，小芳進行了如下連續操作：（1）將圓形紙片左右對折，折痕為 AB，如圖（2）所示（2）將圓形紙片上下折疊，使 A、B 兩點重合，折痕 CD 與 AB 相交于

3、 M，如圖（3）所示（3）將圓形紙片沿 EF 折疊，使 B、M 兩點重合，折痕 EF 與 AB 相交于 N，如圖（4）所示（4）連結 AE、AF，如圖（5）所示經過以上操作小芳得到了以下結論：CDEF；四邊形 MEBF 是菱形；AEF 為等邊三角形；AEF ：S圓33：4，以上結論正確的有（）A1 個B2 個C3 個D4 個例 2如圖，ABC 中，BC4，BAC45°，以4&#

4、160;2 為半徑，過 B、C 兩點作O，連 OA，則線段 OA 的最大值為_同類題型 2.1  如圖，已知O 的半徑為 1，銳角ABC 內接于O，BDAC 于點 D，OMAB 于點 M，OM  ，2                 3 &

5、#160;                 3               213則 sinCBD 的值等于（）31221ABCD同類題型 2.2 如圖，直線 l 經過O 的圓心 O，與O 

6、交于 A、B 兩點，點 C 在O 上，AOC30°，點 P是直線 l 上的一個動點（與圓心 O 不重合），直線 CP 與O 相交于點 M，且 MPOM，則滿足條件的OCP的大小為_同類題型 2.3 如圖，ABC 中，BAC90°，AC12，AB10，D 是 AC 上一個動點，以 AD 為直徑的O交 BD 于 E，則線段

7、 CE 的最小值是（）A5B6C7D8例 3 如圖，直線l1l2 ，O 與l1 和l2 分別相切于點 A 和點 B點 M 和點 N 分別是l1 和l2 上的動點，MN 沿l1 和l2 平移O 的半徑為 1，160°下列結論錯誤的是（）AMN4  33B若 MN 與O 相切，則AM3C若MON90°，則

8、0;MN 與O 相切Dl1 和l2 的距離為 2同類題型 3.1 如圖，已知 A、B 兩點的坐標分別為（2，0）、（0，1），C 的圓心坐標為（0，1），半徑為 1若 D 是C 上的一個動點，射線 AD 與 y 軸交于點 ，則ABE 面積的最大值是_同類題型 3.2 我們將在直角坐標系中圓心坐標和半徑均為整數的圓稱為“整圓”如圖，直線 l：ykx43 與&#

9、160;x 軸、y 軸分別交于 A、B，OAB30°，點 P 在 x 軸上，P 與 l 相切，當 P 在線段 OA上運動時，使得P 成為整圓的點 P 個數是（）A6B8C10D12同類題型 3.3 已知 ACBC 于 C，BCa，CAb，ABc，下列圖形中O 與ABC 的某兩條邊或三邊所在的直線相切，則O 的半徑為  abab的

10、是（   ）例 4如圖，正方形 ABCD 和正三角形 AEF 都內接于O，EF 與 BC，CD 分別相交于點 G，H，則  的值為ABCDEFGH_同類題型 4.1 如圖，在菱形 ABCD 中，對角線 AC，BD 交于點 O，以 OB 為直徑畫圓 M，過 D 作M 的切線，切點為 N，分別交 AC，BC

11、60;于點 E，F，已知 AE5，CE3，則 DF 的長是_ADE 的長         BBC 的長        CDE 的長      DDE 的長同類題型 4.2 如圖，已知ABC 的外接圓O 的半徑為 1，D、E 分別是

12、 AB、AC 上的點，BD2AD，EC2AE，則 sinBAC 的值等于線段（）2332PFPBPA；若BC  OP，則陰影部分的面積為     3  ；若 PC24，則tanPCB  其例 5如圖，AB 是O 的直徑，點 C 是O 上一點，AD 與過點 C 的切線垂直，垂足為 D，直線 DC 與 AB

13、60;的延長線交于點 P，弦 CE 平分ACB，交 AB 于 點 F，連結 BE，BE72 下列四個結論：AC 平分DAB；2174932444中正確的是（）ABCD同類題型 5.1 如圖，在半徑為 2cm，圓心角為 90°的扇形 OAB 中，分別以 OA、OB 為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為_同類題型 5.2 某景區修建一棟復古建筑，其窗戶設計如圖所示圓 O 

14、的圓心與矩形 ABCD 對角線的交點重合，且圓與矩形上下兩邊相切（E 為上切點），與左右兩邊相交（F，G 為其中兩個交點），圖中陰影部分為不透光區域，其余部分為透光區域已知圓的半徑為 1m，根據設計要求，若EOF45°，則此窗戶的透光率（透光區域與矩形窗面的面積的比值）為_同類題型 5.3 如圖，將半徑為 2，圓心角為 120°的扇形 OAB 繞點 A 逆時針旋轉 60°，點 O，B 的對應點分別為

15、0;O，B，連接 BB，則圖中陰影部分的面積是（）32AB2  33C2  323D4  323和O2  的同側），則由 AE  ，EF， FB   ，AB 所圍成圖形（圖中陰影部分）的面積等于_同類題型 5.4 如圖，已知矩形 ABCD 中，AB3，AD2，分別以邊 AD，BC 為直徑在矩形 ABCD 的內部作半圓O1 和半圓O2

16、60;，一平行于 AB 的直線 EF 與這兩個半圓分別交于點 E、點 F，且 EF2（EF 與 AB 在圓心O1參考答案例 1如圖，點 A 是半圓上的一個三等分點，點 B 為弧 AD 的中點，P 是直徑 CD 上一動點，O 的半徑是 2，則 PAPB 的最小值為（）A2B 5C 3 1D22解：作 A 關于&

17、#160;MN 的對稱點 Q，連接 CQ，BQ，BQ 交 CD 于 P，此時 APPBQPPBQB，根據兩點之間線段最短，PAPB 的最小值為 QB 的長度，若 AD5，BD2，則DE  ；若直徑 AGBD 交 BD 于點 H，ACFC4，DF3，則cosF   ；連接 OQ，OB，點 A 是半圓上的一個三等分點，ACD30°B 

18、;弧 AD 中點，BODACD30°，QOD2QCD2×30°60°，BOQ30°60°90°O 的半徑是 2，OBOQ2，BQOB2OQ22 2 ，即 PAPB 的最小值為 2 2選 D同類題型 1.1 如圖，O 是ABC 的外接圓，已知 AD 平分BAC 交O 于點 D，連結 CD，延長 AC，BD，相交

19、于點 F現給出下列結論：25ACBDCF；FDAFCB；4148則正確的結論是（）ABCD解：如圖 1， BDDE  ，由 AD5，BD2，可求DE=，AD 平分BAC，BADCAD，CADCBD，BADCBD，BDEBDE，BDEADB，AD BD45不正確；如圖 2，連接 CD，FCDACD180°，ACDABD180°，FCDABD，若ACBDCF，因為ACBADB，則有：ABDADB，與已知不符，故不正確；如圖 3，FF，FADFBC，FDAFCB；故正確；

20、如圖 4， FCFD ，由 ACFC4，DF3，可求：AF8，FB  ，BDBFDF  ，DH  ，FH  ，cosF  ，連接 CD，由知：FCDABD，又FF，FCDFBA，FB FA323233直徑 AGBD，236416FH41AF48故正確；故選：C同類題型 1.2一張圓形紙片，小芳進行了如下連續操作：（1）將圓形紙片左右對折，折痕為 AB，如圖（2）所示（2）將圓形紙片上下折疊，使 A

21、、B 兩點重合，折痕 CD 與 AB 相交于 M，如圖（3）所示（3）將圓形紙片沿 EF 折疊，使 B、M 兩點重合，折痕 EF 與 AB 相交于 N，如圖（4）所示（4）連結 AE、AF，如圖（5）所示經過以上操作小芳得到了以下結論：CDEF；四邊形 MEBF 是菱形；AEF 為等邊三角 形；AEF ：S圓33：4，以上結論正確的有（）A1 個B2 個C3 

22、;個D4 個解：紙片上下折疊 A、B 兩點重合，BMD90°，紙片沿 EF 折疊，B、M 兩點重合，BNF90°，BMDBNF90°，CDEF，故正確；根據垂徑定理，BM 垂直平分 EF，又紙片沿 EF 折疊，B、M 兩點重合，BNMN，BM、EF 互相垂直平分，四邊形 MEBF 是菱形，故正確；如圖，連接 ME，則 MEMB2MN，AEM  EMN×60°30

23、76;，設圓的半徑為 r，則MNr，EN   r，EF2EN   3  r，ANr  rr，AEF ：S圓（  ×   3r×  r）： r  3   3  ：4 ，故正確；MEN30°，EMN90°30°60°，又AMME（都是半徑），AEMEAM，1122

24、AEFAEMMEN30°30°60°，同理可求AFE60°，EAF60°，AEF 是等邊三角形，故正確；1322132213222綜上所述，結論正確的是共 4 個選 D同類題型 1.3同類題型 1.4例 2如圖，ABC 中，BC4，BAC45°，以4 2 為半徑，過 B、C 兩點作O，連 OA，則線段 OA 的最大值為_解：作 OFBC 于 F，則BFCFB

25、C2，如圖，連結 OB，12在    OBF 中，OF OB2BF2 (4   2)  2  2   7  ，在    BDC 中，BC CD BD，4  （   2xx）  x，即x  4（2   2

26、0; ），  AFBC   BDAC，AFx   2x同類題型 2.1  如圖，已知O 的半徑為 1，銳角ABC 內接于O，BDAC 于點 D，OMAB 于點 M，OM  ，2                 3

27、0;                  3               222BAC45°，BC4，點 A 在 BC 所對應的一段弧上一點，當點 A 在 BC 的垂直平分線上時&#

28、160;OA 最大，此時 AFBC，ABAC，作 BDAC 于 D，如圖，設 BDx，ABD 為等腰直角三角形，AB 2BD 2 x，AC 2 x，2222222112242 2 2，AOAFOF2 222 7 ，即線段 OA 的最大值為2 222 713則 sinCBD 的值等于（）31221ABCD解：連接 AO，O 的半徑為 

29、60; ，銳角ABC 內接于O，BDAC 于點 D，OM，OB13則 sinCBD 的值等于OMAB 于點 M，AOBO，AOMBOM，AOB2CMOBC，131MO31sinCBDsinOBM 13選 B同類題型 2.2 如圖，直線 l 經過O 的圓心 O，與O 交于 A、B 兩點，點 C 在O 上，AOC30°，點 P是直線 l 上的

30、一個動點（與圓心 O 不重合），直線 CP 與O 相交于點 M，且 MPOM，則滿足條件的OCP的大小為_解：根據題意，畫出圖（1），在QOC 中，OCOM，OMCOCP，在OPM 中，MPMO，MOPMPO，又AOC30°，MPOOCPAOCOCP30°，在OPM 中，MOPMPOOMC180°，即（OCP30°）（OCP30°）OCP180°，整理得，3OCP120°，OCP40°22當 P 

31、在線段 OA 的延長線上（如圖 2）OCOM，1OMP=（180°-MOC）×，OMPM，1OPM=（180°-OMP）×，在OMP 中，30°MOCOMPOPM180°，把代入得MOC20°，則OMP80°OCP100°；2P（180°OMP）×，當 P 在線段 OA 的反向延長線 上（如圖 3），OCOM，1OCP=OMC=（180°-COM）×，OMPM，12A

32、OC30°，COMPOM150°，PPOM，2POCPOMC，聯立得P10°，OCP180°150°10°20°故答案為：40°、20°、100°同類題型 2.3 如圖，ABC 中，BAC90°，AC12，AB10，D 是 AC 上一個動點，以 AD 為直徑的O交 BD 于 E，則線段 CE 的最小值是（）A5B6C7D8解：如圖，連接 AE，則A

33、EDBEA90°，點 E 在以 AB 為直徑的Q 上，AB10，QAQB5，當點 Q、E、C 三點共線時，QECECQ（最短），而 QE 長度不變，故此時 CE 最小，AC12，QCAQ2AC2 13，CEQCQE1358，選 D例 3 如圖，直線l1l2 ，O 與l1 和l2 分別相切于點 A 和點 B點 M 和點 N 分別是

34、l1 和l2 上的動點，MN 沿l1 和l2 平移O 的半徑為 1，160°下列結論錯誤的是（）AMN4  33B若 MN 與O 相切，則AM3C若MON90°，則 MN 與O 相切Dl1 和l2 的距離為 2解：A、平移 MN 使點 B 與 N 重合，160°， AB2，解直角三角形得MN  &#

35、160; ，正確；4 33B、當 MN 與圓相切時，M，N 在 AB 左側以及 M，N 在 A，B 右側時，AM 3 或C、若MON90°，連接 NO 并延長交 MA 于點 ，則AOCBON，33，錯誤；故 CO，MONMOC，故 MN 上的高為 1，即 O 到 MN 的距離等于半徑正確；D、l1l2 ，兩平行線之間的

36、距離為線段 AB 的長，即直徑 AB2，正確選 B同類題型 3.1 如圖，已知 A、B 兩點的坐標分別為（2，0）、（0，1），C 的圓心坐標為（0，1），半徑為 1若 D 是C 上的一個動點，射線 AD 與 y 軸交于點 ，則ABE 面積的最大值是_解：當射線 AD 與C 相切時，ABE 面積的最大連接 AC，AOCADC90°，ACAC，OCC

37、D， AOC ADC（HL），ADAO2，DEEFOE，連接 CD，設 EFx，2CF1，DE x(x2) ，CDEAOE，AO   AECD CE  ，22   x(x2)解得x，BE×AO              113ABE     

38、0;         1x1即 ，2322×( 12)223同類題型 3.2 我們將在直角坐標系中圓心坐標和半徑均為整數的圓稱為“整圓”如圖，直線 l：ykx43 與 x 軸、y 軸分別交于 A、B，OAB30°，點 P 在 x 軸上，P 與 l 相切，當 P 在線段 OA上運動時，使得P

39、 成為整圓的點 P 個數是（）A6B8C10D12解：直線 l：ykx4 3 與 x 軸、y 軸分別交于 A、B，PMPA，P 的半徑PM PA6 x，B（0，4gh(3) ），OB4 3 ，在  AOB 中，OAB30°，OA 3OB 3×4 3 12，P 與 l 相切，設切點為 M，連接 PM，

40、則 PMAB，12設 P（x，0），PA12x，1122x 為整數，PM 為整數，x 可以取 0，2，4，6，8，10，6 個數，使得P 成為整圓的點 P 個數是 6故選：A同類題型 3.3 已知 ACBC 于 C，BCa，CAb，ABc，下列圖形中O 與ABC 的某兩條邊或三邊所在的直線相切，則O 的半徑為  abab的是（   ）ABC 

41、60;（abc）rab，ABC解：設O 的半徑為 r，A、O 是ABC 內切圓，1122Drababc；B、如圖，連接 OD，則 ODOCr，OAbr，AD 是O 的切線，ODAB，即AODC90°，ADOACB，OA：ABOD：BC，即（br）：cr：a，ac解得：rab；C、連接 OE，OD，AC 與 BC 是O 的切線，OEBC，ODAC，OEBODCC90°，四邊形 ODCE 是矩形，ODOE，矩形 ODCE

42、 是正方形，ECODr，OEAC，OE：ACBE：BC，r：b（ar）：a，rabab；由勾股定理得：BF OB OF，BE OB OE，則 BAAFBCCE，cbrar，即r       例 4如圖，正方形 ABCD 和正三角形 AEF 都內接于O，EF 與 BC，CD 分別相交于點 G，H，則  的值為D、解：設 AC、BA、BC 與

43、O 的切點分別為 D、F、E；連接 OD、OE；AC、BE 是O 的切線，ODCOECDCE90°；四邊形 ODCE 是矩形；ODOE，矩形 ODCE 是正方形；即 OEODCDr，則 ADAFbr；連接 OB，OF，222222OBOB，OFOE，BFBE，cba2故選 CEFGH_解： 如圖，連接 AC、BD、OF，FI=rsin60°=   r，設O 的半徑是 r，則&#

44、160;OFr，AO 是EAF 的平分線，OAF60°÷230°，OAOF，OFAOAF30°，COF30°30°60°，32r×2=   3  r，EF=32OIr，CIr  rr，BD   CO2GHBDr， EF      3  AO2OI，111222GH CI1，12GHr同類題型

45、0;4.1 如圖，在菱形 ABCD 中，對角線 AC，BD 交于點 O，以 OB 為直徑畫圓 M，過 D 作M 的切線，切點為 N，分別交 AC，BC 于點 E，F，已知 AE5，CE3，則 DF 的長是_解：延長 EF，過 B 作直線平行 AC 和 EF 相交于 P，又DMNDEO，且MN=DM，5ADE 的長

46、60;        BBC 的長        CDE 的長      DDE 的長AE5，EC3，AOCEOE，即有，OEEN1，13DE3OE3，又OEBP，O 是 DB 中點，所以 E 也是中點，EPDE3，BP2，又EFCPFB，相似比是 3：2，3EF=EP×1.8，

47、故可得 DFDEEF31.84.8同類題型 4.2 如圖，已知ABC 的外接圓O 的半徑為 1，D、E 分別是 AB、AC 上的點，BD2AD，EC2AE，則 sinBAC 的值等于線段（）2332解：如圖，作直徑 CF，連接 BF，在    CBF 中，sinFBC   BCCF2；sinAsinF  DEPFPBPA；若BC  OP，則陰影部分

48、的面積為     3  ；若 PC24，則tanPCB  其BD2AD，EC2AE，AD：ABAE：AC1：3，又EADCAB，EADCAB，BC3DE，BC3DE3222選 D例 5如圖，AB 是O 的直徑，點 C 是O 上一點，AD 與過點 C 的切線垂直，垂足為 D，直線 DC 與 AB 的延長線交于點 P，弦 CE

49、60;平分ACB，交 AB 于點 F，連結 BE，BE72 下列四個結論：AC 平分DAB；2174932444中正確的是（）ABCD解：連接 OCOAOC，OACOCAPC 是O 的切線，ADCD，OCPD90°，OCADCADOCAOAC即 AC 平分DAB故正確；AB 是直徑，ACB90°，PCBACD90°，又CADACD90°，CABCADPCB又ACEBCE，PFCCABACE，PCFPCBBCEPFCPCFPCPF，P&#

50、160;是公共角，PCBPAC，PC：PAPB：PC，PCPBPA，即PFPBPA；故正確；22連接 AE AE  BE   ，BCOP，BOC  3  ，S_(扇形 BOC)(60)/ (360)× ×7(2)(49)/(6) ，陰影部分的面積為    3  ；故錯誤； PBBC ，ACEBCE，AEBE又AB 是直徑，AEB90

51、76;AB= 2BE= 2×7 2 14，OBOC7，PD 是切線，OCP90°，12BC 是  OCP 的中線，BCOBOC，即OBC 是等邊三角形，BOC60°，494494964PCBPAC，PC ACtanPCBtanPACBC PBAC PC，PCPBPA，24x（x14），PC244設 PBx，則 PAx14，22解得：x1 18，x2 32，PB18，PB183tanPCB；故正確故

52、選 C同類題型 5.1 如圖，在半徑為 2cm，圓心角為 90°的扇形 OAB 中，分別以 OA、OB 為直徑作半圓，則圖中陰影部分的面積為_解：扇形 OAB 的圓心角為 90°，扇形半徑為 2，90 ×2        2扇形面積為：        （cm），1

53、60;     2    2半圓面積為： × ×1  （cm），SQSM  SMSP（cm），S綠色   AOD  ×2×11(cm  )，陰影部分 Q 的面積為：S扇形AOBS半圓S綠色 11(cm  )23602222SQSP ，連接 AB，OD，兩半圓的直徑相等，

54、AODBOD45°，122222同類題型 5.2 某景區修建一棟復古建筑，其窗戶設計如圖所示圓 O 的圓心與矩形 ABCD 對角線的交點重合，且圓與矩形上下兩邊相切（E 為上切點），與左右兩邊相交（F，G 為其中兩個交點），圖中陰影部分為不透光區域，其余部分為透光區域已知 圓的半徑為 1m，根據設計要求，若EOF45°，則此窗戶的透光率（透光區域與矩形窗面的面積的比值）為_解：設O 與矩形 ABCD 的另一個交點為 M，180 

55、;×1     1       S透明區域      2×  ×1×11，ON  FG  2  ，AB2ON2×  2   2  ，S矩形83      

56、60;                  3                  3