1、第十二章微分方程 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 習(xí)題答案 (二) (28) 第十二章 12.6 可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程 1. 求下列微分方程的通解(1)0 xyy,yp令.yp0.dpxpdx則.dpdxpx 解: 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 原方程變?yōu)榉蛛x變量:兩邊積分:1lnln.cpx1.cpx1,cyx兩邊積分:12ln.ycxc2(2)1 ( )yy 解: 令,yp則.yp原方程變?yōu)?1.dppdx 分離變量:2.1dpdxp兩邊積分:即有1arctan pxc也即有1tan().pxc兩邊積分得:1tan().yxc解:12lncos().yxcc

2、22(3)()0.1yyy原方程變?yōu)?.yp 令.dpdp dydpyppdxdy dxdy機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 220.1dpppdyy即為:2.1dppdyy 分離變量:2.1dpdypy兩邊積分:21lnln(1) .pc y即有21(1) .pc y也即有21(1) .yc y分離變量:兩邊積分:原方程的通解為:21.(1)dydxc y2111.1xcc y121.1c xcy1211.yc xc (1)2 yy 01y 02y即為:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二.求下列微分方程滿足初始條件的特解解:令,yp,yp原方程變?yōu)? .pp分離變量:2.dpdxp兩邊

3、積分:1ln2.pxc把初始條件代入上式得1ln2.c 即有l(wèi)n2ln2.px也即有l(wèi)n2 .2px2.2xpe22.xye兩邊積分:22.xyec把初始條件代入得:20.c 2.xye解:2(2)(1) 0 xyxy滿足初始條件的特解為 00y令 01y分離變量:2.1dpxdxpx2(1) .xpxp原方程變?yōu)?.yp,yp兩邊積分:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 211lnln(1)ln2pxc12.1cpx12.1cyx把初始條件代入上式得:11.c 21.1yx則有:兩邊積分:2arcsin.yxc把初始條件代入上式得:20.c 滿足初始條件的特解為:arcsin .yx12.3

4、 高階線性微分方程高階線性微分方程1 .驗證1cos,xyekx都是方程2sinxyekx的解,2 2 (1)0yyky并求此方程的通解.1(cossin).xyekxkkx21(1)cos2 sin.xyekkxkkx解:111,yy y將2(1)cos2 sinxekkxkkx2(cossin)xekxkkx2(1)cosxkekx代入方程中有0左邊=機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 =右邊所以1cosxyekx是所給方程的解.同樣可驗證2sinxyekx也是所給方程的解.由于12cotykxy常數(shù),12yy與線性無關(guān),所以12(cossin)xye ckxckx是所給方程的通解.2.驗

5、證12cos,sinyx yx都是方程20yy 的解,并寫出該方程的通解.解:1sin,yx 21cos,yx 11,yy22coscos0 xx12cotyxy將12yy與左邊=12cossinycxcx代入所給方程有:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 =右邊所以1cosyx是所給方程的解.同樣可驗證2sinyx也是所給方程的解.由于常數(shù),線性無關(guān),因此所給方程的通解為:,yy y 20,mmp xq x2,mxym e12.8 常系數(shù)齊次線性微分方程常系數(shù)齊次線性微分方程1.填空題 0yp x yq x y(1) 若 mxye,mxyme則微分方程 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 有

6、一條過點(0,1)的積分曲線是 _.解: 假設(shè) 是所給微分方程的解, 由于 將 代入所給微分方程得: 2mxmxmxm ep x meq x e 2mxemmp xq x00mxe左邊= =右邊 又由于 00|1,mxye這表明曲線 mxye過點(0,1). 因此應(yīng)填mxyemxye1Q=_.121,1.rr (2)若方程0ypyqy12,xxyeye則依題意知2(p , q均為實常數(shù))P=_,(1)(1)0.rr210,r 0.yy有特解解 :0,1.pq特征方程為0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (3)若方程0ypyqy(p , q均為實常數(shù))有特解12cos ,sin ,xxyex

7、yex則 P=_,Q=_.解 :依題意知1,21,ri 特征方程為2(1)10.r 2220,rr2,2.pq 2(4)若方程0ypyqy(p , q均為實常數(shù))有特解21210,xyye則P=_,Q=_.解 : 依題意知120,2.rr 特征方程為(2)0.r r 2 20.yyy應(yīng)填4240,r 00,4.pq解:應(yīng)填1,22ri 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 220.rr 2 0.yy2,0.pq2,0.pq(5)若方程0ypyqy(p , q均為實常數(shù))有特解12cos2 ,sin2 ,yx yx則P=_,Q=_.依題意知特征方程為 40.yy(6)若方程0ypyqy(p , q

8、均為實常數(shù))有特解312,xxyeye則 P=_,Q=_.解:依題意知121,3,rr 特征方程為(1)(3)0,rr2230,rr 2 30.yyy應(yīng)填2,3.pq 23(7)若某二階常系數(shù)齊次方程的通解為12ycc x其中12,c c為獨立的任意常數(shù),則該方程為_.0y (8) 若某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解為其中12,xyc ec則該方程為_. 12,c c為獨立的任意常數(shù),121,0.rr(1)0.r r 20,rr0.yy解:依題意有:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 即有特征方程:應(yīng)填0.yy0yy(9) 若某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解為12cossin,yckxck

9、x其中12,c c為獨立的任意常數(shù),k為實常數(shù),則該方程為_. 解:依題意有:1,2.rki 即有特征方程:220.rk0.yky應(yīng)填0.yky0yky解:依題意有:120.rr20.r0.y應(yīng)填0.y 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (10) 若某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解為12,xxyc ec e其中為獨立的任意常數(shù),12,c c則該方程為_. 解:依題意有:121,1.rr 即有特征方程:(1)(1)0.rr210,r 0.yy應(yīng)填0.yy0yy二.求下列微分方程的通解22(1)280d xdxxdtdt解:特征方程:2280.rr(4)(2)0,rr14,2.rr 通解為42

10、12.xxyc ec e(其中12,c c為獨立的任意常數(shù))解: 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解: 特征方程: 250.r 5.r 5512.xxycec e22(2)50d yydx通解為(其中12,c c為獨立的任意常數(shù))(3)2 100.yyy解: 特征方程: 22100.rr2(1)9,r 1,21 3.ri 通解為12(cos3sin3 ).xyecxcx(其中12,c c為獨立的任意常數(shù))(5)(4)8 16 0.xxx特征方程: 538160.rrr42(816)0.r rr22(4)0.r r12,34,50,2,2.rrr 通解為2212345()().ttxccc

11、t ecc t e機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 2 0yyy 01y三. 求下列微分方程的特解 解: 特征方程為 00y把初始條件2210.rr 通解為: 2(1)0.r1,21.r 12().xycc x e 01y代入通解得 11.c 則有: 2(1).xyc x e22(1).xxyc ec x e把初始條件 00y代入上式得 21.c 滿足初始條件的特解為:(1).xyx e2.0yyy 01y 00y解: 特征方程為 210.rr 213().24r 1,213.22ri 題 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 將初始條件 (0)1y代入通解得:11.c 即有: 通解為: 12

12、1233(cossin).22xyecxcx12233(cossin).22xyexcx112222133333(cossin)( sincos).222222xxyexcxec 將初始條件 (0)0y代入上式得:21.3c 滿足初始條件的特解為 12333(cossin).232xyexx四.設(shè)函數(shù) x二階連續(xù)可微, 且使曲線積分 3 2Lxxydxx dy與路徑無關(guān), 求函數(shù) .x解:由于曲線積分與路徑無關(guān),也即有即有特征方程為所以有 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,3 2P x yxxy 3 2Pxxy ,Q x yx Qxx.QPxy 3 2xxx 3 20.xxx2320.rr

13、(1)(2)0.rr121,2.rr 212.xxxc ec e12.9 常系數(shù)非齊次線性微分方程常系數(shù)非齊次線性微分方程一.選擇題 (以下各題中的A ,B ,C ,D是待定常數(shù))1.微分方程 的特解應(yīng)具有形式( ).sinyyxx( )()sin()cos ;Bx AxBxx CxDx特征方程為 ( )()sin ;AAxBx解:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( )()(cossin );Cx AxBxx()()(sincos ).Dx AxB CxDx210.r 特征根為 1,2.ri 自由項為 sin .f xxx0,1.ii 是特征方程的根, 故可設(shè) ()sin()cosyx A

14、xBxx CxDxB解:對于 1,fxx0,不是特征根. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.微分方程 cosyyxx的特解應(yīng)具有形式( ).( )cos ;AAxBCx( )cossin ;BAxBCxDx( )(cossin );CAxBx CxDx()cos .DAxBCxx特征方程為 210.r 特征根為 1,2.ri 自由項為 12cos .f xfxfxxx可設(shè) 1.yAxB對于 2cos ,fxx0,1.ii 是特征根. 可設(shè) 2(cossin ).yx CxDx即設(shè) 12(cossin ).yyyAxBx CxDxC解:把機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3.微分方程 1

15、yyxx的特解應(yīng)具有形式( ).( );AAxB2( );BAxBxC( )();Cx AxB3().DAx方程為變系數(shù)二階線性非齊次方程 .根據(jù)方程解 的概念將(A) , (B) ,(C) ,(D) 選項的函數(shù)分別代入方程.3323,()3,()6,AxAxAxAxAx代入方程有: 2163AxAxxx1.3A因此選項(D)是正確的. D4.微分方程 3 3 xyyyyxe的特解應(yīng)具有形式( ).( );xAAxe3( );xBAx e3( )();xCxAxB e32()().xDAxBxCx eC解:323331(1)0.rrrr 特征根為1231.rrr 自由項為特征方程為是特征方程三

16、重根, .xf xxe故可設(shè) 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1 3().xyxAxB e因此選項(C)是正確的. 5.微分方程 2yyx的特解應(yīng)具有形式( ).2( );AAx2( );BAxBxC3( );CAx2()().Dx AxBxC解:特征方程為2(1)0.rrr r特征根為120,1.rr自由項為 2.f xx0是特征方程單根,故可設(shè) 2().yx AxBxC因此選項(D)是正確的. D 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 6.微分方程 2 5 6xyyyxe的特解應(yīng)具有形式( ).2( );xAAxe2( )();xBAxB e22( )();xCAxBxC e2()().

17、xDx AxB e解:特征方程為256(2)(3)0.rrrr特征根為122,3.rr自由項為 2.xf xxe2 是特征方程單根,故可設(shè) 2().xyx AxB e因此選項(D)是正確的. D 7.微分方程 1xyye的特解應(yīng)具有形式( ).( );xAAeB( );xBAxeBx( );xCAeBx().xDAxeB解:特征方程為210.r 特征根為121,1.rr 自由項為 121.xf xfxfxe是特征方程的單根,故可設(shè)即可設(shè)12xyyyAxeB 1,xfxe11.xyAxe機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 對于自由項對于自由項 21,fx 0不是特征根,故可設(shè)2.yB因此選項(D

18、)是正確的. 8.微分方程 2 6 8xxyyyee的特解應(yīng)具有形式( ).2( );xxAAeBe2( );xxBAeBxe2( );xxCAxeBe2().xxDAxeBxe解:特征方程為268(2)(4)0.rrrr特征根為122,4.rr自由項為 212.xxf xfxfxee對于自由項 1,xfxe1不是特征方程的根,故可設(shè)1.xyAe對于自由項 22,xfxe2方程的單根, 故可設(shè)22.xyxBe即可設(shè)2xxyAeBxe是特征B機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 9.微分方程 22 4 468xyyyxe的特解應(yīng)具有形式( ).22( );xAAxBxCe222( );xBAxBx

19、CDx e22( );xCAxBe22()().DAxBxCx解:特征方程為2244(2)0.rrr特征根為122.rr自由項為 221268.xf xfxfxxe0不是特征方程的根,故可設(shè) 21.yAxBxC因此選項(B)是正確的. B 即可設(shè)對自由項 216,fxx對自由項 228,xfxe2是特征方程的二重根,故可設(shè) 222.xyx De22212.xyyyAxBxCDx e機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 10.微分方程 sincos2yyxx的特解應(yīng)具有形式( ).( )sincoscos2 ;AAxBxCx( )( sincos )cos2sin2 ;Bx AxBxCxDx( )

20、sincos2sin2 ;CAxBxCx()sincos2 .DAxxBxx解:特征方程為210.r 特征根為1,2.ri 自由項為 12sincos2 .f xfxfxxx0,1,ii 是特征根,故可設(shè) 1( sincos ).yx AxBxB 對自由項 1sin ,fxx對自由項 2cos2 ,fxx0,2,ii 不是特征根,故可設(shè) 2cos2sin2 .yCxDx即可設(shè) 12( sincos )cos2sin2 .yyyx AxBxCxDx解:1.2 2.xyyye特征方程為特征根為121,1.2rr 對應(yīng)的齊次方程的通解為自由項為1212.xxYc ec e二.求下列微分方程的通解: 221(21)(1)0.rrrr 不是特征方程的根.故可設(shè)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2.xf xe1.xyAe.xyyAe,yyy把代入原方程得22.xxxxAeAeAee1.A.xye1212.xxxyYyc ec ee非齊次方程的特解為方程的通解為解:2. 4cos.yyx特征方程為特征根為1,22 .ri 對應(yīng)的