1、2011高考數學精華30套（2）1杭州二模21 (本小題滿分14分)設雙曲線=1( a > 0, b > 0 )的右頂點為A，P是雙曲線上異于頂點的一個動點，從A引雙曲線的兩條漸近線的平行線與直線OP分別交于Q和R兩點.(1) 證明：無論P點在什么位置，總有|2 = |·| ( O為坐標原點)；(2) 若以OP為邊長的正方形面積等于雙曲線實、虛軸圍成的矩形面積，求雙曲線離心率的取值范圍；解：(1) 設OP：y = k x, 又條件可設AR: y = (x a ), 解得：= (,), 同理可得= (,), |·| =|+| =. 4分 設 = ( m, n )

2、, 則由雙曲線方程與OP方程聯立解得:m2 =, n2 = , |2 = :m2 + n2 = + = ,點P在雙曲線上，b2 a2k2 > 0 . 無論P點在什么位置，總有|2 = |·| . 4分（2）由條件得：= 4ab, 2分即k2 = > 0 , 4b > a, 得e > 2分22. (本小題滿分12分)已知常數a > 0, n為正整數，f n ( x ) = x n ( x + a)n ( x > 0 )是關于x的函數.(1) 判定函數f n ( x )的單調性，并證明你的結論.(2) 對任意n ³ a , 證明f n + 1

3、 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn(n)解: (1) fn ( x ) = nx n 1 n ( x + a)n 1 = n x n 1 ( x + a)n 1 , a > 0 , x > 0, fn ( x ) < 0 , f n ( x )在（0，+）單調遞減. 4分（2）由上知：當x > a>0時, fn ( x ) = xn ( x + a)n是關于x的減函數, 當n ³ a時, 有：(n + 1 )n ( n + 1 + a)n £ n n ( n + a)n. 2分又 f n + 1 (x ) = ( n + 1

4、 ) xn ( x+ a )n ,f n + 1 ( n + 1 ) = ( n + 1 ) (n + 1 )n ( n + 1 + a )n < ( n + 1 ) nn ( n + a)n = ( n + 1 ) nn ( n + a )( n + a)n 1 2分( n + 1 )fn(n) = ( n + 1 )nn n 1 ( n + a)n 1 = ( n + 1 )n n n( n + a)n 1 , 2分( n + a ) > n ,f n + 1 ( n + 1 ) < ( n + 1 )fn(n) . 2分2杭州一模21. (本小題滿分12分)已知：y =

5、 f (x) 定義域為1，1，且滿足：f (1) = f (1) = 0 ，對任意u ,vÎ1，1，都有|f (u) f (v) | | u v | .(1) 判斷函數p ( x ) = x2 1 是否滿足題設條件？(2) 判斷函數g(x)=，是否滿足題設條件？解： (1) 若u ,v Î 1，1， |p(u) p (v)| = | u2 v2 |=| (u + v )(u v) |，取u = Î1，1，v = Î1，1, 則 |p (u) p (v)| = | (u + v )(u v) | = | u v | > | u v |，所以p( x)

6、不滿足題設條件.（2）分三種情況討論：10. 若u ,v Î 1，0，則|g(u) g (v)| = |(1+u) (1 + v)|=|u v |，滿足題設條件；20. 若u ,v Î 0，1， 則|g(u) g(v)| = |(1 u) (1 v)|= |v u|，滿足題設條件；30. 若uÎ1，0，vÎ0，1，則： |g (u) g(v)|=|(1 u) (1 + v)| = | u v| = |v + u | | v u| = | u v|，滿足題設條件;40 若uÎ0，1，vÎ1，0, 同理可證滿足題設條件.綜合上述得g(x)

7、滿足條件.22. (本小題滿分14分)已知點P ( t , y )在函數f ( x ) = (x ¹ 1)的圖象上，且有t2 c2at + 4c2 = 0 ( c ¹ 0 ).(1) 求證：| ac | ³ 4;(2) 求證：在(1，+）上f ( x )單調遞增.(3) (僅理科做)求證：f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.證：(1) tÎR, t ¹ 1, = (c2a)2 16c2 = c4a2 16c2 ³ 0 ， c ¹ 0, c2a2 ³ 16 , | ac | ³

8、 4. (2) 由 f ( x ) = 1 ,法1. 設1 < x1 < x2, 則f (x2) f ( x1) = 1 1 + = . 1 < x1 < x2, x1 x2 < 0, x1 + 1 > 0, x2 + 1 > 0 ,f (x2) f ( x1) < 0 , 即f (x2) < f ( x1) , x ³ 0時，f ( x )單調遞增. 法2. 由f ( x ) = > 0 得x ¹ 1, x > 1時，f ( x )單調遞增.（3）（僅理科做）f ( x )在x > 1時單調遞增，|

9、c | ³ > 0 , f (| c | ) ³ f () = = f ( | a | ) + f ( | c | ) = + > +=1. 即f ( | a | ) + f ( | c | ) > 1.3南通二模19（本小題滿分15分）設定義在R上的函數（其中R，i=0,1,2,3,4），當x= 1時，f (x)取得極大值，并且函數y=f (x+1)的圖象關于點（1，0）對稱（1） 求f (x)的表達式；（2） 試在函數f (x)的圖象上求兩點，使這兩點為切點的切線互相垂直，且切點的橫坐標都在區間上；（3） 若，求證：解：（1）5分 （2）或10分 （3）用導數求最值，可證得15分20（本小題滿分13分）設M是橢圓上的一點，P、Q、T分別為M關于y軸、