1、1習習 題題 課課二二 重重 積積 分分知識要點知識要點 解題技巧解題技巧典型例題典型例題2其中其中 iiniiDfyxfI ),(limd),(10一、二重積分的概念與性質一、二重積分的概念與性質 是各小閉區域的直徑中的最大值是各小閉區域的直徑中的最大值.幾何意義幾何意義二重積分二重積分I表示以表示以D為底為底,柱體的體積柱體的體積.z =f (x, y)為曲頂為曲頂, 側面是側面是（一）二重積分的定義（一）二重積分的定義,幾何意義與物理意義幾何意義與物理意義定義定義1.平面上有界閉區域平面上有界閉區域D上二元有界函數上二元有界函數z = f (x, y)的二重積分的二重積分2.當連續函數當

2、連續函數,0),(時時 yxfz以以D的邊界為準線的邊界為準線,母線平行于母線平行于z軸的柱面的軸的柱面的曲頂曲頂一般情形一般情形,知識要點知識要點 3 Dyxf d),(物理意義物理意義3.xOy平面上方的曲頂柱體體積平面上方的曲頂柱體體積減減xOy平面下方的曲頂柱體體積平面下方的曲頂柱體體積.若平面薄片占有平面內有界閉區域若平面薄片占有平面內有界閉區域D,),(yx 則它的質量則它的質量M為為:它的面它的面密度為連續函數密度為連續函數.d),( DyxM 4性質性質1(線性運算性質線性運算性質)為常數為常數, 則則(重積分與定積分有類似的性質重積分與定積分有類似的性質) Dyxgyxf d

3、),(),( 、設設 DDyxgyxf d),(d),(性質性質2 將區域將區域D分為兩個子域分為兩個子域 Dyxf d),()(21DDD 對積分區域的可加性質對積分區域的可加性質. 1d),(Dyxf 2d),(Dyxf ,21DD（二）二重積分的性質（二）二重積分的性質5以以1為高的為高的 性質性質3(幾何應用幾何應用) 若若 為為D的面積的面積 注注 D d既可看成是以既可看成是以D為底為底,柱體體積柱體體積. D d1 D d又可看成是又可看成是D的面積的面積. Dyxf d),(特殊地特殊地性質性質4(4(比較性質比較性質) ),(),(yxgyxf 設設,),(Dyx 則則 Dy

4、xg d),( Dyxf d),( Dyxf d),( ( (保序性保序性) )6 DMyxfm d),(幾何意義幾何意義以以m為高和以為高和以M為高的為高的性質性質5(5(估值性質估值性質) ),),(Myxfm 設設為為D的面積的面積, 則則,),( , 0),(Dyxyxf 設設則曲頂則曲頂柱體的體積介于以柱體的體積介于以D為底為底,兩個平頂柱體體積之間兩個平頂柱體體積之間.7性質性質6(6(二重積分中值定理二重積分中值定理) ),( Dyxf d),(體體積等于以體體積等于以D為底為底),( f以以幾何意義幾何意義域域D上連續上連續,為為D的面積的面積, 則在則在D上至少存在一點上至少

5、存在一點使得使得 ),(f,),( , 0),(Dyxyxf 設設則曲頂柱則曲頂柱 為高的平頂柱體體積為高的平頂柱體體積.設設f (x, y)在閉區在閉區8(1)設設f (x, y)在有界閉區域在有界閉區域D上連續上連續. Dyxyxfdd),(若若D關于關于,dd),(21yxyxfD 則則x軸對稱軸對稱, f (x, y)對對y為奇函數為奇函數, 即即, 0,),(),(),(Dyxyxfyxf f (x, y)對對y為偶函數為偶函數, 即即,),(),(),(Dyxyxfyxf 則則 Dyxyxfdd),(其中其中;01 yDD（三）對稱區域上奇偶函數的積分性質（三）對稱區域上奇偶函數的

6、積分性質9(2)設設f (x, y)在有界閉區域在有界閉區域D上連續上連續. Dyxyxfdd),(若若D關于關于,dd),(21yxyxfD 則則 y軸對稱軸對稱, f (x, y)對對x為奇函數為奇函數, 即即, 0,),(),(),(Dyxyxfyxf f (x, y)對對x為偶函數為偶函數, 即即,),(),(),(Dyxyxfyxf 則則 Dyxyxfdd),(其中其中;01 xDDD10(3)設設f (x, y)在有界閉區域在有界閉區域D上連續上連續.則則對對稱稱關關于于直直線線若若閉閉區區域域,xyD DDyxxyfyxyxf;dd),(dd),(2D1D(4)若將若將D分成兩部

7、分分成兩部分,21DDD 則則的上方與下方部分的上方與下方部分在在分別為分別為,21xyDDD 21.dd),(dd),(DDyxxyfyxyxfxOyxy 11),()(,),( 21xyxbxayxD 其中函數其中函數 、)(1x )(2x b)(2xy )(1xy aD在區間在區間a, b上連續上連續.二、在直角坐標系中化二重積分為二、在直角坐標系中化二重積分為xOy累次積分累次積分(1) 設設f (x, y)在平面有界閉區域在平面有界閉區域D上連續上連續. Dyxf d),( baxxyyxfx)()(21d),(d 先對先對y 后對后對x的二次積分的二次積分12),()(,),( 2

8、1yxydycyxD 其中函數其中函數 、)(1y )(2y 在區間在區間c, d上連續上連續.(2) 設設f (x, y)在平面有界閉區域在平面有界閉區域D上連續上連續. Dyxf d),( dcyyxyxfy)()(21d),(d 先對先對x 后對后對y的二次積分的二次積分.xOyD)(2yx cd)(1yx 13 Dyxf d),( ddrr極坐標系中的面積元素極坐標系中的面積元素 Drrrrf dd)sin,cos(三、在極坐標系中化二重積分為累次積分三、在極坐標系中化二重積分為累次積分 )(1 r)(2 rOAD(1)設設f (x, y)在平面有界平面閉區域在平面有界平面閉區域D上連

9、續上連續.)()(,),( 21 ryxD其中函數其中函數.,)()(21上上連連續續在在區區間間、 d )(2)(1;d)sin,cos( rrrrf14D;d)sin,cos(d)(0 rrrrf Dyxf d),(AO )( r(2)設設f (x, y)在平面有界平面閉區域在平面有界平面閉區域D上連續上連續.)(0 ,),( ryxD其中函數其中函數.,)(上上連連續續在在區區間間 15 )(020d)sin,cos(d rrrrf極坐標系極坐標系下區域的下區域的面積面積.dd Drr DoA)( r(3)設設f (x, y)在平面有界平面閉區域在平面有界平面閉區域D上連續上連續.)(0

10、 ,20),( ryxD Dyxf d),(其中函數其中函數.,)(上上連連續續在在區區間間 16再確定交換積分次再確定交換積分次1. 交換積分次序交換積分次序:先依給定的積分次序寫出積分域先依給定的積分次序寫出積分域D的的不等式不等式, 并畫并畫D的草圖的草圖;序后的積分限序后的積分限;2. 如被積函數為如被積函數為圓環域時圓環域時,或積分域為或積分域為),(22yxf ),(22yxf ),(xyf)(arctanxyf圓域、扇形域、圓域、扇形域、則用極坐標計算則用極坐標計算; 解題技巧解題技巧17 3. 注意利用對稱性質注意利用對稱性質,數中的絕對值符號數中的絕對值符號.以便簡化計算以便

11、簡化計算;4. 被積函數中含有絕對值符號時被積函數中含有絕對值符號時, 應應將積分域分割成幾個子域將積分域分割成幾個子域, 使被積函數在使被積函數在每個子域中保持同一符號每個子域中保持同一符號, 以消除被積函以消除被積函18.d1d13102yyxyxx 解解例例 計算積分計算積分xOy2xy 11交換積分次序交換積分次序. . 原式原式 = xxyyydd13 00y1 1032d121yyy 10331)d(161yy).12(31 典型例題典型例題1.1.交換積分次序交換積分次序19計算計算 222.d)232(2ayxyxx 解解 積分域是圓積分域是圓,222ayx 故關于故關于x、y

12、軸、軸、故將被積函數分項積分故將被積函數分項積分: 222d)32(ayxyx 0 而而 222d2ayxx 222d2ayxy 222)d(2122ayxyx 極坐標極坐標 arr0320dd21 .44a 又又 222d2ayx ,22a所以所以原式原式 =.2424aa 對稱對稱,xy 例例直線直線2.2.利用對稱性利用對稱性20222cyx 0,)()()()(222 zcyxyxybxaz 曲曲面面. 0, 0, 0 cba且且證證yxyxybxaVDdd)()()()( yxxyxbyayxybxaDDdd)()()()()()()()(21 Dyxbadd)(21xy xyO所圍

13、立體的體積等于所圍立體的體積等于),(212bac )(u 其中其中是連續是連續的正值函數的正值函數,所求立體在所求立體在xOy面上的投影區域為面上的投影區域為.:222cyxD 有有:).(212bac 例例 證明證明: :21 cos2 .2:,dd)(22xyxDyxyxD 其其中中計計算算二二重重積積分分解解 原式原式 = rrrdcosd2cos020 .用極坐標用極坐標. .xOyrr ddcos22cos2020 20cos203d)(cos32 r 203dcoscos316 204dcos316 22143316對稱性對稱性積分區域關于積分區域關于x軸對稱軸對稱2例例 3.3

14、.坐標系的選擇坐標系的選擇22若函數若函數 f (x, y)在矩形區域在矩形區域D:解解, 1),(d)d,(2 yxfyxyxfxyD10 , 10 yx上連續上連續, 且且求求 f (x, y) .設設 DyxyxfId)d,(I1),(2 yxfxyI兩邊積分兩邊積分, 得得 DDyxyxyxfdddd),( 11I1 I1dd10102 IyyxxI DyxxyIdd21412 II2 I.41),(xyyxf xOy11ID例例 2311計算二重積分計算二重積分D2 d)1(221yxD d)1(222 yxD極坐標極坐標,d|1|22 Dyx例例將將D分成分成D1與與D2兩部分兩部

15、分.D1其中其中解解yOx122 yx d|1|22 Dyx由于由于 d)1(221yxD 10220d)1(drrr 8 d)1(222 yxD直角坐標直角坐標 1122102d)1(dxyyxx3.3.被積函數帶絕對值、最大被積函數帶絕對值、最大( (小小) )值符號的積分值符號的積分.10 , 10),( yxyxD24 d)1(222 yxD 1122102d)1(dxyyxx 101132d32xyyyxx 102322d)1(3232xxx 102d)32(xx 10232d)1(32xxI3231 其中其中 10232d)1(xxItxsin 204dcostt.16322143

16、 .318 因此因此 d|1|22Dyx.3143188 8d)1(221 yxD2511,dd,max|2 Dyxyxxy其中其中 .10 , 10),( yxyxD選擇適當的坐標計算選擇適當的坐標計算: xyO2xy xy 解解原式原式 = 1D3D2D 1dd,max|2Dyxyxxy 2dd,max|2Dyxyxxy 3dd,max|2Dyxyxxy例例2611,dd,max|2 Dyxyxxy其中其中 .10 , 10),( yxyxD選擇適當的坐標計算選擇適當的坐標計算: xyO解解原式原式 = 1D3D2D 1210d)(dxyyxyx xxyxxyx2d)(d210 20210

17、d)(dxyxyxx.4011 2xy xy 例例27例例,., 010),1(20, 1),( 其它其它設設xxyyxf).(,dd),()(tFyxyxftFtyx求求且且 分析分析 由被積函數的表達式及積分區域的情況由被積函數的表達式及積分區域的情況,:)(與與三三角角形形區區域域是是區區域域可可知知tyxtF 10),1(20 xxy的公共部分的的公共部分的面積面積.Oxytyx tt 2解解,0時時當當 t無公共部分無公共部分, )(tF,10時時當當 t )(tF 2 1)1(2xy ;212t0;28. 1例例,., 010),1(20, 1),( 其它其它設設xxyyxf).(

18、,dd),()(tFyxyxftFtyx求求且且 ,0時時當當 t無公共部分無公共部分,0;)( tF,10時時當當 t )(tF;212t,21時時當當 t )(tF xttyx020dd )1(2012ddxtyx; 1222 tt,2時時當當 t )(tF 2121 2Oxytyx tt 2 1)1(2xy t2綜上所述綜上所述, . 2, 121, 1221, 10,21, 0, 0)(22ttttttttF29解解例例,d),(dd),(d011121yyxfxyyxfxIxxx 設設交換二次積分的次序交換二次積分的次序, 并把它化為極坐標系下的并把它化為極坐標系下的二次積分二次積分.這是無界區域上的二重積分這是無界區域上的二重積分.2121 I.d),(d21xyxfyy xyxfyyd),(d1210 在極坐標下在極坐標下, D的邊界線的邊界線0 y, 0 xy 4 xy 1, 1)sin(cos r I故故.d)sin,cos(d rrrrf 04 sincos1 xyOxy 111xy 30某城市受地理限制呈直角三角形分布某城市受地理限制呈直角三角形分布, 解解 yyxd)1020( 14080 d),( DyxRL試計算該市總的稅收收入試計算該市總的