1、洛陽市2018-2019學年高中三年級第三次統一考試數學試卷（文）第卷（共 60分）一、選擇題：本大題共 12 個小題，每小題5 分，共60 分. 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 .1. 已知 i 為虛數單位，則復數2在復平面內所對應的點在（）1iA第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2. 已知集合A 0,1,2， B 1,m . 若 BA ，則實數 m 的值是（）A 0B 2C0或2D0或1或23. 下列函數為奇函數的是（）A y33x2exe xC ylog3xD y xsin xxB y22x34. 已知平面向量 a(2,1)，b(1,1) ，c(5,1)，若 (a

2、kb ) / /c ，則實數 k 的值為（）A11B 1C. 2D 114245. 已知雙曲線 x2y21(b 0)的右焦點與拋物線y 212x 的焦點重合， 則該雙曲線的焦點4b2到其漸近線的距離等于（）A5B3C.5D 426. 某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A 23B15C. 47D 8326y507.已知 x , y 滿足約束條件xy40 ，則 z2x y 的最小值為（）2xy50A.1B.3C， 5D.78.定義 x 表示不超過 x 的最大整數，例如 0.60，22 ， 3.63 . 下面的程序框圖取材于中國古代數學著作孫子算經. 執行該程序框圖. 則輸出 a（）A

3、.9B.16C.23D.309. 下列敘述中正確的個數是（）將一組樣本數據中的每個數據都加上同一個常數后，方差不變；命題 p :x 0,1 ， ex1 ，命題 q :x0 R ， x02x0 10 ，則 pq 為真命題；“ cos0 ”是“2k(kZ ) 的必要而不充分條件；25將函數ysin 2x的圖象向左平移個單位長度得到函數ysin(2 )126x 的圖象 .A.1B，2C.3D， 410. 函數 y log 1(sin 2xcoscos2 xsin ) 的單調遞減區間是（）244A (k,k5Z), k88C. k, k3 ), kZ88B (k, k3Z, k88D k3 , k5

4、), kZ8811. 已知函數 f ( x)x3, x0滿足條件： 對于 x1R ，且 x10 ，存在唯一的 x2R 且axb, x0x1 x2 ，使得f ( x1 )f ( x2 ) . 當 f (2 a)f (3b) 成立時， ab（ ）A63B6C.6D62322212. 已知橢圓 x2y21(a b0) 的左、右焦點分別為 F1, F2 ，過 F2 的直線與橢圓交于 A, Ba2b2兩點，若F1AB 是以 A 為直角項點的等腰直角三角形，則橢圓的離心率為（）A2B 2 3C.5 2D632第卷（共90 分）二、填空題（每題5 分，滿分20 分，將答案填在答題紙上）13.已知角的始邊與x

5、軸的非負半軸重合，頂點與坐標原點重合，終邊過點P(3, 4) ，則sin2 cossincos14.關于 x 的方程 xln xkx 10 在區間 1 , e 上有兩個不等實根， 則實數 k 的取值范圍是e15.在正三棱錐 SABC 中， AB2 ，M 是 SC 的中點， AMSB ，則正三棱錐 S ABC外接球的表面積為16. 在ABC 中， D 是 AB 的中點，ACD 與CBD 互為余角， AD2 ， AC3，則 sinA的值為三、解答題（本大題共6 小題，共70 分 . 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟. ）17.設正項數列 an 的前n 項和Sn 滿足2Snan1.（ 1）求數

6、列 an 的通項公式；（ 2）設 bn1，數列 bn 的前 n 項和為 Tn，求 Tn 的取值范圍 .an 1an18. 高中生在被問及“家，朋友聚集的地方，個人空間”三個場所中“感到最幸福的場所在哪里 ?”這個問題時，從洛陽的高中生中，隨機抽取了55 人，從上海的高中生中隨機抽取了45 人進行答題. 洛陽高中生答題情況是：選擇家的占2、選擇朋友聚集的地方的占3、選擇510個人空間的占3. 上海高中生答題情況是：選擇朋友聚集的地方的占3 、選擇家的占1 、選1055擇個人空間的占1 .5（ 1）請根據以上調查結果將下面 2 2 列聯表補充完整， 并判斷能否有 95% 的把握認為 “戀家（在家里

7、感到最幸福） ”與城市有關：在家里最幸福在其它場所最幸福合計洛陽高中生上海高中生合計（ 2） 從被調查的不“戀家”的上海學生中，用分層抽樣的方法選出4 人接受進一步調查，從被選出的 4人中隨機抽取2 人到洛陽交流學習，求這2 人中含有在“個人空間”感到幸福的學生的概率 .附： K2n(ad bc)2，其中 n ab c d.(ab)(c d)( ac)(bd)19. 如圖，三棱柱 ABCABC中，AA平面 ABC ， ACB90 ，M 是AB的中點，1111ACCBOC12.（ 1）求證：平面1平面1 l ；ACMABB A（ 2）求點 M 到平面 ACB11 的距離 .20. 已知拋物線 C

8、 : y22 px( p0) 的焦點為 F ， A 為拋物線 C 上異于原點的任意一點，過點 A 的直線 l 交拋物線 C 于另一點 B ，交 x 軸的正半軸于點D ，且有 |FA| |FD |.當點 A的橫坐標為 3 時，ADF為正三角形 .（ 1）求拋物線 C 的方程；（ 2）若直線 l1 / /l 2 ，且 l1 和拋物線 C 有且只有一個公共點E ，試問直線AE 是否過定點，若過定點，求出定點坐標；若不過定點，請說明理由.21. 已知函數 f ( x) ( x 1)ext x2 ，其中 t R .2（ 1）函數 f ( x) 的圖象能否與 x 軸相切 ?若能，求出實數 t ，若不能，請

9、說明理由；（ 2）討論函數 f ( x) 的單調性 .請考生在22、 23 兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22. 選修 4-4 ：坐標系與參數方程已知直線 l 的極坐標方程為sin() 2 2 ，現以極點 O 為原點， 極軸為 x 軸的非負半軸4x12cos建立平面直角坐標系，曲線C1 的參數方程為2（ 為參數） .y2sin（ 1）求直線 l 的直角坐標方程和曲線C1 的普通方程；（ 2）若曲線 C2 為曲線 C1 關于直線l 的對稱曲線，點A ， B 分別為曲線 C1 、曲線 C2 上的動點，點 P 坐標為 (2, 2) ，求 | AP | BP |的最小值 .23.

10、 選修 4-5 ：不等式選講已知函數f ( x)3| xa |3x1| ， g( x)| 4x1| x2 |.（ 1）求不等式 g ( x) 6 的解集；（ 2）若存在 x1 ， x2 R ，使得 f ( x1 ) 和 g( x2 ) 互為相反數，求 a的取值范圍 .試卷答案一、選擇題1-5 ： DCCBA6-10：ADCBB11、 12： AD二、填空題13. 1014.(1,1 1 15.316.5 或7e34三、解答題17. 解：（ 1） n1時，由 2Sa1 ，得 a11，11 n2 時，由已知，得4Sn( an1)2 ， 4Sn 1( an11)2 ，兩式作差，得 (anan 1 )

11、(anan 12)0 ，又因為 an 是正項數列，所以anan 12 .數列 an 是以 1為首項， 2 為公差的等差數列 .an21.n（ 2） bn11111) ，anan(2 n1)(2n 1)(2n12n121 Tnb1b2bn1(1 1)1(1 1)1 (11)232352 2n 1 2n 11 (11)1.22n12又因為數列 Tn 是遞增數列，當 n1 時 Tn 最小， T11，3n 1,1). 3 218. 解：（ 1）由已知得，T在家里最幸福在其它場所最幸福合計洛陽高中生223355上海高中生93645合計3169100 K2100(2236933)2100113，31695

12、54531234.628 3.841有 95% 的把握認為“戀家”與城市有關.（ 2）用分層抽樣的方法抽出4 人 . 其中在“朋友聚焦的地方”感到幸福的有3 人，在“個人空間”感到幸福的有1 人，分別設為a1, a2 , a3 , b ； ( a1, a2 ),( a1 , a3 ),( a1 ,b),( a2 , a3 ),( a2 , b)( a3 , b) ， n6 ，設“含有在“個人空間”感到幸福的學生”為事件A ，A ( a1 , b),( a2 ,b),( a3 , b) ， m3 ，則所求的概率為P( A)m31n6.219. （ 1）由 A1 A面ABC，CM平面 ABC ，則

13、 A1A CM . ACCB ， M 是 AB 的中點， ABCM .又 A1AABA， CM平面 ABB1 A1又 CM平面 ACM1，平面 ACM1平面 ABB1 A1 .（ 2）設點 M 到平面 ACB11 的距離為 h ，由題意可知 AC1CB1 A1 B12MC2 2 ，SSA CB3 (2 2)22 3 ，11411A1MB1S四邊形 ABB1 A1222 22.22由（ 1）可知 CM平面 ABB1A1 ，得 VC A1MB11MC SA1MB1VM A1CB11 h S33A1CB1 ，點 M 到平面 ACB11MC S A1MB12 3的距離 h.S ACB31120. 解：

14、（ 1）由題意知 F ( p ,0) ，2設 D (t,0)( t0) ，則 FD 的中點為 ( p2t ,0) ，4因為 |FA| FD |，由拋物線的定義知：3p | tp |，22解得 t 3p 或 t3 （舍去），由 p 2t3，解得 p 2 ，4所以拋物線 C 的方程為 y24x .（ 2）由（ 1）知 F (1,0) ，設 A( x0 , y0 )( x00) ， D( xD ,0)( xD0) ，因為 | FA | | FD |，則 | xD1| x0 1 ，由 xD 0得 xDx0 2，故 D ( x02,0) ，故直線 AB 的斜率為 kABy0 ，2因為直線 l1 和直線

15、AB 平行，故可設直線 l1 的方程為 yy0xb ，2代入拋物線方程得y28y8b0 ，y0y0由題意知6432b0，得 b2 .y02y0y0設 E ( xE , yE ) ，則 yE4xE4y0，2 ，y0當 y024 時， k AEyEy04 y0，xEx0y024可得直線 AE 的方程為 yy04y0(x x0 ) ，y024由 y024x0 ，整理可得 y4 y04(x1) ，y02所以直線 AE 恒過點 F (1,0) ，當 y024 時，直線 AE 的方程為 x1 ，過點 F (1,0) ，所以直線 AE 恒過定點 F (1,0) .21. 解：（ 1）由于 f (x)xext

16、xx(ex t ) .假設函數 f ( x) 的圖象與 x軸相切于點 (x0 ,0) ，則有f (x0 ) 0( x01)ex0tx020.，即2f ( x) 0x0ex0tx00顯然 x00 ，將 tex00 代入方程 ( x01)ex0tx020 中，2得 x022x0 2 0 . 顯然此方程無解 .故無論 t 取何值，函數f (x) 的圖象都不能與x 軸相切 .（ 2）由于 f ( x)xextxx(ext) ，當 t0 時， ext0 ，當 x0 時， f( x)0 ， f ( x) 遞增，當 x0 時， f(x)0， f ( x) 遞減；當 t0 時，由 f ( x)0 得 x0 或

17、 xln t ，當 0t 1 時， ln t0 ，當 x0時， f(x)0， f ( x) 遞增，當 ln tx 0 時， f(x)0 ， f (x) 遞減，當 xln t ， f( x)0， f (x) 遞增；當 t1 時， f ( x)0 ， f ( x) 遞增；當 t1 時， ln t0 ，當 xln t 時， f (x)0 ， f (x) 遞增，當 0xln t 時， f(x)0 ， f (x) 遞減，當 x0時， f(x)0， f ( x) 遞增 .綜上，當 t 0 時， f( x) 在 (,0) 上是減函數，在(0,) 上是增函數；當 0t1時， f (x)在 (,lnt),(0,

18、) 上是增函數，在(ln t,0) 上是減函數；當 t1時， f (x) 在 (,) 上是增函數；當 t1時， f (x) 在 (,0),(ln t,) 上是增函數，在(0,ln t) 上是減函數 .22. 解：（ 1）sin() 22，222 2 ，sincos422即 cossin4 ，直線 l 的直角坐標方程為 xy 40 ；x12cos，曲線 C1 的普通方程為 ( x 1)2( y 2) 24 .y22sin2x y 4上，根據對稱性，| AP|的最小值與|BP|的最小值相等.（ ）點 P 在直線曲線 C1是以 (1, 2) 為圓心，半徑 r2的圓 . | AP |min|PC1 |r(21)2(22)223.所以 | AP | BP |的最小值為 236 .3x3, x223. 解：（ 1） g ( x)5x1,2x1 ，43x3, x14當 x2 時，3x36 解得 x