1、第三講一元二次方程根與系數的關系現行初中數學教材主要要求學生掌握一元二次方程的概念、解法及應用，而一元二次方程的根的判斷式及根與系數的關系，在高中教材中的二次函數、不等式及解析幾何等章節有著許多應用本節將對一元二次方程根的判別式、根與系數的關系進行闡述.元二次方程的根的判斷式元二次方程ax2 bx c = 0 ( a = 0)，用配方法將其變形為:2(1)當b -4ac 0時，右端是正數因此，方程有兩個不相等的實數根:2a當b2-4ac=0時，右端是零因此，方程有兩個相等的實數根：x,2= 2a當b2-4ac : 0時，右端是負數因此，方程沒有實數根.由于可以用b2-4ac的取值情況來判定一元

2、二次方程的根的情況.因此，把b2-4ac叫_ 22做一元二次方程ax bx 0 (a = 0)的根的判別式，表示為：厶=b -4ac【例 1】不解方程，判斷下列方程的實數根的個數：2 2 2(1)2x 3x 1二0(2)4y 9二12y(3)5(x 3) - 6x二02解: (1)(-3) -4 2 1=10,A原方程有兩個不相等的實數根.2(2)原方程可化為：4y -12y 9 = 0；A =( 1 2) 4匯4況9.0原方程有兩個相等的實數根.(3)原方程可化為：5x2- 6x 15 = 0V= ( -62) - 4 5 1 5= -2 6牛:二0原方程沒有實數根.說明：在求判斷式時，務必

3、先把方程變形為一元二次方程的一般形式.【例 2】已知關于x的一元二次方程3x2-2x k =0，根據下列條件，分別求出k的(x”b4ac2a4a2解：由題意，根據根與系數的關系得：論 x2二-2,x1x -2007范圍:解：厶=(_2)2-4 3 k = 4 -12k11(1)4 -12k0=k：(2)4 -12k =0= k =33(3) 14 -12k _ 0二k _ 1(4)4 12k：0=k：33【例 3】2 2已知實數X、y滿足Xyxy 2x - y T二0,試求x、y的值解：可以把所給方程看作為關于x的方程，整理得：2 2x -(y -2)x y - y 1 =0由于x是實數，所以

4、上述方程有實數根，因此：: =一(y一2)2-4(y2-y 1) = 3y2_0= y = 0，代入原方程得：x2 2x 1 = 0= x二_1.綜上知：x = -1,y =0一元二次方程的根與系數的關系一元二次方程ax2 bx c = 0 ( a = 0)的兩個根為:-b . b24acb - b24acx二-,x二-2a2a所以：xX2廠盂 4 廠兀衛2a2aa-b+pb2_4ac -b _ Jb2_4ac (_b)2_ (Jb2_4ac)24ac cX1X222 =一2a2a(2 a)24a2a2定理：如果一元二次方程ax bx 0 (a = 0)的兩個根為，那么：bc% X2- - ,

5、x1x2:aa說明：一元二次方程根與系數的關系由十六世紀的法國數學家韋達發現，所以通常把此定理稱為”韋達定理”.上述定理成立的前提是也 0.【例4】若X1,X2是方程x22x -2007=0的兩個根，試求下列各式的值：2 211(1)方程有兩個不相等的實數根;(3)方程有實數根；(2)方程有兩個相等的實數根(4)方程無實數根.(1)X1X2；(2);(3)(X1-5)(X2-5);(4)|X1-X2|.X-Ix2分析：本題若直接用求根公式求出方程的兩根，再代入求值，將會出現復雜的計算.這里，可以利用韋達定理來解答.解：由題意，根據根與系數的關系得：論 x2二-2,x1x -20072 2 2

6、2x-ix2(x-ix2) -2x2= (2) -2(-2007) = 4018丄丄二.丄_合2x-ix2x-ix22007 2007(3)(Xr5)(x25) = x)x25(Xrx2) 25二-20075(2) 25二-1972| xrx2|= _ (xrx2)2=(xrx2)2-4x2二(2)2- 4(-2007) = 2、,2008說明：利用根與系數的關系求值，要熟練掌握以下等式變形：|x-屜|=(X-X2)24X-X2，X1X22X2X2=為乂2(劉X2)，333X-X2(x-X2) -3捲乂2(人X2)等等.韋達定理體現了整體思想.-【例 5】已知關于X的方程X2-(k “Xk2仁

7、0,根據下列條件，分別求出k的4值.(方程兩實根的積為 5 ；(2)方程的兩實根X-, X2滿足I X- |=X2.分析：(由韋達定理即可求之；(2)有兩種可能，一是x-= x2 0,二是= x2, 所以要分類討論.解：(T方程兩實根的積為 5( 2-2-(k D2-4(-k2d034二k_：kh4I -宀2x-x2k - = 54所以，當k=4時，方程兩實根的積為 5.(2)由|冷|=得知：1當x- 0時，x-= X2，所以方程有兩相等實數根，故 厶=0=k=色；22當x : 0時，禺=X2 = % x2二0= k- =0二k =T，由于丄0 =k -3,故k -不合題意，舍去.23綜上可得

8、，k時，方程的兩實根x-, X2滿足| x-F X2.2說明：根據一元二次方程兩實根滿足的條件，求待定字母的值，務必要注意方程有兩實2 2 2x)x2(xrx2)-2xix2，丄丄=2Xixx-X222(X-x2)(X-x2)4x-x2，根的條件，即所求的字母應滿足丄一0.2【例 6】已知X1,X2是一元二次方程4kx -4kx k 0的兩個實數根.若不存在，請您說明理由.2元二次方程4kx -4kx k0的兩個實數根4k =0(_4k)2一4 4k(k 1) =-16k _0一k2又X1, X2是一元二次方程4kx -4kx k T = 0的兩個實數根X1x2= 1k +1-2X22(X!2

9、X22 5XX2= 2(X-IX2)9X-|X2k 94k不存在實數k,使（2為-X2）（x, -2X2）成立.2 2 2X1X2X1X2(X1X2), 4k ,4(2)-2244二X2X1人左X1X2k+1k+1要使其值是整數，只需k 1能被 4 整除，故kT=1,_2, _4，注意到k . 0,要使- 2的值為整數的實數k的整數值為-2, -3, -5.X2Xi說明：（1）存在性問題的題型，通常是先假設存在，然后推導其值，若能求出，則說明 存在，（1）是否存在實數k，使（2%-冷） （為-2X2-|成立？若存在，求出k的值;求使竺竺-2的值為整數的實數x2x1k的整數值.解：假設存在實數k

10、，使（2%-冷）（為_2X2）成立.2 (2人-X2)(X!NX2否則即不存在.4（2）本題綜合性較強，要學會對為整數的分析方法.21一元二次方程（1-k）x -2x-1=0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是（）A k 2Bk : 2,且k -1c.k ：. 2D.k 2,且k121 12若X1, X2是方程2x-6x0的兩個根，則的值為（）X1X219A.2B.-2C. D .-223.已知菱形 ABCD 的邊長為 5,兩條對角線交于 0 點，且 0A、OB 的長分別是關于x的方程x2（2 m -1）x m2*3=0的根，貝U m等于（）A .-3B .5C .5或-3D .-5或32

11、24.若t是一元二次方程ax2bx 7=0 （a = 0）的根，則判別式&-b- 4ac和完全平方2式M =（2at b）的關系是（）A .MB . ：MC . = : MD .大小關系不能確定5.若實數a= b，且a,b滿足a2-8a 0,b2-8b 5 =0，則代數式 匸1-生二的a1 b1值為（）A .-20B 2C .2或-20D .2或2026 如果方程（bc）x +（c a）x+（ab） =0的兩根相等，則a,b,c之間的關系是 _27已知一個直角三角形的兩條直角邊的長恰是方程2x -8x 7=0的兩個根，則這個直角三角形的斜邊長是 _ 2&若方程2x （k+1）x

12、+k+3 = 0的兩根之差為 1，貝U k的值是 _ 2 29設禺必是方程x px 0的兩實根，x11,x21是關于x的方程x qx 0的兩實根，則 p =_ , q =_ 210 已知實數a,b, c滿足a=6b,c =ab9，貝Ua=_,b =_,c=_.211 對于二次三項式x -10 x 36，小明得出如下結論：無論x取什么實數，其值都不可能等于 10 您是否同意他的看法？請您說明理由1|*m12.若n .0，關于x的方程x2-(m-2n)xmn =0有兩個相等的的正實數根， 求一的4n值.213.已知關于x的一元二次方程x - (4m - 1)x - 2m -1 =0.(1) 求證：

13、不論為任何實數，方程總有兩個不相等的實數根；111(2) 若方程的兩根為,X2，且滿足，求m的值.x1x2221214.已知關于x的方程x -(k 1)x-k *1=0的兩根是一個矩形兩邊的長.4(1)k取何值時，方程存在兩個正實數根？(2) 當矩形的對角線長是、5時，求k的值.B 組21已知關于x的方程(k-1)x (2k-3)x k 1 =0有兩個不相等的實數根X1,X2.(1) 求k的取值范圍；(2) 是否存在實數k,使方程的兩實根互為相反數？如果存在，求出k的值；如果不存 在，請您說明理由.2.已知關于x的方程x2 3x - m二0的兩個實數根的平方和等于11.求證：關于x的方程2 2(k -3)xkmx - m 6m-4=0有實數根.2 23.若,X2是關于x的方程x -(2k 1)x k 7=0的兩個實數根，且,X2都大于 1. 為1(1)求實數k的取值范圍；(2)若1，求k的值.X22第三講 一元二次方程根與系數的關系習題答案A 組1. B