1、2013/4/27:數(shù)列通項(xiàng)、求和一、求數(shù)列的通項(xiàng)公式方法的歸納：求數(shù)列通項(xiàng)公式常用觀察法、公式法、等差或等比通項(xiàng)公式法、遞增關(guān)系變形法（累加、累乘）等。1、 公式法： ，注意兩種情況能合并，則合并，不能合并，則分段表示。2、 常見遞推數(shù)列通項(xiàng)公式的求法：（1）、型（用累加法）即：，將上述個(gè)式子相加，可得：（2）、型（用累乘法）即，. 將上述個(gè)式子相乘，可得：。（3）型（方法一：待定系數(shù)法，通過待定系數(shù)法求出的值，構(gòu)造成以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列。方法二：迭代法= = =而是一個(gè)等比數(shù)列，求出其和，即可求出通項(xiàng)。（4）型方法一：待定系數(shù)法通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以為首項(xiàng)，以為公比的等比

2、數(shù)列。方法二：等式兩邊同時(shí)除以有，轉(zhuǎn)化為型。（5）型兩邊取倒數(shù)有轉(zhuǎn)化為型。一、方法：利用疊加法，例1數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式解：由 得=例2數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式 分析：注意到左右兩邊系數(shù)與下標(biāo)乘積均為，將原式兩邊同時(shí)除以，變形為令，有，即化為類型， 以下略二、 方法：利用疊代法 ，例3數(shù)列中，且，求數(shù)列的通項(xiàng) 解：因?yàn)?，所?=三、，其中為常數(shù)，且當(dāng)出現(xiàn)型時(shí)可利用疊代法求通項(xiàng)公式，即由得=或者利用待定系數(shù)法，構(gòu)造一個(gè)公比為的等比數(shù)列，令，則即，從而是一個(gè)公比為的等比數(shù)列如下題可用待定系數(shù)法得，可將問題轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解待定系數(shù)法有時(shí)比疊代法來地簡便例4設(shè)數(shù)列的首項(xiàng)，求數(shù)列通項(xiàng)公式解

3、：令，又，又，是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即，即四、， 為常數(shù) 方法：可用下面的定理求解：令為相應(yīng)的二次方程的兩根(此方程又稱為特征方程)，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，其中分別由初始條件所得的方程組和 唯一確定例5數(shù)列，滿足：，且，求，解：由得 ， ，代入到式中，有，由特征方程可得，代入到式中，可得說明：像這樣由兩個(gè)數(shù)列，構(gòu)成的混合數(shù)列組求通項(xiàng)問題，一般是先消去(或)，得到(或)，然后再由特征方程方法求解五、型，這里為常數(shù)，且例6在數(shù)列中， ，其中，求數(shù)列通項(xiàng)公式解：由 ，可得，所以為等差數(shù)列，其公差為，首項(xiàng)為故，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為 評(píng)析：對(duì)的形式，可兩邊同時(shí)除以，得，令有，從而可以轉(zhuǎn)化為累加法求解六、

4、一般地，若正項(xiàng)數(shù)列中，則有，令(為常數(shù))，則有數(shù)列為等比數(shù)列，于是，從而可得例7已知各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式分析：數(shù)列是一個(gè)二次遞推數(shù)列，雖然不是基本冪型，但由它可以構(gòu)造一個(gè)新的冪型數(shù)列，通過求的通項(xiàng)公式而達(dá)到求數(shù)列通項(xiàng)公式的目的解：由已知得令，則有又，從而取對(duì)數(shù)得，即是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，二、數(shù)列求和的方法（1）公式法：等差數(shù)列：；等比數(shù)列：； （2）錯(cuò)位相減法:這是推導(dǎo)等比數(shù)列前項(xiàng)和公式時(shí)所使用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列的前項(xiàng)和，其中分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列。（3）倒序相加法將一個(gè)數(shù)列倒過來排序，當(dāng)它與原數(shù)列相加時(shí)，若有公因式可提，并且剩余項(xiàng)的和易于求得，則這樣的

5、數(shù)列可用倒序相加法求和。（4）分組求和法數(shù)列既不是等差數(shù)列又不是等比數(shù)列時(shí)，但它可以通過適當(dāng)拆分，分為幾個(gè)等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，即能分別求和，然后再合并。（5）裂項(xiàng)法這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用，其實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的某些項(xiàng)分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的。常見的裂項(xiàng)法有：三、考題精析例1：(2010年全國高考寧夏卷17）設(shè)數(shù)列滿足（1） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2） 令，求數(shù)列的前n項(xiàng)和解：（）由已知，當(dāng)n1時(shí)，。而 所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為。（）由知 從而 -得 。即 點(diǎn)評(píng)：本題主要考察由遞推關(guān)系求數(shù)列通項(xiàng)的方法以及運(yùn)用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和。熟練數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)

6、是解答好本類題目的關(guān)鍵。例2：（2010山東理數(shù)18）已知等差數(shù)列滿足：，的前n項(xiàng)和為（）求及；（）令bn=(nN*)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和【解析】（）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因?yàn)椋杂校獾茫裕?。（）由（）知，所以bn=，所以=，即數(shù)列的前n項(xiàng)和=。【命題意圖】本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用、裂項(xiàng)法求數(shù)列的和，熟練數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)是解答好本類題目的關(guān)鍵。例3：（2010四川理數(shù)21）已知數(shù)列an滿足a10，a22，且對(duì)任意m、nN*都有a2m1a2n12amn12(mn)2（）求a3，a5；（）設(shè)bna2n1a2n1(nN*)，證明：bn是等差數(shù)列；（）設(shè)cn(an+1an)

7、qn1(q0，nN*)，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn.解：(1)由題意，零m2,n1,可得a32a2a126 再令m3,n1，可得a52a3a18202分(2)當(dāng)nN *時(shí)，由已知(以n2代替m)可得a2n3a2n12a2n18于是a2(n1)1a2(n1)1(a2n1a2n1)8即 bn1bn8所以bn是公差為8的等差數(shù)列5分(3)由(1)(2)解答可知bn是首項(xiàng)為b1a3a16,公差為8的等差數(shù)列則bn8n2，即a2n+=1a2n18n2另由已知(令m1)可得an-(n1)2.那么an1an2n1 2n1 2n于是cn2nqn1.當(dāng)q1時(shí)，Sn2462nn(n1)當(dāng)q1時(shí)，Sn2·q

8、04·q16·q22n·qn1.兩邊同乘以q，可得 qSn2·q14·q26·q32n·qn.上述兩式相減得 (1q)Sn2(1qq2qn1)2nqn 2·2nqn 2·所以Sn2·綜上所述，Sn12分【命題意圖】本小題主要考查數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)和化歸、分類整合等數(shù)學(xué)思想，以及推理論證、分析與解決問題的能力.一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是數(shù)列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差數(shù)列求和公式： 2、等比數(shù)列求和公式：3、 例1 已知，求的前n項(xiàng)和.例2 設(shè)Sn1+2+3+n，n

9、N*,求的最大值.二、錯(cuò)位相減法求和這種方法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列an·bn的前n項(xiàng)和，其中 an 、 bn 分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.例3 求和：例4 求數(shù)列前n項(xiàng)的和. 三、倒序相加法求和這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè).例5 求證：例6 求的值四、分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例7 求數(shù)列的前n項(xiàng)和：五、裂項(xiàng)法求和這是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用. 裂項(xiàng)法的實(shí)質(zhì)是將數(shù)列中的每項(xiàng)（通項(xiàng)）分解，然后重新組合，使之能消去一些項(xiàng)，最終達(dá)到求和的目的. 用于類似（其中是各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列，為常數(shù)）的數(shù)列、部分無理數(shù)列等。用裂項(xiàng)相消法求和，需要掌握一些常見的裂項(xiàng)方法：（1），