1、 現代控制理論實驗手冊田佳吉林工程技術師范學院目 錄實驗一 利用MATLAB進行系統模型之間的相互轉換 3 （驗證性實驗） 實驗二 多變量系統的能控、能觀和穩定性分析 12 （驗證性實驗） 實驗三狀態反饋及極點任意配置設計 16 （設計性實驗） 實驗一 利用MATLAB進行系統模型之間的相互轉換一、實驗設備 PC計算機1臺（要求P4-1.8G以上），MATLAB6.X軟件一套。二、實驗目的 1、學習多變量系統狀態空間表達式的建立方法、了解系統狀態空間表達式與傳遞函數相互轉換的方法。 2、通過編程、上機調試，掌握多變量系統狀態空間表達式與傳遞函數相互轉換的方法。三、實驗原理及基礎知識設系統的模型

2、如式（1.1）示。 (1.1)其中A為維系數矩陣、B為維輸入矩陣、C為維輸出矩陣，D為傳遞陣，一般情況下為0。系統的傳遞函數陣和狀態空間表達式之間的關系如式（1.2）所示。 (1.2)式(1.2)中，表示傳遞函數陣的分子陣，維數是；表示傳遞函數陣的按s降冪排列的分母。 在MATLAB中，連續和離散系統都可以直接用矩陣組A,B,C,D表示系統，用函數ss() 來建立系統的狀態空間模型，也可以將傳遞函數模型轉換為系統狀態空間模型。1.1利用MATLAB求狀態空間模型 求連續系統的狀態空間模型函數ss( )的調用格式為： ¨ sys=ss(A,B,C,D) 上述函數返回的變量sys為連續系

3、統的狀態空間模型。函數的輸入參數A,B,C,D為系統的各參數矩陣。 求離散系統的狀態空間模型函數ss( )的調用格式為： sys=ss(A,B,C,D,Ts)上述函數返回的變量sys為離散系統的狀態空間模型。函數的輸入參數A,B,C,D為系統的各參數矩陣，Ts為采樣周期。已知系統的傳遞函數為： 則系統模型可由傳遞函數變換為狀態方程，其使用的轉換函數為： ¨ = 就可給出狀態空間表達式。【例1.1】已知控制系統的傳遞函數如下所示： =求系統的狀態空間表達式。解：MATLAB程序如下： num=0 0 1 0; den=1 14 56 160; A,B,C,D= 程序運行結果如下： A

4、= B = C = D = 0z零點p極點k根軌跡放大倍數由零極點增益模型求狀態空間表達式其實用的轉換函數為： ¨ =【例1.2】已知連續函數系統的零極點增益模型為： 求系統的狀態空間表達式。解：MATLAB程序如下： K=5; Z=-6; P=-1,-5,-10; A,B,C,D= 程序運行結果如下： A = B = C = D = 0需要說明的是，因為控制系統的狀態空間表達式都不是唯一的。對于同一系統，可有無窮多個狀態空間表達式，因此上述MATLAB命令僅給出了一種可能的狀態空間表達式。1.2狀態空間表達式與傳遞函數的變換 為了從狀態空間方程得到傳遞函數，或者從傳遞函數得到狀態空

5、間方程，采用以下命令： ¨ 求出傳遞函數的分子和分母，然后利用公式 ¨ 求出相應的傳遞函數。其中iu是多輸入系統的任意輸入，如果是單輸入系統，iu為1或者可不寫。【例1.3】已知系統的狀態空間表達式如下： 試求相應的傳遞函數。解：MATLAB程序如下： A=0 1 0; 0 0 1; -5 -20 -2; B=0 ;2; 1; C=1 0 0; D=0; = G=程序運行結果如下：Transfer function:-【例1.4】已知系統的狀態空間表達式如下： 試求相應的傳遞函數。解：該系統有兩個輸入和兩個輸出，包括4個傳遞函數： ，MATLAB程序及運行結果如下： A=0

6、 1 ;-2 -5 ; B=1 1 ；0 1; C=1 0 ；0 1; D=0 0 ；0 0 ； ¨ ¨Transfer function: ¨Transfer function: ¨ ¨Transfer function: ¨Transfer function: 1.3狀態空間表達式的線性變換【例1.5】某系統狀態空間表達式為：=若取變換矩陣 試求系統線性變換后的狀態空間表達式。解：變換后的系數矩陣為： =這里首先利用inv()函數求變換矩陣的逆矩陣，再利用矩陣乘法就可以了。MATLAB程序如下： A=0 -2; 1 -3；B=2

7、;0 ; C=0 3 ; P=6 2 ; 2 0; P1=； %求逆矩陣 A1=P1*A*P，B1=P1*B，C1=C*P程序運行結果如下： A1 = B1 = C1 = 6 0可以得到變換后的狀態空間表達式為： 【例1.6】已知某系統的狀態空間模型為：試將系統化為對角型。（變換矩陣P）解：可以先用函數求A矩陣的特征向量P和特征值s，再用求逆函數求特征向量P的逆。MATLAB程序如下： A=0 1 0; 0 0 1；-6 -11 -6；B=1 ;0 ;0 ; C=1 1 0 ; P,s= ； %求變換矩陣P P1=； %求變換矩陣P的逆矩陣 A1=P1*A*P，B1=P1*B，C1=C*P程序

8、運行結果為： A1 = %對角型B1 = C1 =【例1.7】試將下列狀態空間表達式化為約當標準型：解：MATLAB程序如下： A=2 4 5; 0 1 0；0 0 1；B=1 ;2 ;3; C=1 1 0 ; P,s= ； P1=； A1=P1*A*P，B1=P1*B，C1=C*P程序運行結果如下：A1 = 約當陣B1 = C1 =1.4應用MATLAB進行狀態方程分析求解用MATLAB求取線性系統的時域解。MATLAB中的step、impulse和initial函數分別用來求連續系統的單位階躍響應，單位沖激響應和零輸入響應，因此，編寫MATLAB程序是很簡單的。【例1.8】線性定常系統求單

9、位階躍響應，單位沖激響應和零輸入響應（設初始狀態）。MATLAB程序如下：a= -1.6,-0.9,0,0; 0.9,0,0,0; 0.4,0.5,-5.0,-2.45; 0,0,2.45,0;b= 1;0;1;0;c= 1 1 1 1;d= 0;subplot(2,2,1) ； %在標定位置建立坐標系step(a,b,c,d,1) ； %單位階躍響應title(Step Response)subplot(2,2,2)impulse(a,b,c,d) ； %單位沖擊響應title(Impulse Response)subplot(2,2,3)x0=1;1;1;-1;initial (a,b,c

10、,d, x0) ； %零輸入響應axis(0 6 0.5 2.5)title (Initial Response )subplot(2,2,4)pzmap(a,b,c,d) ； %確定零、極點title (Pole-Zero Map)四、實驗要求及步驟已知SISO系統的狀態空間模型：= 試通過Matlab語言編程實現如下要求：（1）求系統的傳遞函數，并檢驗所求結果的正確性（將求得的傳遞函數轉換為狀態空間模型，再將其轉換為傳遞函數）。（2）求單位階躍響應、單位沖激響應，且當初始狀態為時，求零輸入響應，并將響應曲線及零極點圖繪制在同一坐標系里。實驗二 多變量系統的能控、能觀和穩定性分析一、實驗設備

11、 PC計算機1臺（要求P4-1.8G以上），MATLAB6.X軟件一套。二、實驗目的1) 學習多變量系統狀態能控性及穩定性分析的定義及判別方法；2) 通過用MATLAB編程、上機調試，掌握多變量系統能控性及穩定性判別方法；三、實驗原理及基礎知識設系統的狀態空間表達式 (2.1)1、能控性系統的能控分析是多變量系統設計的基礎，包括能控性的定義和能控性的判別。 系統狀態能控性：對于線性連續定常系統(2.1)，若存在一個分段連續的輸入函數U（t），在有限的時間（t1-t0）內，能把任一給定的初態X（t0）轉移至預期的終端X（t1），則稱此狀態是能控的。若系統所有的狀態都是能控的，則稱該系統是狀態完全

12、能控的。 系統輸出能控性：是指輸入函數U（t）加入到系統，在有限的時間（t1-t0），能把任一給定的初始輸出Y（t0）轉移至預期的終態輸出Y（t1）。能控性判別分為狀態能控性判別和輸出能控性判別。狀態能控性分為一般判別和直接判別法，后者是針對系統的系數陣A是對角標準形或約當標準形系統，狀態能控性判別時不用計算，應用公式直接判斷，是一種直接簡易法；前者狀態能控性判別為一般判據，是應用最廣泛的一種判別方法。輸出能控性判別式為： (2.2)狀態能控性判別式為： （2.3）2、能觀性系統的能觀分析是多變量系統設計的基礎，包括能觀性的定義和能觀性的判別。系統狀態能觀性：對于線性連續系統（2.1），如果對

13、t0時刻存在ta，根據t0，ta上的Y（t）的測量值，能夠唯一地確定S系統在時刻的任意初始狀態，則稱系統S在時刻是狀態完全能觀測的，或簡稱系統在t0，ta區間上能觀測。 狀態能觀性分為一般判別和直接判別法，后者是針對系統的系數陣A是對角標準形或約當標準形系統，狀態能觀性判別時不用計算，應用公式直接判斷，是一種直接簡易法；前者狀態能觀性判據為一般判別，是應用最廣泛的一種判別方法。狀態能觀性判別式為： (2.4)3、穩定性只要系統A的特征根實部為負，系統就是狀態穩定的。式（1.2）又可寫成： （2.5） 當狀態方程是系統的最小實現時，系統的狀態漸進穩定與系統的BIBO（有界輸入有界輸出）穩定等價；

14、 當時，若系統狀態漸進穩定則系統一定是BIBO穩定的。4、用MATLAB判斷線性系統的能控性和能觀性 用MATLAB判斷線性系統的能控性和能觀性是非常方便的，ctrb命令用于求取系統的能控矩陣Qc，Obsv命令用于求取系統的能觀矩陣Q0，命令格式為： ¨ Qc=ctrb(A,B) ¨ Q0=Obsv(A,C)式中Qc=, Q0= 采用命令rank（Qc）和rank（Q0）可以得到能控矩陣Qc和能觀矩陣Q0的軼，若軼都是，則系統的狀態是完全能控或能觀的。【例2.1】線性定常系統判別系統的能控性和能觀性。a= -3,1;1,-3;b= 1,1;1,1;c= 1,1;1,-1;d

15、= 0;cam=ctrb(a,b); %求能控性矩陣 rcam=rank(cam)； %求能控性矩陣的秩oam=obsv(a,c); %求能觀性矩陣roam=rank(oam)； %求能控性矩陣的秩5、用MATLAB判斷線性系統的穩定性【例2.2】已知系統狀態空間方程描述如下：試判定其穩定性，并繪制出時間響應曲線來驗證上述判斷。A= -10 -35 -50 -24;1 0 0 0; 0 1 0 0；0 0 1 0;B= 1 ；0； 0 ；0 ; C=1 7 24 24 ; D=0；z,p,k=ss2zp(A,B,C,D,1); %狀態空間模型®零極點模型Flagz=0; %設定標志F

16、lagz=0，表示系統穩定n=length(A); %求系統階數for i=1:nif real(p(i)>0； %判定極點實部是否為正？Flagz=1; %若為正，將標志Flagz=1endenddisp (系統的零極點模型為);z,p,k系統的零極點模型為z=p= k= 1.0000If Flagz=1disp (系統不穩定)else disp (系統是穩定的)end運行結果為：系統是穩定的step(a,b,c,d); %求階躍響應四、實驗要求及步驟通過Mlatlab語言編程實現下列要求。1、已知系數陣A和輸入陣B分別如下，判斷系統的狀態能控性，并把能控性矩陣和其秩顯示出來。2、已知

17、系數陣A和輸入陣C分別如下，判斷系統的狀態能觀性，并把能觀性矩陣和其秩顯示出來。3、已知系數陣A、B、C陣分別如下，分析系統的狀態穩定性，要求把系統零、極點顯示出來，并顯示判定結果（“系統是穩定的”或“系統不穩定”）實驗三 狀態反饋及極點任意配置設計一、實驗設備 PC計算機1臺（要求P4-1.8G以上），MATLAB6.X軟件一套。二、實驗目的熟悉狀態反饋矩陣的求法三、實驗原理及基礎知識用MATLAB解極點配置問題。 如果在設計狀態反饋控制矩陣K時采用變換矩陣P，則必須求特征方程的系數、和，可通過給計算機輸入語句來實現。 為了得到變換矩陣P-1=QcW，首先將矩陣Qc和W輸入計算機，其中 然后

18、采用MATLAB完成Qc和W相乘。 其次，求所期望的特征方程。可以定義矩陣J，使得 采用命令求期望特征多項式系數。所需狀態反饋控制矩陣K可由下式確定。 【例3.1】已知系統方程為： 試設計狀態反饋控制器，使閉環極點配置為-2，。MATLAB程序如下所示： % pole placement-using transformation matrix% disp(pole placement-using transformation matrix)a= 0,1,0;0,-1,1 ; 0,0,-2;b= 0;0;1;Qc=ctrb(a,b); %求能控性矩陣%dis(The rank of controllability matrix)zhi=rank(Qc)； %求能控性矩陣的秩T=poly(a); %求原系統特征方程系數a2=T(2); a1=T(3); a0=T(4);W=a1,a2,1;a2,1,0;1,0,0;P1=Qc*W; %求變換矩陣P的逆矩陣P= inv（P1）； %求變換矩陣P J=-1+1*i,0,0; 0,-1-1*i,0; 0,0,-2；TT=poly(J)； %求期望的特征方程系數 aa2=TT(2); aa1=TT(3); aa0=