1、1第六章第六章 力力 法法6-8 6-8 支座移動溫度變化時超靜定結構的計算支座移動溫度變化時超靜定結構的計算6-9 6-9 超靜定結構的位移計算超靜定結構的位移計算6-3 6-3 超靜定剛架和排架超靜定剛架和排架6-2 6-2 力法基本原理力法基本原理6-1 6-1 超靜定結構的組成和超靜定次數超靜定結構的組成和超靜定次數6-4 6-4 超靜定桁架和組合結構超靜定桁架和組合結構6-5 6-5 對稱結構的利用對稱結構的利用6-10 6-10 超靜定結構計算的校核超靜定結構計算的校核2一、超靜定結構的組成一、超靜定結構的組成(a)(a)靜定結構靜定結構: :組成上：無多余約束的幾何不變體系。組成

2、上：無多余約束的幾何不變體系。受力上：靜定結構的反力、內力可由靜力學平衡方程全部求解。受力上：靜定結構的反力、內力可由靜力學平衡方程全部求解。組成上：有多余約束的幾何不變體系。組成上：有多余約束的幾何不變體系。受力上：超靜定結構的反力、內力僅由靜力學平衡方程無受力上：超靜定結構的反力、內力僅由靜力學平衡方程無法全部求解法全部求解, ,還需借助于變形協調條件和物理關系共同組還需借助于變形協調條件和物理關系共同組建變形連續和位移邊界方程作為補充方程與平衡方程聯建變形連續和位移邊界方程作為補充方程與平衡方程聯立立, ,方可唯一地確定全部反力、內力。方可唯一地確定全部反力、內力。(b)超靜定結構超靜定

3、結構:(c)超靜定結構區別于靜定結構之處超靜定結構區別于靜定結構之處具有多余約束，去掉一個或若干個多余約束體系仍為幾何不變體系。具有多余約束，去掉一個或若干個多余約束體系仍為幾何不變體系。需要建立補充方程方可求出多余力。需要建立補充方程方可求出多余力。多余力可內部、外部、內外兼有。多余力可內部、外部、內外兼有。說明：一個超靜定結構需要建立多少個補充方程，由該超靜定結構的說明：一個超靜定結構需要建立多少個補充方程，由該超靜定結構的多余約束個數決定，有多少多余約束就需要建立多少個補充方程。多余約束個數決定，有多少多余約束就需要建立多少個補充方程。 6-1 6-1 超靜定結構的組成和超靜定次數超靜定

4、結構的組成和超靜定次數3 6-1 6-1 超靜定結構的組成和超靜定次數超靜定結構的組成和超靜定次數二、超靜定次數二、超靜定次數概念：將結構的多余約束的個數稱作結構的超靜定次數。概念：將結構的多余約束的個數稱作結構的超靜定次數。超靜定結構的求解需要建立補充方程，而所建立的補充方程的個超靜定結構的求解需要建立補充方程，而所建立的補充方程的個數數=多余約束個數多余約束個數=超靜定次數超靜定次數=-W。如何確定結構的超靜定次數？如何確定結構的超靜定次數？方法：從原結構中去掉方法：從原結構中去掉n個多余約束后，可使原結構變成靜定結構，則：個多余約束后，可使原結構變成靜定結構，則：原結構為原結構為n次超靜

5、定結構。次超靜定結構。或采用從原結構中去掉多余約束，使之成為靜定結構，則：所去掉的或采用從原結構中去掉多余約束，使之成為靜定結構，則：所去掉的多余約束的數目，即為原結構的超靜定次數，所得到的靜定結構稱作多余約束的數目，即為原結構的超靜定次數，所得到的靜定結構稱作原超靜定結構的基本結構。原超靜定結構的基本結構。如何去掉多余約束使之成為靜定結構？如何去掉多余約束使之成為靜定結構？方法方法:去掉一個滑動鉸支座或切斷一根鏈桿，相當于去掉一個約束或聯系；去掉一個滑動鉸支座或切斷一根鏈桿，相當于去掉一個約束或聯系；方法方法:去掉一個固定鉸支座或切開一個單鉸，相當于去掉兩個約束或聯系；去掉一個固定鉸支座或切

6、開一個單鉸，相當于去掉兩個約束或聯系；方法方法:去掉一個固定支座或切開一個單剛結點，相當于去掉三個約束或聯系；去掉一個固定支座或切開一個單剛結點，相當于去掉三個約束或聯系；方法方法:將單剛結點改成單鉸聯接，相當于去掉一個轉動約束或聯系；將單剛結點改成單鉸聯接，相當于去掉一個轉動約束或聯系；4 6-1 6-1 超靜定結構的組成和超靜定次數超靜定結構的組成和超靜定次數n=2原結構原結構1X2Xn=1原結構原結構方法方法:去掉一個滑動鉸支座或切斷一根鏈桿，相當于去掉一個約束或聯系；去掉一個滑動鉸支座或切斷一根鏈桿，相當于去掉一個約束或聯系；方法方法:去掉一個固定鉸支座或切開一個單鉸，相當于去掉兩個約

7、束或聯系；去掉一個固定鉸支座或切開一個單鉸，相當于去掉兩個約束或聯系；基本結構基本結構1X1X基本結構基本結構原結構原結構2X1Xn=2基本結構基本結構1X2X基本結構基本結構5原結構原結構 6-1 6-1 超靜定結構的組成和超靜定次數超靜定結構的組成和超靜定次數1X2X1X2Xn=2基本結構基本結構方法方法:去掉一個固定支座或切開一個單剛結點，相當于去掉三個約束或聯系；去掉一個固定支座或切開一個單剛結點，相當于去掉三個約束或聯系；1X1X2X3X基本結構基本結構(2)1X2X3X基本結構基本結構(1)原結構原結構n=36 6-1 6-1 超靜定結構的組成和超靜定次數超靜定結構的組成和超靜定次

8、數原結構原結構1X2X3X方法方法:將單剛結點改成單鉸聯接，相當于去掉一個轉動約束或聯系；將單剛結點改成單鉸聯接，相當于去掉一個轉動約束或聯系；基本結構基本結構(3)原結構原結構不要把原結構拆成幾何不要把原結構拆成幾何可變體系。此外，要把可變體系。此外，要把超靜定結構的多余約束超靜定結構的多余約束全部拆除。全部拆除。n=31X2X3X說明說明:同一超靜定結構去掉多余約束的方法很多同一超靜定結構去掉多余約束的方法很多,相相應的得到的靜定基本結構的形式很多應的得到的靜定基本結構的形式很多,但必須是幾何但必須是幾何不變結構。不變結構。力法求解超靜定結構的順序力法求解超靜定結構的順序先用變形連續或位移

9、邊界條件建立補充方程求解先用變形連續或位移邊界條件建立補充方程求解多余力。多余力。再用平衡方程求其它反力、內力。再用平衡方程求其它反力、內力。76-2 6-2 力法基本原理力法基本原理一、力法的基本原理一、力法的基本原理以多余未知力作為基本未知量，將超靜定結構轉化為靜定基本結構，其轉以多余未知力作為基本未知量，將超靜定結構轉化為靜定基本結構，其轉化的等價條件是：基本結構在原荷載及全部多余力共同作用下，多余力處化的等價條件是：基本結構在原荷載及全部多余力共同作用下，多余力處沿多余力方向上的位移應與原結構相應處位移相一致的條件，據此建立力沿多余力方向上的位移應與原結構相應處位移相一致的條件，據此建

10、立力法方程，求解多余力即為原超靜定結構相應處的多余力，此后得計算與靜法方程，求解多余力即為原超靜定結構相應處的多余力，此后得計算與靜定結構無異。定結構無異。Ex：求圖示超靜定梁的內力圖。已知：求圖示超靜定梁的內力圖。已知：EI=CABl/2l/2EIq原結構原結構AB1PqAB1X11+X1AB11X 11=基本體系基本體系AB1Xq=（BV=0）8ABl/2l/2EIq原結構原結構6-2 6-2 力法基本原理力法基本原理Ex：求圖示超靜定梁的內力圖。已知：求圖示超靜定梁的內力圖。已知：EI=C（BV=0）基本體系基本體系AB1Xq=X1AB11X 11=+AB1X11AB1Pq解解: :選取

11、基本結構選取基本結構, ,確定基本未知量。確定基本未知量。建立力法方程建立力法方程1110BVP 11111X11110PX91 1）力法方程是）力法方程是位移方程位移方程。2 2）方程的物理意義：）方程的物理意義：基本結構在荷載基本結構在荷載F FP P和未知量和未知量X X1 1共同作用下沿共同作用下沿X X1 1方向的位移等于原結構方向的位移等于原結構B B支座豎向位移。支座豎向位移。3 3）系數的物理意義：）系數的物理意義：11基本結構在基本結構在X1=1作用下沿作用下沿X1方向的位移。方向的位移。1P基本結構在原荷載作用下沿基本結構在原荷載作用下沿X X1 1方向的位移。方向的位移。

12、6-2 6-2 力法基本原理力法基本原理說明說明:作作 圖圖1,PM MAB11X ABql1Mql2/2PM求求系數及自由項系數及自由項 1111， 1P1P2331111133lMldxlEIEIEI24111133248PPlM MqlqldxllEIEIEI 106-2 6-2 力法基本原理力法基本原理解方程解方程111138PXql疊加法作疊加法作MM圖。圖。11PMM XMQ圖圖 218ql218qlM圖圖5ql/83ql/8（+）(-)(-)Q圖圖可選擇其它基本結構另解。可選擇其它基本結構另解。11二、力法典型方程（以兩次超靜定剛架為例說明力法方程的建立）二、力法典型方程（以兩次

13、超靜定剛架為例說明力法方程的建立）6-2 6-2 力法基本原理力法基本原理原結構原結構BACq2X1XABCq1=02=021X 1222X2112111X X1ABCq1P2P=111112212211222200PPXXXX 力法典型方程力法典型方程126-2 6-2 力法基本原理力法基本原理說明說明:0ii主系數，主系數，副系數，可正、可負、可零。副系數，可正、可負、可零。ijji自由項，可正、可負、可零。自由項，可正、可負、可零。iP2,ijiiPiiijjiiPsssM MMM MdsdsdsEIEIEI進一步說明進一步說明: :力法求解超靜定結構，可以選取多種不同形式的基本結構，無

14、論選取那種力法求解超靜定結構，可以選取多種不同形式的基本結構，無論選取那種形式的基本結構，也無論是哪種類型的超靜定結構，只要超靜定次數相同其形式的基本結構，也無論是哪種類型的超靜定結構，只要超靜定次數相同其力法方程的形式就相同，（不包括含有彈性支承及支移的超靜定結構）但力力法方程的形式就相同，（不包括含有彈性支承及支移的超靜定結構）但力法方程及方程中的系數和自由項的力學意義不同。法方程及方程中的系數和自由項的力學意義不同。基本結構的合理選取基本結構的合理選取(a)(a)基本結構必須是幾何不變的靜定結構。基本結構必須是幾何不變的靜定結構。(b)(b)同一超靜定結構可以選取多種不同形式的靜定基本結

15、構，雖然按照它同一超靜定結構可以選取多種不同形式的靜定基本結構，雖然按照它們計算所得的結果相同（內力圖相同），但計算過程的繁簡程度差異很們計算所得的結果相同（內力圖相同），但計算過程的繁簡程度差異很大。其中使力法方程系數和自由項易求且使力法方程中副系數和自由項大。其中使力法方程系數和自由項易求且使力法方程中副系數和自由項盡可能多的為零的基本結構是最合理的。盡可能多的為零的基本結構是最合理的。12,XX1122PMX MX MM136-2 6-2 力法基本原理力法基本原理原結構原結構BACq基本結構基本結構(2)qBAC1X2X1X2X基本結構基本結構(1)q三、推廣力法方程為三、推廣力法方程為

16、n次超靜定結構的力法方程次超靜定結構的力法方程11112211211222221122000nnPnnPnnnnnnPXXXXXXXXX 0PX 141niiPiMX MM1niiPiQX QQ1niiPiNX NN2220iiiiisssijijijijjisssiPiPiPiPsssMkQNdsdsdsEIGAEAM MkQQN NdsdsdsEIGAEAM MkQQN NdsdsdsEIGAEA6-2 6-2 力法基本原理力法基本原理Q圖圖N圖圖Xi i=1，2，3n。156-3 6-3 超靜定剛架和排架超靜定剛架和排架一、超靜定梁和剛架一、超靜定梁和剛架 力法方程的系數和自由項力法方程

17、的系數和自由項 2,ijiiPiiijjiiPsssMMMMMdsdsdsEIEIEI 1niiPiMX MMQ圖圖N圖圖166-3 6-3 超靜定剛架和排架超靜定剛架和排架超靜定梁超靜定梁ABqCD基本體系基本體系X1X2lllqEIEIEIABCD11M圖圖12M圖圖DABqCABCDX1=1ABCDX2=1MP圖圖82ql解解:選取基本體系確定基本未知量選取基本體系確定基本未知量建立力法方程建立力法方程111112212211222100PPXXXX 作作 圖圖12,PMMM求求系數及自由項系數及自由項 112223lEI12216lEI312,024PPqlEIEx：作內力圖：作內力圖

18、176-3 6-3 超靜定剛架和排架超靜定剛架和排架解方程解方程312122036242063llqlXXEIEIEIllXXEIEI211()15Xql221()60XqlPMXMXMM2211疊加法作疊加法作MM圖。圖。Q圖圖 215ql211120ql260qlABCD M圖圖1730ql1330ql60ql12qlABCD Q圖圖186-3 6-3 超靜定剛架和排架超靜定剛架和排架超靜定剛架超靜定剛架 （見書）（見書） 二、超靜定排架二、超靜定排架 E1I1E2I2E1I1E2I2EA 排架排架單跨排架單跨排架雙跨排架雙跨排架例例: : 求作圖示排架彎矩圖。求作圖示排架彎矩圖。EIEI

19、原結構5kN/mEA EIEA 6m2m19解解:選取基本體系確定基本未知量選取基本體系確定基本未知量1111221211222200PPXXXX求系數和自由項求系數和自由項建立力法方程建立力法方程6-3 6-3 超靜定剛架和排架超靜定剛架和排架作作 圖圖12,PM M MMP圖圖5kN/m90kN.mX1=1661M圖圖111114426 6 63EIEI 22X2=1882M圖圖12211111086 8 66 2 636EIEI 3221110248233EIEI121 138106 906,034PPEIEI 5kN/m基本體系基本體系X2X12017.375()XkN 壓22.334

20、()XkN 壓M圖(kN.m)1.475m45.7525.5818.674.675.4412121441088100108102403XXEIEIEIXXEIEI1212144108810032410240XXXX 作作MM圖圖1122PMM XM XM解方程解方程6-3 6-3 超靜定剛架和排架超靜定剛架和排架216-4 6-4 超靜定桁架和組合結構超靜定桁架和組合結構一、超靜定桁架一、超靜定桁架 2111,nnnijiiPiiijjiiPiiiN N lN lN N lEAEAEA1niiPiNX NNEx：求圖示超靜定桁架結構的內力。已知：各桿求圖示超靜定桁架結構的內力。已知：各桿EA=

21、C。aa11X aaPPaaPP原結構原結構aa1XPP基本體系基本體系1111221N圖圖P000000PN圖圖解解:選取基本體系確定基本未知量選取基本體系確定基本未知量建立力法方程建立力法方程作作 圖圖1,PN N11110PX 求求系數及自由項系數及自由項 22114 12114222aaaEAEA 226-4 6-4 超靜定桁架和組合結構超靜定桁架和組合結構1111PPNN lPaP aEAEAEA 解方程解方程11110.1044 12PPXP作作N N圖圖11PNX NNaaPPN圖圖0.896P-0.104P-0.104P-0.104P0.147P0.147P0023EAFPaa

22、Ex：求圖示超靜定桁架結構的內力。已知：各桿求圖示超靜定桁架結構的內力。已知：各桿EA=C。6-4 6-4 超靜定桁架和組合結構超靜定桁架和組合結構選取基本體系確定基本未知量選取基本體系確定基本未知量建立力法方程建立力法方程01111PX作作 圖圖1,PN NFPABX1aa基本體系基本體系FPFP0002PFFNP圖圖ABaaFP圖圖1NFABX1=1111122aa求求系數及自由項系數及自由項 24211112 (2) (2)241 114 (12)44 2 NF laaEAEAaaaEAEA 111(2) (2)2212(12)NNPPPPPF F lFaFaEAEAF aEA 1111

23、2(12)1/( )24 (12)PPPFaEAXFEAa壓6-4 6-4 超靜定桁架和組合結構超靜定桁架和組合結構求求系數及自由項系數及自由項 解方程解方程作作N N圖圖11PNX NNPF22PF21PF21PF22PF21PF21FN圖圖FPFPFPFP25二、超靜定組合結構二、超靜定組合結構 6-4 6-4 超靜定桁架和組合結構超靜定桁架和組合結構2211nniiiisiiMN ldsEIEA11nnijijijjiiiMMNN ldsEIEA11nniPiPiPsiiM MN N ldsEIEA 1niiPiMX MM1niiPiNX NN梁式桿梁式桿桁桿桁桿266-4 6-4 超靜

24、定桁架和組合結構超靜定桁架和組合結構Ex：力法求組合結構梁式桿的力法求組合結構梁式桿的M圖；桁桿圖；桁桿N圖。已知：梁式桿圖。已知：梁式桿EI；桁桿桁桿EA。2aaaaPP2aaaaPPX12aaaaPP2aaaaX1=1解解:選取基本體系確定基本未知量選取基本體系確定基本未知量建立力法方程建立力法方程作作 圖圖 11,PPMN MN求系數和自由項求系數和自由項11110PX -1-122aa111,M N圖圖,PPM N圖圖-PP2P2PP/2P/22PPa/2Pa/2027223211311111122122221 234 128,03PPPsaaaaaaaEIEAaM MN N lads

25、EIEAEIEA6-4 6-4 超靜定桁架和組合結構超靜定桁架和組合結構求系數和自由項求系數和自由項解方程：解方程： X1=0疊加內力圖疊加內力圖1111PPPPMX MMMNX NNNPP,PPMM NN圖圖-PP2P2PP/2P/22PPa/2Pa/20286-5 6-5 對稱結構的利用對稱結構的利用力法求解超靜定結構，力法方程為一含有力法求解超靜定結構，力法方程為一含有n個未知量的個未知量的n元一次線形代數方程元一次線形代數方程組。若想求解此方程以及求解其中的系數和自由項工作量較大，非常麻煩。組。若想求解此方程以及求解其中的系數和自由項工作量較大，非常麻煩。111122112112222

26、21122000nnPnnPnnnnnnPXXXXXXXXX為簡化計算，應設法使力法方程中的副系數和自由項盡可能多的為零。為簡化計算，應設法使力法方程中的副系數和自由項盡可能多的為零。特別當特別當iP=0時，時，Xi=0 （i=1 2，n。）。） M=MP若若ij=0時，時，（ij ）方程變為）方程變為n個獨立的方程個獨立的方程 11112222000PPnnnnPXXX 29基本體系基本體系3X1X2XFPFPFPFPEI1 hEI1 h原結構原結構aal/2l/2EI26-5 6-5 對稱結構的利用對稱結構的利用若想使副系數盡可能多的為零，應對基本結構和基本未知量作合理的選擇。若想使副系數

27、盡可能多的為零，應對基本結構和基本未知量作合理的選擇。下面以對稱結構為例進一步說明。下面以對稱結構為例進一步說明。利用對稱結構適當選擇靜定基本結構，可使力法方程中的副系數盡可能多的利用對稱結構適當選擇靜定基本結構，可使力法方程中的副系數盡可能多的為零，從而使計算簡化。為零，從而使計算簡化。一、結構對稱性及基本未知量的對稱性和反對稱性的應用一、結構對稱性及基本未知量的對稱性和反對稱性的應用計算超靜定對稱結構時，應選擇對稱的靜定基本結構以對稱和反對稱的多計算超靜定對稱結構時，應選擇對稱的靜定基本結構以對稱和反對稱的多余力作為基本未知量，可使計算簡化。余力作為基本未知量，可使計算簡化。X1，X2對稱

28、未知力對稱未知力X3反對稱未知力反對稱未知力111122133121122223323113223333000PPPXXXXXXXXX 301331233200111122121122223333000PPPXXXXX （反對稱）（反對稱）3M圖圖l/2l/213X（對稱）（對稱）2M圖圖hh12X（對稱）對稱）1M圖圖1111X6-5 6-5 對稱結構的利用對稱結構的利用只含正對稱多余力的方程只含正對稱多余力的方程只含反對稱多余力的方程只含反對稱多余力的方程結論：結論： 正對稱彎矩圖與反對稱彎矩圖圖乘結果為零。正對稱彎矩圖與反對稱彎矩圖圖乘結果為零。正對稱多余力引起的反對稱多余力方向上的位移

29、為零。正對稱多余力引起的反對稱多余力方向上的位移為零。31=0反對稱多余力引起的正對稱多余力方向上的位移為零。反對稱多余力引起的正對稱多余力方向上的位移為零。13=0316-5 6-5 對稱結構的利用對稱結構的利用FPaFPFP(對稱）對稱）FPaMP圖圖二、荷載的對稱性與反對稱性的應用二、荷載的對稱性與反對稱性的應用在利用對稱結構的同時再次利用荷載的對稱與反對稱關系可進一步簡化力法在利用對稱結構的同時再次利用荷載的對稱與反對稱關系可進一步簡化力法方程的自由項從而達到簡化基本未知量的結果。方程的自由項從而達到簡化基本未知量的結果。對稱結構受對稱荷載對稱結構受對稱荷載FPFPEI1 hEI1 h

30、原結構原結構aal/2l/2EI2基本體系基本體系3X1X2XFPFP（反對稱）（反對稱）3M圖圖l/2l/213X（對稱）（對稱）2M圖圖hh12X（對稱）對稱）1M圖圖1111X326-5 6-5 對稱結構的利用對稱結構的利用111122121122223333000PPPXXXXX30P1230XMXNXQ對稱結構受反對稱荷載對稱結構受反對稱荷載al/2aFPFPl/2EI1 hEI1 h原結構3X1X2XFPFP基本體系FPFP（反對稱）FPaFPaMP圖EI2336-5 6-5 對稱結構的利用對稱結構的利用（對稱）111X11M圖（對稱）12X2M圖（反對稱）l/213Xl/2hh3

31、M 圖111122121122223333000PPPXXXXX 1200PP123000XMXNXQ結論結論:無論是靜定結構還是超靜定結構無論是靜定結構還是超靜定結構受對稱荷載時，內力、變形正對受對稱荷載時，內力、變形正對稱稱，M、N圖正對稱，圖正對稱，Q圖反對稱。圖反對稱。且對稱軸所在截面只存在正對稱且對稱軸所在截面只存在正對稱內力，反對稱內力等于零。內力，反對稱內力等于零。受反對稱荷載時，內力、變形反受反對稱荷載時，內力、變形反對稱對稱，M、N圖反對稱，圖反對稱，Q圖正圖正對稱且對稱軸所在截面只存在反對稱且對稱軸所在截面只存在反對稱內力，正對稱內力等于零。對稱內力，正對稱內力等于零。34

32、6-5 6-5 對稱結構的利用對稱結構的利用對稱結構在荷載作用下內力計算要點歸納如下對稱結構在荷載作用下內力計算要點歸納如下:選取對稱的基本結構以對稱的和反對稱的多余力作為基本未知量。選取對稱的基本結構以對稱的和反對稱的多余力作為基本未知量。正對稱荷載作用下，只需求解正對稱的多余力。正對稱荷載作用下，只需求解正對稱的多余力。反對稱荷載作用下，只需求解反對稱的多余力。反對稱荷載作用下，只需求解反對稱的多余力。非對稱荷載作用下，作法有二：非對稱荷載作用下，作法有二：不分解荷載僅利用結構的對稱關系進行計算。不分解荷載僅利用結構的對稱關系進行計算。將荷載分解成正對稱荷載和反對稱荷載兩部分將荷載分解成正

33、對稱荷載和反對稱荷載兩部分,分別計算再疊加。分別計算再疊加。說明：將荷載分解成正對稱荷載和反對稱荷載兩部分的疊加，說明：將荷載分解成正對稱荷載和反對稱荷載兩部分的疊加，在滿在滿足一定的條件時足一定的條件時，比直接利用原荷載更簡便，甚至有時可將高次超，比直接利用原荷載更簡便，甚至有時可將高次超靜定簡化成低次超靜定，低次超靜定簡化成靜定結構。靜定簡化成低次超靜定，低次超靜定簡化成靜定結構。356-5 6-5 對稱結構的利用對稱結構的利用三、半部結構的利用三、半部結構的利用奇數跨對稱結構奇數跨對稱結構受正對稱荷載受正對稱荷載PP受反對稱荷載受反對稱荷載P半部結構半部結構q半部結構半部結構qq半部結構

34、半部結構q366-5 6-5 對稱結構的利用對稱結構的利用偶數跨對稱結構偶數跨對稱結構受正對稱荷載受正對稱荷載受反對稱荷載受反對稱荷載PPIPPIPI/2 半部結構半部結構PI/2 半部結構半部結構qq半部結構半部結構q半部結構半部結構q37練習練習:38練習練習:396-5 6-5 對稱結構的利用對稱結構的利用EI1EI2hl/2l/2EI12qEI1EI2hl/2l/2EI12q2q+=四、成組未知力的應用四、成組未知力的應用理論依據理論依據:對稱結構在正對稱荷載作用下，變形、內力、支座反力正對稱。對稱結構在正對稱荷載作用下，變形、內力、支座反力正對稱。 對稱結構在反對稱荷載作用下，變形、

35、內力、支座反力反對稱。對稱結構在反對稱荷載作用下，變形、內力、支座反力反對稱。基本體系基本體系2qX1X1EI2EI1基本體系基本體系X2X2EI2EI12q2qEI1選取基本體系選取基本體系確定基本未知量確定基本未知量例例:原結構原結構EI1EI2hl/2l/2qEI1y1y240建立力法方程建立力法方程0022221111PPXX22221111/PPXXl( (對稱對稱) )1M圖圖2q2lll2M圖圖X1=1X1=1MP1圖圖214ql6-5 6-5 對稱結構的利用對稱結構的利用X2=1X2=12q作作 圖圖1212,PPM M MM解方程解方程求系數自由項求系數自由項311123lE

36、I2411111323448PqlqlllEIEI 疊加疊加 112212PPMX MX MMM112212yXXyXX24ql24ql22qlMP2圖圖212qlqMP圖圖416-5 6-5 對稱結構的利用對稱結構的利用Ex：作圖示梁的彎矩圖。已知：各桿：作圖示梁的彎矩圖。已知：各桿EI=Clllq111M圖圖lllX1=1X1=1lllqql2/8ql2/8ql2/8MP圖圖解解:選取基本體系確定基本未知量選取基本體系確定基本未知量建立力法方程建立力法方程11110PX 作作 圖圖1,PM M求系數自由項求系數自由項1153lEI231122386PqlqllEIEI解方程解方程21111

37、10PqlX 疊加疊加11PMX MMql2/10ql2/10M圖圖lllX1X1q基本體系基本體系42M1MPM0P1 111 XEIplEIlP2331311,231PXPMXMM1143例例 5. 試用對稱性對結構進行試用對稱性對結構進行簡化。簡化。EI為常數。為常數。P /2P/2P/2P /2I/2I/2P /2P /2I/2方法方法 1PP /2P /2PP /4P /4P /4I/2P /4P /4P /4P /4I/2P /4P/4P/4I/2P/4I/2P /444例例 5. 試用對稱性對結構進行試用對稱性對結構進行簡化。簡化。EI為常數。為常數。方法方法 2PP /2P /

38、2PP /4P/2P /4P /4P /2P /4P /4P/2P /4P /4P /2P /4P /4P /4P /4P /4I/2P /4P/4P/4I/2P/4I/2返返 回回456-8 6-8 支座移動溫度變化時超靜定結構的計算支座移動溫度變化時超靜定結構的計算說明：靜定結構受非載荷因素作用時，結構不產生內力，只產生變形和位移。說明：靜定結構受非載荷因素作用時，結構不產生內力，只產生變形和位移。超靜定結構由于多余約束的存在，在非載荷因素作用下，不但產生變形位移，超靜定結構由于多余約束的存在，在非載荷因素作用下，不但產生變形位移，還產生內力。總之，使靜定結構產生位移的因素都將使超靜定結構

39、產生內力。還產生內力。總之，使靜定結構產生位移的因素都將使超靜定結構產生內力。超靜定結構在非載荷因素作用下產生的內力超靜定結構在非載荷因素作用下產生的內力自內力。力法計算此種內力自內力。力法計算此種內力的步驟與荷載作用下的內力計算基本相同。的步驟與荷載作用下的內力計算基本相同。一、支座移動引起的超靜定結構的內力計算一、支座移動引起的超靜定結構的內力計算超靜定結構由于支座移動引起的的內力計算與荷載作用下的內力計算無多大超靜定結構由于支座移動引起的的內力計算與荷載作用下的內力計算無多大區別，不同之處是力法方程中的自由項的計算以及去掉約束后，多余力處沿區別，不同之處是力法方程中的自由項的計算以及去掉

40、約束后，多余力處沿多余力方向上的位移應等于原結構在該處的實際位移。多余力方向上的位移應等于原結構在該處的實際位移。Ex:寫出圖示剛架的力法方程并求出自由項寫出圖示剛架的力法方程并求出自由項iC 。原結構原結構ACEI lEI lba466-8 6-8 支座移動溫度變化時超靜定結構的計算支座移動溫度變化時超靜定結構的計算原結構原結構ACEI lEI lbaEx:寫出圖示剛架的力法方程并求出自由項寫出圖示剛架的力法方程并求出自由項iC 。選取基本體系確定基本未知量。選取基本體系確定基本未知量。建立力法方程建立力法方程CABX1X2ba1=CH=02=CV=0基本體系基本體系I I01212111C

41、XX02222121CXXCABbX1X21=AH=-a2=A= 基本體系基本體系II IIaXXC1212111CXX222212147作作 1122,M R M R6-8 6-8 支座移動溫度變化時超靜定結構的計算支座移動溫度變化時超靜定結構的計算BC11,M R圖圖ll10X1=1A22,MR圖圖lllBCAX2=1l0111( 1)CRCalal 22(1)()CR Cblb l CABX1X2ba1=CH=02=CV=0基本體系基本體系I Iij的求法與前相同的求法與前相同Xi（i=1，2）1122MX MX M4822,MR圖圖ABCX2=1l11111,MR圖圖lABC1X1=1

42、221()CbR Cbll 11( 1)CR Cbb 6-8 6-8 支座移動溫度變化時超靜定結構的計算支座移動溫度變化時超靜定結構的計算CABbX1X21=AH=-a2=A= 基本體系基本體系II IIaXXC1212111CXX2222121由由Xi（i=1，2）1122MX MX M解題步驟：解題步驟： 選取基本體系確定基本未知量。選取基本體系確定基本未知量。建立力法方程建立力法方程作作 1122,M R M R解方程解方程疊加疊加1122MX MX M求系數自由項求系數自由項iCiR C 49基本體系基本體系ABEI lX16-8 6-8 支座移動溫度變化時超靜定結構的計算支座移動溫度

43、變化時超靜定結構的計算例例6-10 求作超靜定結構地彎矩圖。已知：求作超靜定結構地彎矩圖。已知：EI=CABEI A=l=a選取基本體系確定基本未知量。選取基本體系確定基本未知量。建立力法方程建立力法方程1111CXa 作作 圖圖11,MRABX1=111,MR圖圖ll1求系數和自由項求系數和自由項31111,3ClRClEI 解方程解方程313lXlaEI13iaXlli=EI/l 桿件的線剛度桿件的線剛度疊加疊加11MX M3AaMilABl=a50小結：小結：1 1）當超靜定結構有支座位移時，所取的基本體系上可能保留有支當超靜定結構有支座位移時，所取的基本體系上可能保留有支座移動，也可能

44、沒有支座移動。應當盡量取無支座移動的基本體系座移動，也可能沒有支座移動。應當盡量取無支座移動的基本體系。3 3）當超靜定結構有支座移動時，其內力與桿件的抗彎剛度當超靜定結構有支座移動時，其內力與桿件的抗彎剛度EI EI 成正成正比，比，EI EI 越大，內力越大。越大，內力越大。6-8 6-8 支座移動溫度變化時超靜定結構的計算支座移動溫度變化時超靜定結構的計算iR為基本體系由為基本體系由X X=1=1產生的支座反力；產生的支座反力；C為基本體系的支座位移。為基本體系的支座位移。iCiRC 2）當基本體系有支座移動時，自由項按下式求解：當基本體系有支座移動時，自由項按下式求解：51二、力法求解

45、荷載作用下具有彈性支座的超靜定結構二、力法求解荷載作用下具有彈性支座的超靜定結構6-8 6-8 支座移動溫度變化時超靜定結構的計算支座移動溫度變化時超靜定結構的計算彈簧支座分為拉壓彈簧支座和轉動彈簧支座兩類，如下圖示。彈簧支座分為拉壓彈簧支座和轉動彈簧支座兩類，如下圖示。轉動彈簧支座轉動彈簧支座MMk拉壓彈簧支座拉壓彈簧支座FPPFk 526-8 6-8 支座移動溫度變化時超靜定結構的計算支座移動溫度變化時超靜定結構的計算例例：求圖示具有彈簧支座梁的求圖示具有彈簧支座梁的MM圖。圖。33EIkl 原結構原結構ABEI lq基本體系基本體系EI lqX1X1=1l圖圖1MqMP圖圖212ql選取

46、基本體系確定基本未知量。選取基本體系確定基本未知量。建立力法方程建立力法方程11111PXkX 作作 圖圖1,PM M求系數和自由項求系數和自由項3113lEI2411133248PqlqlllEIEI解方程解方程33411383XllqlXEIEIEI1316qlX 疊加疊加11PMX MM5ql2/16ql2/8說明說明:若選取帶彈簧的靜定基本結構，則力法方程的系數和自由項的計算應若選取帶彈簧的靜定基本結構，則力法方程的系數和自由項的計算應考慮彈簧的變形引起的位移。考慮彈簧的變形引起的位移。53例例：求圖示具有彈簧支座梁的求圖示具有彈簧支座梁的MM圖。圖。ABEI lq33EIkla) 原

47、結構原結構ABEI lq33EIklb)b) 基本體系基本體系X1另解另解: 1) 基本體系見圖基本體系見圖 b)。01111PX2)2) 力法方程：力法方程：3)3) 求系數和自由項：求系數和自由項： 111111 111PPP6-8 6-8 支座移動溫度變化時超靜定結構的計算支座移動溫度變化時超靜定結構的計算546-8 6-8 支座移動溫度變化時超靜定結構的計算支座移動溫度變化時超靜定結構的計算荷載產生的變形圖荷載產生的變形圖 1P4/26qlqlkEIABq1PP1X X1 1= =1 1產生的變形圖產生的變形圖21/3lklEIABX1=111 111111,MR圖圖AB1X1=11l

48、MP，RP圖圖ABq82ql22ql5ql2/16ql2/833EIkl原結構原結構ABEI lq5521111516PqlX 6-8 6-8 支座移動溫度變化時超靜定結構的計算支座移動溫度變化時超靜定結構的計算綜述綜述:2211nniiiiliiMRdxEIk11nnijijijliiM MRRdxEIk11nniPiPiPliiM MRRdxEIk 當反力方向相反時乘積取負值。當反力方向相反時乘積取負值。22111111112312333lMRdxEIklllEIlEIEI 1111123333112123382524624PPPPPlM MRRdxEIkqlqlllEIEIlqlqlql

49、EIEIEI 4)4) 解方程解方程: :5)5) 疊加彎矩圖疊加彎矩圖566-8 6-8 支座移動溫度變化時超靜定結構的計算支座移動溫度變化時超靜定結構的計算三、溫度變化引起的超靜定結構的內力計算三、溫度變化引起的超靜定結構的內力計算原結構原結構+t2+t1+t1+t2ABC1=02=02X1XABC+t2+t1=21X 1222X2112111X X1ABC1t2t+t2+t1111112212211222200ttXXXX 200,iiijiiiijssitiissMNM MMdsdsEIEItM dst N dshtth iX1niiiMX M作作 圖圖,iiM N57例例6-126-

50、12 圖示剛架，混凝土澆筑時溫度為圖示剛架，混凝土澆筑時溫度為15，到冬季時室外溫度為，到冬季時室外溫度為-35 ，室內溫度為，室內溫度為15，求內力圖。各桿，求內力圖。各桿EI EI 相同，相同，E=2107kPa，EI=14.4104kNm2，線膨脹系數為線膨脹系數為=10=10-5-5-1-1。原結構原結構6m8m35 C15 C15 C15 C35 C35C0.6m0.4m6-8 6-8 支座移動溫度變化時超靜定結構的計算支座移動溫度變化時超靜定結構的計算解解:1)1) 溫度改變值：溫度改變值：Ct5015351Ct01515205050tC 0050252tC 2)2) 選取基本體系

51、確定基本未知量選取基本體系確定基本未知量6m8m15 C15 C35 C35CX1基本體系基本體系583)3) 建立力法方程建立力法方程01111tX6-8 6-8 支座移動溫度變化時超靜定結構的計算支座移動溫度變化時超靜定結構的計算4)4) 作作 圖圖11,M N116m8mX1=11M圖圖1/61/6+6m8mX1=11N圖圖6)6) 解方程解方程5)5) 求系數和自由項求系數和自由項1111126 2 1 8 13EIEI 111050 116 2 1 82580.62635001003400333tMNtth 111194.4136tXEIkNm596-8 6-8 支座移動溫度變化時超

52、靜定結構的計算支座移動溫度變化時超靜定結構的計算7)7) 疊加內力圖疊加內力圖1111,MX M NX N6m8m6m8m M圖圖（kNm）94.4136EIkNmN圖圖(kN)(-)15.722.66EIkN601)1) 溫度改變值：溫度改變值：Ct5015351Ct015152Ct50|050|Ct252/ )050(02)2) 力法方程力法方程01111tX31116(26 86)31432(144288)EIEIEI 另解：另解：3)3) 求未知力求未知力X1=1基本體系C50C0C0C0C50C50X1661NF1M圖6-8 6-8 支座移動溫度變化時超靜定結構的計算支座移動溫度變化

53、時超靜定結構的計算61 1110( )501(26 66 8)( 25) ( 1) 80.62( 7000200)6800tMNtth 1111/680043215.74()tEIXEI 4)4) 作彎矩圖作彎矩圖1XMM 超靜定結構在溫度變化或支座移超靜定結構在溫度變化或支座移動作用下，桿件內力與桿件抗彎動作用下，桿件內力與桿件抗彎剛度剛度EIEI成正比。成正比。94.4EI94.4EIM圖6-8 6-8 支座移動溫度變化時超靜定結構的計算支座移動溫度變化時超靜定結構的計算62一、一、 超靜定結構的位移計算超靜定結構的位移計算按力法求出超靜定結構的內力的思路來求按力法求出超靜定結構的內力的思

54、路來求超靜定結構的位移。超靜定結構的位移。說明說明: 力法求解超靜定結構的反力和內力，是借助于其靜定基本結構的變力法求解超靜定結構的反力和內力，是借助于其靜定基本結構的變形與原超靜定結構的變形一致的的條件建立力法方程，只要多余力滿足力形與原超靜定結構的變形一致的的條件建立力法方程，只要多余力滿足力法方程，則基本結構就與原超靜定結構具有相同的內力和變形，所以求出法方程，則基本結構就與原超靜定結構具有相同的內力和變形，所以求出多余力后，將多余力作為荷載加在基本結構上，則靜定基本結構在外界因多余力后，將多余力作為荷載加在基本結構上，則靜定基本結構在外界因素和多余力共同作用下所產生的位移即為原超靜定結

55、構的位移，這樣超靜素和多余力共同作用下所產生的位移即為原超靜定結構的位移，這樣超靜定結構的位移計算就歸結為其靜定基本結構的位移計算問題了。此外原超定結構的位移計算就歸結為其靜定基本結構的位移計算問題了。此外原超靜定結構的內力計算，并不因所選基本結構的不同而有所變化，故求解超靜定結構的內力計算，并不因所選基本結構的不同而有所變化，故求解超靜定結構的位移就歸結為求解其任意基本結構的位移了。所以可任意選取靜定結構的位移就歸結為求解其任意基本結構的位移了。所以可任意選取基本結構施加虛設單位力后按公式計算超靜定結構的位移。基本結構施加虛設單位力后按公式計算超靜定結構的位移。6-9 6-9 超靜定結構的位

56、移計算超靜定結構的位移計算 0sssKMNMMkQQNNdsdsdsEIGAEAttRCh M、Q、N、t0、t、CK 為原超靜定結構的內力，溫變和支移。為原超靜定結構的內力，溫變和支移。,M Q N R為虛設單位力產生的內力、反力。為虛設單位力產生的內力、反力。63例：例：求單跨超靜定梁中點豎向位移求單跨超靜定梁中點豎向位移 CVCV，EI EI 為常數。為常數。解解: 力法解超靜定作力法解超靜定作M圖圖2411222( )32832384CVlqllqlA yEIEIEI原結構原結構ABql/2l/2CM圖圖C122ql122ql242qlA1A2AB1CABl/8l/8l/8M圖圖y1y

57、2虛設單位力虛設單位力 作作 圖圖1P M代入公式求位移代入公式求位移CV6-9 6-9 超靜定結構的位移計算超靜定結構的位移計算6432241 12211522( )2432812384CVqlllqlqlAyA yEIEIEI（）（）基本體系基本體系I IABqC1221qlX 1221qlX AACB122ql122qlCB1l/4M圖M圖A1A2y1y2ql2/24任選簡支梁作為基本結構任選簡支梁作為基本結構虛設單位力虛設單位力 作作 圖圖1P M另解：另解： 力法解超靜定作力法解超靜定作M圖圖6-9 6-9 超靜定結構的位移計算超靜定結構的位移計算代入公式求位移代入公式求位移CV65

58、321 1224441123A2443281613()( )96384384CVqlllqllyA yEIEIqlqlqlEIEI （）（）基本體系IIABqC1221qlX 22qlX CAB122ql122ql242qlCAB1l/2M圖M圖A2A1y2y16-9 6-9 超靜定結構的位移計算超靜定結構的位移計算666-9 6-9 超靜定結構的位移計算超靜定結構的位移計算歸納超靜定結構位移計算的解題步驟：歸納超靜定結構位移計算的解題步驟：（以剛架為例）（以剛架為例）荷載單獨作用時荷載單獨作用時力法求解超靜定結構的多余力作力法求解超靜定結構的多余力作M圖。圖。任選一合理基本結構施加單位力作任

59、選一合理基本結構施加單位力作 圖。圖。M代入位移計算公式代入位移計算公式0lAyMMdxEIEI 支移單獨作用時支移單獨作用時力法求解支移引起的超靜定結構的多余力作力法求解支移引起的超靜定結構的多余力作M圖。圖。任選一合理基本結構施加單位力任選一合理基本結構施加單位力 作作 圖求支反力圖求支反力 。M1P R代入位移計算公式代入位移計算公式0lAyMMdxRCRCEIEI 676-9 6-9 超靜定結構的位移計算超靜定結構的位移計算原結構原結構ACEI lEI lbaCABX1X2ba1=CH=02=CV=0=CABX1X2ba=+內力內力變形變形位移位移內力內力變形變形位移位移無內力無內力無

60、變形無變形位移位移內力內力變形變形位移位移=+68溫變單獨作用時溫變單獨作用時6-9 6-9 超靜定結構的位移計算超靜定結構的位移計算力法求解溫變引起的超靜定結構的多余力作力法求解溫變引起的超靜定結構的多余力作M圖。圖。任選一合理基本結構施加單位力任選一合理基本結構施加單位力 作作 圖。圖。,M N1P 代入位移計算公式代入位移計算公式 000lssNMMMtdxt dsdsEIhAyttEIh 原結構原結構+t2+t1+t1+t2ABC1=02=02X1XABC+t2+t12X1XABCABC+t2+t1=+內力內力變形變形位移位移無內力無內力變形變形位移位移內力內力變形變形位移位移=+69